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 #1 - 09-06-2011 16:44:39

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Allez, je vous fais une fleu...

Pierre a une pelouse carrée de 10 m de côté et se vante auprès de son voisin Jean d'avoir 19 orchidées sur sa pelouse. Jean, sans voir les orchidées, affirme qu'on peut mettre sur la pelouse une piscine gonflable de 2,20 m de diamètre sur un emplacement qui ne recouvre aucune orchidée.

Vrai ou faux ?



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 #2 - 09-06-2011 17:22:25

gelule
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 778

Allez, je vous afis une fleur...

Ah si je connaissais le pâtissier de Vasimolo j'irai bien lui demander son avis, mais ça ne fait rien , je tente et je dis: vrai
J'imagine que pour que les orchidées couvrent un maximum de surface il faut qu'elles soient réparties le plus harmonieusement possible sur la pelouse, donc même s'il y en avait 20 (c'est plus facile avec 20) elles formeraient des rectangles de 1,66m X 2m dans lesquels s'inscrivent parfaitement des cercles de 2,20 m de diamètre.

 #3 - 09-06-2011 17:27:12

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Alez, je vous fais une fleur...

Si il n'y a aucune contrainte quant à la disposition des fleurs, notamment la distance entre deux fleurs, alors je dis : Vrai. Rien ne m'empêche par exemple de regrouper mes 19 orchidées le long d'un côté de la pelouse. Je pourrais même caser 4 piscines de 2,20m de diamètre ainsi...

Es-tu sûr que l'énoncé est complet, ou est-ce vraiment aussi facile que ça ???


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #4 - 09-06-2011 19:41:20

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

alkez, je vous fais une fleur...

Je pense que c'est vrai.
Sur un carré de 2 fois 2 on peut placer un cercle, en son centre par exemple, de 1,1 de rayon car racine de 2 > 1,1.
Maintenant découpons notre terrain carré en 25 carrés de côté 2 :
Il y a au pire 19 de ces carrés occupés par des fleurs donc il en reste facilement un on l'on mettra notre piscine.
(On suppose que les fleurs sont assez petites.)

big_smile


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #5 - 09-06-2011 22:14:35

Cédric-29
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 17

Allez, je vous fais une fluer...

Hello,
même avec 25, ça passe. La meilleure configuration (cela reste a prouver) est la répartition uniforme 5 par 5. On réalise un découpage en carrés de 10/6 de coté. Une piscine circulaire de diamètre 10/6*racine(2) passe ce qui fait 2.357m pour 25 orchidées. Si c'est bon pour 25, c'est bon pour 16 donc notre ami dit vrai.

 #6 - 09-06-2011 23:39:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

allez, je bous fais une fleur...

En fait le problème peut se résumer ainsi : peut-on recouvrir un carré de côté 78 avec 19 disques de rayon 11 ?

Pas évident en fait smile

Vasimolo

 #7 - 09-06-2011 23:48:02

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

allez, je vous fais ube fleur...

C'est bien vrai.
S'il n'y avait aucune orchidée, alors on pourrait mettre en tout 20 piscines (mais c'est serré!).

La question que je me pose, c'est: si Pierre avait 20 orchidées, Jean aurait-il pu arriver à la même conclusion?
En gros, jusqu'à combien d'orchidées est-on sûr de pourvoir placer la piscine (sans tenir compte de l'emplacement des orchidées)?

 #8 - 10-06-2011 00:08:49

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

allea, je vous fais une fleur...

Promis, les problèmes suivants seront plus difficiles... tongue


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 10-06-2011 00:25:04

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Allez, je vous faiss une fleur...

C'est vrai et même avec 20 fleurs. (circle packing a square)


The proof of the pudding is in the eating.

 #10 - 10-06-2011 01:35:13

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

allez, je vous fais unr fleur...

vrai...
C'est étonant, je trouve que 25 orchidées peuvent, si elles sont bien placées, empécher de mettre une piscine gonflable de 2.2m de diametre sur une pelouse de 9.9781 de coté. Ceci, en supposant que les orchidées n'ont pas de surface...
Donc je suppose que en donnant une taille non nulle aux orchidées,  25 est la valeur attendue
Avec 19 orchidées, il est possible de placer la piscine un peu partout..

