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 #1 - 09-02-2014 19:05:16

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteau 0

Bonsoir à tous smile

Rien de plus facile que d'imaginer un quadrilatère découpé en deux quadrilatères identiques :

http://imageshack.com/a/img839/4201/16fk.jpg

Mon pâtissier me dit qu'il est aussi facile d'imaginer un gâteau pentagonal divisé en deux parts pentagonales identiques .

J'ai du mal à le croire mais il est tellement malin le bougre mad

Vasimolo

PS : Les deux parts doivent être superposables sans retournement ( un gâteau n'est pas une crêpe lollollol )

Amusez-vous bien smile



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 #2 - 09-02-2014 19:32:39

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

Gâtaeu 70

Quelquechose comme ça ?
http://www.prise2tete.fr/upload/Franky1103-Pentagone.png

 #3 - 09-02-2014 19:41:27

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Gâeau 70

Rien de plus facile que d'imaginer un quadrilatère découpé en deux quadrilatères identiques...

Les rien de plus facile...  C'est un raccourci dangereux  lollol

 #4 - 09-02-2014 21:36:30

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâtea u70

Joli coup Franky .

Vasimolo

 #5 - 09-02-2014 22:47:59

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Gâetau 70

Bonsoir,

Ses pâtisseries sont-elles aussi bonnes et aussi plaisantes à manger que ses questions sont plaisantes à résoudre ?  smile

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-Gateau70.png


Il y a sûrement plus simple.

 #6 - 09-02-2014 23:35:16

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

gâtezu 70

J'ai identifié toute une famille de pentagones qui peuvent être la moitié identique à l'autre moitié d'un pentagone :
http://www.prise2tete.fr/upload/dylasse-pentagones.jpg
Ils sont constitués de 2 cotés égaux 2 à deux, d'un angle droit et d'un angle a compris entre pi/2 et pi.

Il y a peut-être d'autres puzzles possibles, mais je n'en ai pas trouvé.

 #7 - 10-02-2014 13:07:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

Gâteu 70

J'ai réussi cool qui plus est, en suivant scrupuleusement l'énoncé big_smile
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g70.png

 #8 - 10-02-2014 16:34:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

GGâteau 70

@Cogito & Dylasse : parfait .
@Gwen : c'est comme ça que tu coupes les gâteaux lollollol

On peut essayer de caractériser tous les gâteaux possibles , ce n'est pas trop difficile .

Vasimolo

 #9 - 10-02-2014 17:55:08

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

fâteau 70

Bah elle est pas bien ma découpe ? Il n'y a pas plus superposable que ça ! lol

Plus sérieusement, une construction simple à partir d'un carré qui permet au moins d'en construire toute une série... :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g70-2.JPG

 #10 - 10-02-2014 18:13:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gtâeau 70

@Gwen et Dylasse : vous les avez tous , la justification n'est pas si laborieuse qu'elle en a l'air smile

Vasimolo

 #11 - 10-02-2014 19:48:05

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

GGâteau 70

Pour qu'un pentagone puisse être divisé en deux quadrilatères superposables il faut qu'un sommet D soit situé sur la médiatrice M-D d'un coté A-B avec A-B = 2 * M-D et que les sommets C et E soient situés sur les bissectrices des angles AMD et DMB.

http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Pentagone.jpg

 #12 - 10-02-2014 21:25:02

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

gâteay 70

@Jack : les parts doivent être pentagonales .

Vasimolo

 #13 - 11-02-2014 01:06:59

Annyo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 5

Gâteeau 70

Salut ! j'inaugure mon premier message ici en proposant ma réponse à cette énigme smile

Un gâteau pentagonale coupé à mi-hauteur ?
(ou alors une sorte de bûche à section pentagonale)
(en fait, de manière générale, un gâteau pentagonal coupé dans le plan parallèle au pentagone)

Edit : Après réflexion, on ne coupe pas beaucoup de gâteaux à mi-hauteur x)
Je vais me limiter aux buches :p

 #14 - 11-02-2014 22:00:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

âGteau 70

Non Annyo , couper le gâteau dans le sens de l'épaisseur ce n'est évidemment pas l'esprit du problème .

