Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 09-06-2011 19:32:50

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

somme de quelqies cubes : ze retour !!

Le but de cette nouvelle énigme (je l'avoue plus difficile que la précédente) est de déterminer le plus petit entier naturel [latex]n[/latex] qui vérifie : 
Il existe [latex]n[/latex] entiers relatifs [latex]a_1, a_2, ..., a_n[/latex] tels que :
[TeX]a_1^3+a_2^3+ ... + a_n^3 = 2012^{2011^{2010^{2009^{...^{2^{1}}}}}}.[/TeX]
Remarque sémantique :Spoiler : [Afficher le message]
ATTENTION : on ne demande pas de trouver les nombres [latex]a_1, a_2,..., a_n[/latex] , mais seulement (et c'est déjà pas mal)  l'entier naturel [latex]n[/latex].


Deux indices
Indice 1:Spoiler : [Afficher le message] on pourra admettre que 2012 est une somme de 4 cubes d'entiers et pas moins. (On pourra aussi le démontrer smile) .

Indice 2 : Spoiler : [Afficher le message]  on pourra admettre que [latex]2012^{2011^{2010^{...^{2^1}}}}[/latex] ne peut pas être une somme de 3 cubes d'entiers.(On pourra le démontrer lol)



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 09-06-2011 23:01:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Somme de quelques cubes : ZE RETOU R!!

J'espère que ça ne te dérange pas lollol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 09-06-2011 23:20:25

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

somme dz quelques cubes : ze retour !!

smile

 #4 - 10-06-2011 16:06:31

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Somme de quelques cubes : ZE RETOURR !!

Bon, comme pour la première énigme cette échelle d'exposants est une illusion...

Indice 3 :Spoiler : [Afficher le message]  le nombre [latex]2011^\alpha-1[/latex] ne serait-il pas un multiple de 3 (dès que [latex]\alpha>0[/latex]) ? 

Indice 4: Spoiler : [Afficher le message]  [latex]2012^{\beta-1}=\frac{2012^\beta}{2012}[/latex]

 #5 - 10-06-2011 19:01:11

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Somme de quelques ucbes : ZE RETOUR !!

sad

mon énigme ne plait pas !! snif snif snif
je donnerais la réponse dans un petit moment.

 #6 - 10-06-2011 19:10:07

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
Messages : 1629
Lieu: Autre nom du colin

Somme de quelques cubes : Z ERETOUR !!

Il reste 48h encore... laisse les gens prendre le temps de s'y mettre, surtout que le weekend commence à peine smile


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

 #7 - 11-06-2011 07:11:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

somme de suelques cubes : ze retour !!

ça revient à trouver la décomposition de 2012....

 #8 - 11-06-2011 12:09:04

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Somme de quellques cubes : ZE RETOUR !!

big_smile Oui, en effet, le but est finalement de démontrer pourquoi ce nombre se décompose avec le même nombre de cubes que 2012.

 #9 - 12-06-2011 10:14:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

qomme de quelques cubes : ze retour !!

Car la puissance est un 3k+1....2011=1 mod3, et reste 1 quelle que soit la puissance.
Sinon, 2012 se décompose en la somme de 3 ou 4 termes (3 si on a de la chance et 4 sinon)
As tu trouvé cette décomposition ?

 #10 - 12-06-2011 13:45:36

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

Somme de quelques cubes : ZEE RETOUR !!

on peut démontrer que 2012 ne se décompose pas avec 3 cubes (en pensant au reste modulo 9).
Il en faut 4.
Par exemple : Spoiler : [Afficher le message] [latex]2012=11^3+8^3+8^3+(-7)^3[/latex]

 #11 - 12-06-2011 16:49:13

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 166

somme de quzlques cubes : ze retour !!

Utilisons les notations suivantes qui permettrons de tuer cette colonne d'exposants :
[TeX]N = 2012^{2011^{2010^{...^{2^1}}}}=2012^{2011^\alpha}[/TeX]
Admettons (pour l'instant) les trois résultats suivants :
[TeX]\begin{tabular}{|l|}
\hline
\text{1) } \alpha>0 \text{ donc } 2011^\alpha-1 \text{ est un multiple de 3. Il existe donc un entier } K \text{ tel que } 2011^\alpha-1=3K.
\text{2) }2012=11^3+8^3+8^3-7^3 \text{, sans que l'on puisse utiliser moins de cubes.}
\text{3) } 2012^{2011^{\alpha}} \text{ n'est pas une somme de 3 cubes d'entiers.}
\hline
\end{tabular}[/TeX]
Démontrons que [latex]2012^{2011^{\alpha}}[/latex] est une somme de 4 cubes d'entiers :


D'après 1), on peut donc écrire qu'il existe un entier [latex]u[/latex] qui vérifie :
[TeX]2012^{2011^{\alpha}-1}=2012^{3K}[/TeX]
[TeX]=\(2012^K\)^3[/TeX]
[TeX]=u^3[/latex]       (*)

Il ne reste plus qu'à écrire que :
                    [latex] 2012^{2011^{\alpha}-1} = \frac{2012^{2011^\alpha}}{2012}[/TeX]
Donc :
[TeX] 2012^{2011^\alpha}=2012\times2012^{2011^{\alpha}-1}[/TeX]
[TeX]=2012\times u^3[/latex]   (d'après (*))

En utilisant le résultat 2) il vient :
                   [latex]2012^{2011^\alpha} = (11^3+8^3+8^3-7^3)\times u^3[/TeX]
[TeX]=(11u)^3+(8u)^3+(8u)^3+(-7u)^3[/TeX]
Notre nombre N est donc une somme de 4 cubes d'entiers, on conclut en évoquant le résultat 3).


Un bref retour sur les résultats admis en première lecture :
[latex]\bullet[/latex] le premier est un résultat classique sur les congruences, il se démontre facilement en regardant le reste modulo 3 de 2011;
[latex]\bullet[/latex] le deuxième se démontre facilement en remarquant qu'en travaillant modulo 9, 2012 ne peut pas être une somme de 3 cubes;
[latex]\bullet[/latex] le troisième, pareil, cela se passe "modulo 9", c'est un peu plus long que le point précédent.

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Si il y a 51 pommes et que vous en prenez 24, combien en avez-vous ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete