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 #1 - 15-09-2009 18:39:38

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Ls angles se mesurent à la règle

Une petite énigme un peu plus coriace que les précédentes . Inutile de chercher sur Wiki ou autre car elle de moi tout seul personnellement smile

C'est toujours lorsque l'on a oublié son rapporteur qu'on tombe sur un angle à mesurer . On peut bien sûr sortir la grosse artillerie calculatrice+trigonométrie pour évaluer la mesure de l'angle mais voici une méthode sans calcul qui demande seulement une règle en bon état .

On note xÔy l'angle à mesurer . On trace dans le demi-plan de frontière (Ox) ne contenant pas [Oy) , une demi-droite [Oz) perpendiculaire à (Ox) . On place sur [Ox) , [Oy) et [Oz) les points A , B  et C tels que OA=OB=9 cm et OC=15cm . Le segment [BC] coupe la droite (OA) en M ( voir figure ) .

http://img509.imageshack.us/img509/1985/anglek.jpg

Quelle est l'erreur maximale que l'on peut commettre en confondant la mesure de AM en millimètres à celle de xÔy en degré ?

Amusez-vous bien !!!

Vasimolo



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 #2 - 15-09-2009 21:51:57

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les anglles se mesurent à la règle

Vas-y mollo a écrit:

de moi tout seul personnellement

..."moi je moi je hmmm j'me b**serais bien".

J'appellerai ce syndrome la Déhachèraimisation Sélective (ou trisomie 77 lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 15-09-2009 23:40:12

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Les angles se meusrent à la règle

Je vais résoudre ce problème en se mettant dans un repère orthonormé.
On pose A(9;0); C(0;-15) et soit b un nombre entre 0 et 9 on a B([latex]b;\sqrt{81-b^2}[/latex])
On a BC²=[latex]b^2+(\sqrt{81-b^2}+15)^2[/latex]=[latex]306 + 30 \sqrt{81-b^2}[/latex]
Dans le théorème d'Al Kashi on a dans le triangle OCB
BC²=OC²+OB²-2OB*OC cos (90+a) d'où [latex]306 + 30 \sqrt{81-b^2}[/latex]=[latex]306 + 270 cos a[/latex] car cos(90+a)=-cos(a)
d'où cos a=[latex]{\sqrt{81-b^2}} \over 9[/latex]=[latex]\sqrt{1-{b \over9}^2[/latex] donc sin(a)=[latex]b \over 9[/latex]

De plus la droite (BC) à pour équation [latex]b(y+15)=x(\sqrt{81-b^2}+15)[/latex]
Pour trouver les coordonnées de M c'est l'intersection de la droite avec l'axe des abscisses d'où M([latex]15b \over {\sqrt{81-b^2}+15}[/latex];0)
donc AM =[latex] 9 - {15b \over {\sqrt{81-b^2}+15}}[/latex]

On veut savoir la différence maximale que l'on veut avoir entre a et 10*AM

|a-10*AM|=[latex]|a - 90 +{150b \over {\sqrt{81-b^2}+15}}|[/latex]=[latex]|a - 90 +{{150\times 9 sin(a)} \over {\sqrt{81-(9sin(a))^2}+15}}[/latex]|
=[latex]|f(a)=a - 90 +{{1350sin(a)} \over {9cos(a)+15}}|[/latex]
On fait varier a entre 0 et [latex]\pi\over2[/latex]
f'(a)=[latex]1+1350{{cos(a)(9cos(a)+15)-9sin(a)sin(a)}\over{(9cos(a)+15)}^2[/latex]
f'(a)=[latex]{(9cos(a)+15)^2+20250cos(a)+12150cos(a)^2-12150(1-cos(a)^2)}\over{(9cos(a)+15)^2}
[/latex]
f'(a)=[latex]{23481cos(a)^2+20520cos(a)-11925}\over{(9cos(a)+15)^2}[/latex]
Puisque [latex](9cos(a)+15)^2[/latex] est positif donc le signe de la dérivée est celui de [latex]23481cos(a)^2+20520cos(a)-11925[/latex]. Si on pose X=cos(a) alors on a résoudre 23481X²+20520X-11925=0 on a le discriminant qui est égal à 1 541 114 100 et dont la valeur x=[latex]{-20520+\sqrt{1 541 114 100}}\over {2 \times 23481}[/latex] qui est environ égal à 0,39898271203783937772886651601166

et donc a est égal environ 1,160389164406460 radian et donc 66,4854017132024°

Regarde si je ne me suis pas trompédans les calculs il est 1h30 du mat quand j'ai fini......

 #4 - 18-09-2009 20:18:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

les angles se mesurebt à la règle

Bonsoir gabrielduflot big_smile

Je n'ai pas eu le courage de refaire tous tes calculs . Personnellement j'ai considéré les aires des triangles OMB , OMC et MBC . Si on note r la mesure de l'angle â en radians l'erreur commise est la valeur absolue de [latex]90(1-\frac{2r}{\pi}-\frac{5\cos r}{5+3\sin r})[/latex] quand â varie de 0° à 180° l'erreur ne dépasse pas le demi-degré ( ou le demi-millimètre ) .

Vasimolo

Je penche donc je sue

 #5 - 18-09-2009 21:09:35

oannes
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 261
Lieu: Pantin

Les angles se emsurent à la règle

Non mais sérieusement, je pense de plus en plus à un spectacle itinérant où Vasimolo poserait des énigmes et où gabrielduflot et autres y répondraient, y'a du fric à se faire.