Si, par contre, on suppose que les orchidées n'ont pas de taille, alors je pense qu'il en faille 27 pour empecher de mettre une piscine, mais je n'ai pas verifié.


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #11 - 10-06-2011 11:28:46

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1747

Allez, je vous fais une flleur...

Bonjour


Lemme : On remarque qu'avec les données du problème :

Pelouse de [latex]10 m * 10 m[/latex]
Piscine de diamètre [latex]2,20 m[/latex]


On fait tenir 6 piscines tangentes sur une diagonale.
En effet, le centre d'une piscine placée dans un coin (tangente à deux côtés à la fois) est situé à [latex]1,1 \sqrt2 m[/latex]du coin, le bord de la piscine est donc à [latex]1,1 (\sqrt2 -1) m[/latex] du coin (sur la diagonale)

Une diagonale mesure [latex]10\sqrt2 \approx 14.14 m[/latex]

et six piscines plus deux fois la distance par rapport aux coins mesurent :
[TeX]6 * 2.2 + 2*1,1 (\sqrt2 -1) \approx 14.11 m[/TeX]
Développement :

Si je raisonne selon : "où faudrait-il placer les orchidées pour ne pas permettre le placement de la piscine ?", je place alors les orchidées aux points de tangence des piscines sur la diagonale, et aux points d'intersection (virtuels) selon la construction suivante :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-orchidees.jpg

(par projection on distribue 6 cercles sur un côté)

Il faudrait alors au moins 25 orchidées pour interdire le placement d'une piscine sur la pelouse
Donc avec 19 orchidées, il y aura toujours de la place pour une piscine ...
> "VRAI"


Merci et à bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #12 - 10-06-2011 13:54:38

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Allez, je vous fasi une fleur...

Vrai

On peut placer 20 diques disjoints de diamètre 2.20 m centrés dans un carré de 7.8x7.8 m de même centre que la pelouse.
Où que soient les 19 orchidées sur la pelouse, il y aura donc toujours la place dans ce carré réduit pour un 20ème point, qui serait le centre de la piscine, situé à plus de 1.1 m des 19 orchidées et des côtés de la pelouse.

 #13 - 10-06-2011 18:48:41

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

allee, je vous fais une fleur...

Rien que pour empêcher la pose de la piscine sur les bords, il faut 16 orchidées.
Avec 3 orchidées en plus, on ne peut couvrir le reste.
Un petit dessin à l'échelle suffit.

 #14 - 11-06-2011 13:30:14

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Allez, je vous fais une ffleur...

Je vais plus ou moins reprendre un raisonnement ci-dessus exposé.

Considérons les 20 disques de rayons r = 1,11 m placés en quinconce sur la pelouse de Jean comme dans la figure suivante:

http://nsa19.casimages.com/img/2011/06/11/110611012000183988.jpg

La largeur DE occupée par ces 20 disques s'exprime par:
DE = r + 8r = 9 x 1,11 = 9,99 m

La hauteur du triangle équilatéral ABC mesure r[latex]$\sqrt{3}$[/latex], donc la hauteur occupée par ces 20 disques est égale à:
FG = 2r + 4r[latex]$\sqrt{3}$[/latex] = r (2+4[latex]$\sqrt{3}$[/latex]) = 9,91...

Ainsi les 20 disques tiennent dans la pelouse.

Le "principe des tiroirs" est un raisonnement superbe par sa simplicité (voir Lejeune-Dirichlet): il y a sur la pelouse 20 disques et 19 orchidées, donc au moins l'un des disques ne contient pas d'orchidée.
Ce disque ayant un diamètre de 2,22 m pourra donc contenir la piscine, de diamètre 2,20 m.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #15 - 11-06-2011 15:36:10

fix33
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

allez, je vous fzis une fleur...

