Si il n'y a aucune contrainte quant à la disposition des fleurs, notamment la distance entre deux fleurs, alors je dis : Vrai. Rien ne m'empêche par exemple de regrouper mes 19 orchidées le long d'un côté de la pelouse. Je pourrais même caser 4 piscines de 2,20m de diamètre ainsi...

Es-tu sûr que l'énoncé est complet, ou est-ce vraiment aussi facile que ça ???

Hello,
même avec 25, ça passe. La meilleure configuration (cela reste a prouver) est la répartition uniforme 5 par 5. On réalise un découpage en carrés de 10/6 de coté. Une piscine circulaire de diamètre 10/6*racine(2) passe ce qui fait 2.357m pour 25 orchidées. Si c'est bon pour 25, c'est bon pour 16 donc notre ami dit vrai.

C'est bien vrai.
S'il n'y avait aucune orchidée, alors on pourrait mettre en tout 20 piscines (mais c'est serré!).

La question que je me pose, c'est: si Pierre avait 20 orchidées, Jean aurait-il pu arriver à la même conclusion?
En gros, jusqu'à combien d'orchidées est-on sûr de pourvoir placer la piscine (sans tenir compte de l'emplacement des orchidées)?

C'est vrai et même avec 20 fleurs. (circle packing a square)

Bonjour


Lemme : On remarque qu'avec les données du problème :

Pelouse de [latex]10 m * 10 m[/latex]
Piscine de diamètre [latex]2,20 m[/latex]

On fait tenir 6 piscines tangentes sur une diagonale.
En effet, le centre d'une piscine placée dans un coin (tangente à deux côtés à la fois) est situé à [latex]1,1 \sqrt2 m[/latex]du coin, le bord de la piscine est donc à [latex]1,1 (\sqrt2 -1) m[/latex] du coin (sur la diagonale)

Une diagonale mesure [latex]10\sqrt2 \approx 14.14 m[/latex]

et six piscines plus deux fois la distance par rapport aux coins mesurent :
[TeX]6 * 2.2 + 2*1,1 (\sqrt2 -1) \approx 14.11 m[/TeX]
Développement :

Si je raisonne selon : "où faudrait-il placer les orchidées pour ne pas permettre le placement de la piscine ?", je place alors les orchidées aux points de tangence des piscines sur la diagonale, et aux points d'intersection (virtuels) selon la construction suivante :



(par projection on distribue 6 cercles sur un côté)

Il faudrait alors au moins 25 orchidées pour interdire le placement d'une piscine sur la pelouse
Donc avec 19 orchidées, il y aura toujours de la place pour une piscine ...
> "VRAI"

Merci et à bientôt,

Rien que pour empêcher la pose de la piscine sur les bords, il faut 16 orchidées.
Avec 3 orchidées en plus, on ne peut couvrir le reste.
Un petit dessin à l'échelle suffit.

Je dirais qu'il se trompe...

Une orchidée correspondrait à une surface de 100m2/19 soit environ 5,26m2.

Or la piscine couvre une surface d'environ 15,2m2 3,80m2.

Il semble donc que si les orchidées sont distribuées sur la pelouse de façon optimale, la piscine en écraser bien 2 ou 3.

Jolie démonstration !

SaintPierre, est-ce que par ton raisonement tu veux montrer que s'il y avait 20 orchidées alors il ne serait pas possible de mettre un piscine de 2.20?
Si oui, tu as faux.. En supposant que tu place tes orchidées au centre de chaque cercle, on peut tres bien mettre un piscine centree dans le triangle entre tes cercles.

Le dessin de NickoGecko est precisement ce a quoi je pensais, avec les precisions suivantes:
- distance entre orchidées: 1.56
- distance entre orchidée et bord de la pelouse: 1.88
(en supposant une taille non-nulle des orchidées).

Ce que je ne comprends pas avec ce genre de problème c'est que la taille des fleurs on ne les a pas, donc juste en s'imaginant une orchidée (disons 20 cm de diamètre on peut en mettre en plein

La réponse de St Pierre est correcte, mais si on avait posé le même problème avec 20 fleurs, la démo tombe à l'eau (de la piscine).
Question: quel est le nombre max de fleurs qui autorise dans tous les cas de figure la pose de la piscine ?
NickoGecko a t il raison avec 24 ?

Oui, c'est ici http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_square
D’après leur tableau, 20 cercles unités rentrent dans un carré de ≈ 8.978.

Bon je crois que j'ai trouvé une référence ( un peu lourde pour le forum )  . il faudrait 24 disques de rayon 11 pour recouvrir complètement un carré de côté 78 . Avec 23 orchidées on peut poser la piscine sans dégâts , avec 24 judicieusement disposées ça ne passe plus

Vasimolo