Au pif 14 ?

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Pourquoi ne peut-on pas faire mieux ?
Parce que, si on a 15 pions sur l'échiquier, il y en a au moins 1 sur une case dont la colonne possède un autre pion ET la ligne possède un autre pion, ce qui nous fait un triangle rectangle évident.

On peut le démontrer par l'absurde :
Démontration pour un échiquier de c x l, impossible d'avoir c+l-1 pions.
Supposons que les c+l-1 pions n'aient pas simultanément un pion (ou plus) sur la même colonne et un pion (ou plus) sur la même ligne.
On a 3 catégories de pions :
P0 : ceux qui sont seuls sur leur ligne et leur colonne
P1 : ceux qui ont d'autres pions sur la même ligne mais pas sur la colonne
P2 : ceux qui ont d'autres pions sur la même colonne mais pas sur le ligne

On a card(P0) + card(P1) + card(P2)=c+l-1. (rem : card(E) = nombre d'éléments de E).
Donc soit card(P1) + card(P0) > c-1 soit card(P2) + card(P0) > l-1 (démo simple par l'absurde).
A une symétrie près entre les colonnes et les lignes, on a donc au moins c pions qui sont seuls sur leur colonnes. Comme celà couvre toutes les colonnes, on ne peut avoir que c pions en tous, ce qui contredit qu'il y en a c+l-1 (létant supérieur à 2 pour les puristes !!!).

Donc c'est impossible d'avoir c+l-1 pions ne formant pas de triangle rectangle sur un échiquier de c colonnes sur l lignes.

Deux démonstrations de dylasse pour le cas général et franck pour l'échiquier classique 8X8 .

J'en ai une bien plus courte ( si on pouvait m'épargner les : Ah oui on s'en doutait ... ) en cherchant simplement à éviter les triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux bords de l'échiquier puis ...

Vasimolo

Tout le monde a trouvé la bonne réponse souvent par épuisement des cas . Je vous laisse quand même regarder la démonstration de dylasse pour le cas général .

J'avais procédé d'une façon un peu différente .

Oublions dans un premier temps les triangles rectangles dont les côtés sont de "travers" comme dans le dessin que je vous ai proposé et cherchons le maximum de pions sans triangles rectangles dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux lignes de l'échiquier . Plaçons nous dans le cas de m lignes et n colonnes . Hormis le cas ou il y a une seule ligne ou une seule colonne le maximum de pions qu'on peut poser est m+n-2 ( sinon c'est m ou n ) . La position proposée par dylasse et zikmu convient avec m+n-2 pions il reste à montrer qu'on ne peut pas faire mieux . Il est clair que si m ou n est égal à 2 on ne peut pas faire mieux . Maintenant si on pouvait faire mieux on pourrait choisir un cas avec m+n minimum pour m lignes et n colonnes et m+n-1 pions . La première ligne contiendrait alors au moins 2 pions sinon en l'enlevant on trouverait un contre-exemple plus petit . Une colonne contenant un de ses pions ne pouvant pas en contenir d'autre on obtiendrait un nouveau contre-exemple plus petit donc encore impossible en supprimant cette colonne . La suppression de cette colonne ne marcherait pas bien si on tolèrait les triangles de "travers" . Si on revient maintenant au cas général , il est clair que le maximum qu'on peut atteindre avec des triangles possiblement "penchés" est inférieur ou égal au maximum précédent et comme l'exemple cité ne contient aucun triangle rectangle c'est fini .

Merci à tous pour la participation

Vasimolo