Avec MthS pour les vanner pendant les entractes lol


"Rien n'est plus réel que rien" Démocrite

 #6 - 18-09-2009 21:16:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Les angles se mesurent à laa règle

Ciel , je suis fait ... qui m'a trahi ?

Vasimolo j'ai mal au dos lol

 #7 - 18-09-2009 21:40:33

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

les angles se mesurznt à la règle

oannes a écrit:

Avec MthS pour les vanner pendant les entractes

Seulement les entractes ? Je m'ennuierais 80% du temps... lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 18-09-2009 22:54:06

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

les angles sz mesurent à la règle

Celle-là, je l'ai suivie du coin de l'oeil.

De deux choses l'une: ou c'est un phénomène de foire ou bien, c'est très malin.

J'ai simulé le dessin sur Geogebra.
Dans la tolérance indiquée, ça colle.

La mesure d'un angle sans compas, c'est un problème vieux comme mes robes.
Donc marrant.


Les ingrédients proposés:

1- mesurer les angles en degrés

Ca complique -raisonnablement- les développements limités ...

2- mesurer les distances en mm

OK, on peut unifier la mesure.

Donc, pour la mesure des résultats mm équivaut à degré.


3- observer la proportion remarquable (9,12,15) d'un Pythagore bien tempéré.

4- Vasimolo fournit une preuve contondante
au regard de ce qui précède:


Vasimolo a écrit:

J'ai considéré les aires des triangles OMB , OMC et MBC .
Si on note r la mesure de l'angle â en radians l'erreur commise est la valeur absolue de [latex]90(1-\frac{2r}{\pi}-\frac{5\cos r}{5+3\sin r})[/latex] quand â varie de 0° à 180° l'erreur ne dépasse pas le demi-degré ( ou le demi-millimètre ) .

Donnez-moi un léger développement -convaincant et compréhensible- de la preuve, et là:

Spoiler : [Afficher le message] Chenille, bayou, Ramaya, tout y passera.

Je promets le feu d'artifices. big_smilebig_smilebig_smile 



Spoiler : [Afficher le message] Aux vieux de la vieille du forum

Quand on ne comprend pas une réponse, c'est:

- abstrus pour les littéraires,
- preuve contondante pour les matheux. lollollol 


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #9 - 18-09-2009 23:31:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Les angles s emesurent à la règle

Il s'agit bien sûr d'un phénomène de foire ou de cirque ( mais j'ai une solution sérieuse et complète cool ) . Le résultat est lié à la très étrange fonction [latex]\frac{\cos\alpha}{5+3.\sin{\alpha}[/latex] périodique et quasi-affine sur l'intervalle d'une période .

Vasikanmem

 #10 - 19-09-2009 00:06:13

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Les angles sse mesurent à la règle

J'ai levé le lièvre.
Au soin d'un autre renard d'y répondre.

scarta, dhrm77, Ch'ef, Mathias, si le problème vous amuse...

Humblement, perso, je n'ai toujours pas vu le coup.hmm


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #11 - 19-09-2009 00:46:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Les angles se mesurent à la rgle

J'aurais choisi d'autres pisteurs , mais je suis un bleu sur le site big_smile

Patromolo

 #12 - 19-09-2009 07:33:50

oannes
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 47
Messages : 261
Lieu: Pantin

les angles se mequrent à la règle

J'ai envie de mourir et de me réincarner en vrai matheux. Et dire que je pensais être doué.


"Rien n'est plus réel que rien" Démocrite

 #13 - 19-09-2009 12:08:22

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Les anglees se mesurent à la règle

Idem. Vasimolo me file le cafard.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 19-09-2009 12:27:58

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Lse angles se mesurent à la règle

Et ben, pas à moi. big_smile

En prenant le début de gabrielduflot- mais il me semble que c'est cos(a) qui vaut b/9, on arrive à la redoutable fonction citée en exergue.

En la traçant simplement, on voit qu'elle est en effet quasiment affine.

Très joli!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #15 - 19-09-2009 13:08:43

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Les angles se mesurent à lla règle

C'est à peu près ce que j'ai trouvé l'erreur quye j'ai fait c'est que je n'ai pas mis converti les angles de degrès en radian et vice versa

 #16 - 11-12-2012 23:01:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Les angles se mesuren tà la règle

J'avais été surpris il y a quelque temps de retrouver copié ( au mot près ) le problème et la solution que j'avais proposé à un autre site parmi les "classiques" de futura-sciences ( problème 22 ) .

http://forums.futura-sciences.com/mathe … iques.html

Vasimolo

 #17 - 12-12-2012 17:27:24

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

eLs angles se mesurent à la règle

Vasimolo a écrit:

Il s'agit bien sûr d'un phénomène de foire ou de cirque ( mais j'ai une solution sérieuse et complète cool ) . Le résultat est lié à la très étrange fonction [latex]\frac{\cos\alpha}{5+3\sin{\alpha}}[/latex] périodique et quasi-affine sur l'intervalle d'une période .

Vasikanmem

La fonction [latex]\frac{\sin x}{5+3\cos x}[/latex] a pour développement limité [latex]\frac x 8 +\frac {x³}{384} +...[/latex]

C'est "presque" linéaire pour x petit.

 #18 - 12-12-2012 22:43:26

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Les angles se mesurent à la rèègle

Ce n'est pas faux , il reste à trouver un moyen d'exploiter cette relation pour mesurer ou construire des angles à la règle smile

Vasimolo

 

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