Je dirais qu'il se trompe...

Une orchidée correspondrait à une surface de 100m2/19 soit environ 5,26m2.

Or la piscine couvre une surface d'environ 15,2m2 3,80m2. mad

Il semble donc que si les orchidées sont distribuées sur la pelouse de façon optimale, la piscine en écraser bien 2 ou 3.

Jolie démonstration !


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #16 - 11-06-2011 17:34:19

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Allez, e vous fais une fleur...

C'est vrai que vu comme ça c'est simple smile

Vasimolo

 #17 - 11-06-2011 18:24:23

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

allez, je vouq fais une fleur...

SaintPierre, est-ce que par ton raisonement tu veux montrer que s'il y avait 20 orchidées alors il ne serait pas possible de mettre un piscine de 2.20?
Si oui, tu as faux.. En supposant que tu place tes orchidées au centre de chaque cercle, on peut tres bien mettre un piscine centree dans le triangle entre tes cercles.

Le dessin de NickoGecko est precisement ce a quoi je pensais, avec les precisions suivantes:
- distance entre orchidées: 1.56
- distance entre orchidée et bord de la pelouse: 1.88
(en supposant une taille non-nulle des orchidées).


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #18 - 11-06-2011 19:11:36

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Allez, je vous fais une fler...

Il me semble que SaintPierre montre qu'avec 19 orchidées on peut forcément placer la piscine , comme il y a un peu de marge on peut même supposer qu'elles ont une épaisseur non nulle . Pour ce qui est de 20 orchidées il me semble que personne n'a prétendu répondre à cette question smile

D'ailleurs quelle est la réponse ????

Vasimolo

 #19 - 11-06-2011 23:02:26

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3319

allez, je vous fais une flzur...

Ce que je ne comprends pas avec ce genre de problème c'est que la taille des fleurs on ne les a pas, donc juste en s'imaginant une orchidée (disons 20 cm de diamètre on peut en mettre en plein hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 11-06-2011 23:29:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Allez, je vuos fais une fleur...

En fait , c'est un peu des délires de matheux , les fleurs n'ont pas d'épaisseur . Les physiciens diraient que l'épaisseur de la fleur est négligeable par rapport à celle du terrain et de la piscine .

Vasimolo

 #21 - 12-06-2011 10:28:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2954

amlez, je vous fais une fleur...

La réponse de St Pierre est correcte, mais si on avait posé le même problème avec 20 fleurs, la démo tombe à l'eau (de la piscine).
Question: quel est le nombre max de fleurs qui autorise dans tous les cas de figure la pose de la piscine ?
NickoGecko a t il raison avec 24 ?

 #22 - 12-06-2011 11:58:57

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Allez, je vous afis une fleur...

En fait la question revient à donner le nombre minimum de disques de rayon 1 nécessaire pour recouvrir complètement un carré de côté 78/11 .

Quel est le plus grand carré que l'on peut couvrir avec 20 disques de rayon 1 ? Il y a sûrement des sites qui archivent ces résultats !!!!

Vasimolo

 #23 - 12-06-2011 12:42:55

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

allez, je vous fais une fleue...

Oui, c'est ici http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_square
D’après leur tableau, 20 cercles unités rentrent dans un carré de ≈ 8.978.


The proof of the pudding is in the eating.

 #24 - 12-06-2011 12:46:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Allez, je vous fais une fleru...

Non Franck , c'est le problème inverse qui m'intéresse smile

Combien de disques pour couvrir complètement le carré .

Merci quand même smile

Vasimolo

 #25 - 12-06-2011 19:07:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Allez, je vous fais nue fleur...

Bon je crois que j'ai trouvé une référence ( un peu lourde pour le forum )  . il faudrait 24 disques de rayon 11 pour recouvrir complètement un carré de côté 78 . Avec 23 orchidées on peut poser la piscine sans dégâts , avec 24 judicieusement disposées ça ne passe plus smile

Vasimolo

 

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