Vasimolo

 #15 - 11-02-2014 23:20:58

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2715
Lieu: Luxembourg

Gâteau 770

@Annyo: En procédant ainsi, tu risques d'avoir de gros problèmes avec notre pâtissier lol Bienvenu parmi les fous sur ce site.

 #16 - 12-02-2014 00:04:28

Annyo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 5

Gâteau 07

Yes ! j'en ai réussi un !
http://puu.sh/6SBo5.png

Je suis pas certain d'avoir trouvé toutes les solutions possibles, mais si on part de 3 points quelconques A,B,C et qu'on effectue 2 rotations de centre A et d'angle 90° on obtient les points A'=A, B', C' puis A"=A,B",C", et les point B, A, B" sont alors alignés.
On a donc notre gâteau pentagonal BCC'C"B", et les 2 parts pentagonales identiques sont ABCC'B' et AB'C'C"B". (l'une est l'image de l'autre par rotation de centre A et d'angle 90°)

 #17 - 12-02-2014 14:01:08

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gtâeau 70

Voici mon gâteau smile

http://www.prise2tete.fr/upload/looozer-gateau70.png

 #18 - 12-02-2014 14:21:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteua 70

@Annyo : Bravo , tu as toutes les solutions mais pourquoi ?
@Looozer : C'est une des solutions .

Je laisserai un peu de temps après le levé du cache pour ceux qui veulent chercher une petite démo ( y'en a une très simple ) .

Mais peut-être quelqu'un aura trouvé avant : à vos crayons smile

Vasimolo

 #19 - 12-02-2014 15:43:14

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 700

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g70ter.png

 #20 - 12-02-2014 17:56:47

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Gteau 70

Ma division du pentagone en 2 quadrilatères (post 11) m'avait semblé un peu trop facile lol !

Pour arriver à découper en 2 pentagones, il a fallu que je me convainque d'abord que c'était possible hmm .
Il a été ensuite beaucoup plus rapide d'en déduire que la découpe comporte 2 segments (sacré piège mad !) puis de trouver une configuration possible.
En voici une. Il en existe peut-être d'autres ...

Spoiler : [Afficher le message]           http://www.prise2tete.fr/upload/Jackv-Pentagones.png

 #21 - 12-02-2014 18:11:20

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4734

âGteau 70

@Gwen : je ne suis pas convaincu mais les illustrations sont jolies smile
@Jack : oui et tu as toutes les solutions .

Vasimolo

 #22 - 12-02-2014 20:17:38

Annyo
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 19
Messages : 5

Gâtau 70

Voici ma proposition de démonstration smile

1) Intéressons nous d'abord à la coupe : elle sépare deux parts identiques qui s'imbriques l'une dans l'autre, la coupe présente donc une partie du contour des parts qui apparaîtra 2 fois. (à l'orientation près)(l'intérieur du gâteau ne sera pas du même coté pour les 2)

http://puu.sh/6Twe8.png

2) Cette coupe ne peut être constituer que de 2 segments au plus, sinon les parts auraient plus de 6 cotés d'après 1)
De plus, en collant 2 pentagones par un seul coté, on obtient au minimum un hexagone : on a donc une coupe en 2 segments

3) Il y a donc un groupe de 2 segments qui apparait 2 fois dans le contour et comme un pentagone n'a que 5 cotés, ces deux groupes sont adjacents et il reste à relier le reste.

http://puu.sh/6TxpN.png

4) On y est presque, mais avec la part précédente, le gateau complet est un hexagone, il faut donc que l'angle a soit droit, afin d'obtenir un angle 2a plat sur le gâteau final qui est alors un pentagone !

http://puu.sh/6Ty1t.png

 #23 - 13-02-2014 11:39:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Gâteua 70

Voilà comment j'avais vu les choses ( ce qui doit revenir à peu près aux explications de Gwen et Annyo ) .

Les angles des deux parts doivent être en permutation circulaire et la somme des angles dans les trois pentagones autorise uniquement la permutation ci-dessous .

http://imageshack.com/a/img545/1893/zlc8.jpg

Il ne reste plus qu'à calculer les angles .

Vasimolo

 

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