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 #26 - 15-06-2011 23:54:54

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

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"Un papier et un crayon" ou "un clavier et un écran (et une UC et ...)" smile

#0 Pub

 #27 - 17-06-2011 18:03:00

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Produits et odulo + Indice

Bravo à tous pour avoir participé, et double-bravo pour ceux qui ont trouvé 195312
Voici donc une méthode de résolution "papier-crayon"

Sur 10 nombres consécutifs, on a 5 multiples de 2, dont au moins 2 multiples de 4, dont un multiple de 8. 5+2+1 = 8, donc notre produit est au moins multiple de 2^8
Combien faut-il de facteurs 5 pour obtenir le résultat souhaité? Au moins 9, puisque chaque facteur 5 se multiplie avec un facteur 2 pour former un zéro supplémentaire, jusqu'à épuisement des facteurs 2.

Sur 10 nombres consécutifs, j'ai 2 multiples de 5; ici 10n+5 et 10n+10.
On remarque tout d'abord qu'un seul d'entre eux peut être multiple d'une puissance de 5 supérieure à 5. Du coup, l'un d'entre eux doit être un multiple de 5^8 (voire plus) et l'autre de 5 pour obtenir le résultat.

Mais attention: on a supposé qu'il y aurait 8 fois le facteur 2: c'est un minimum; il faut donc s'assurer que notre multiple de 8 par exemple n'est pas multiple de 16 en réalité.

On va calculer 5^8 (à la main ^^)
5*5 = 25
25*25 = 625
625*625 = 390625

On sait donc que 10n+5 ou 10n+10 est multiple de 390625

Cas 1: 390625 | 10n+5
On va calculer 390625 % 16
25%16 = 9
625%16 = 9*9 %16 = 81 %16 = 1
et donc 390625 % 16 = 1
Autrement dit:
-si 10n+5 = 390625, alors 16 divise 10n+4, ce qu'on voulait éviter.
-si 10n+5 = 390625 * 3, alors 16 divise 10n+2, ce qu'on voulait éviter.
-si 10n+5 = 390625 * 5, alors 16 ne divise aucun nombre entre 10n+1 et 10n+10; et on a exactement 8 facteurs 2; parfait
Pour le cas 1, on a donc 10n+5 = 390625 * 5 = 1953125 et n = 195312


Cas 2: 390625 | 10n+10
Pour cela, il faudrait prendre les multiples pairs de 390625, comme par exemple 390625*2 = 781250
Pareil, on va calculer 781250 % 16: il vaut 2 (d'après nos calculs du cas 1)
Autrement dit:
- pour 10n+10 = 781250, alors 16 divise 10n+8, ce qu'on voulait éviter.
- pour 10n+10 = 781250 * 2, alors 16 divise 10n+6, ce qu'on voulait éviter.
- pour 10n+10 = 781250 * 4, n serait déjà supérieur à notre résultat du cas 1.

La réponse est donc 195312

 #28 - 17-06-2011 19:14:48

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

produits et modylo + indice

Bravo et merci pour cette énigme sympa, où j'ai lamentablement échoué.
Mais j'ai appris une chose: Excel ne fait des calculs que sur 15 chiffres significatifs (ce qui est déjà pas si mal !!) et indique des zéros ensuite.
Par exemple, pour Excel, 2^50 finit par ...620 (15 chiffres avant le 0), alors que la vérité est ...624.
Alors gare à la confiance aveugle en Excel !!
Frank

 

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