Enigmes

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 #1 - 14-06-2011 16:54:05

scarta
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Enigmes résolues : 49
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Produits et modullo + Indice

L'énigme sur la factorielle m'a donné une idée d'énigme.

Quel est le plus petit entier n positif tel que
(10n+1)(10n+2)(10n+3)(10n+4)(10n+5)(10n+6)(10n+7)(10n+8)(10n+9)(10n+10)
finisse par 5 et un certain nombre de zéros ?

Indice: Spoiler : [Afficher le message] Que peut-on dire de 10 nombres consécutifs ?



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 #2 - 14-06-2011 17:08:32

MthS-MlndN
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produits et modylo + indice

Histoire d'enfoncer le clou sur mon ignorance crasse, et sur cette erreur que j'ai refaite sur le forum lol

Je ne la ferai pas ici une troisième fois ; j'affirmerai juste "je n'en sais rien", et j'attendrai de voir les réponses de meilleurs matheux que moi big_smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 14-06-2011 20:50:44

gwen27
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Produits et modulo + Idice

Ma belle équation fausse copiée collée de wolfram a disparu : lien invalide

soit 8 + 4n + 6n^2 termine par 5

Je trouve 47 mais ce n'est plus trop de la résolution... Pa s grave , c'était faux !

 #4 - 14-06-2011 20:54:10

scarta
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@gwen27: 471*472*473*474*475*476*477*478*479*480 finit par 8000 smile

 #5 - 14-06-2011 22:51:53

gwen27
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Prodits et modulo + Indice

Grrrrrrrrrrr, je cherche , ça peut vraiment finir par autre chose que 80.....0 ?

 #6 - 14-06-2011 22:56:21

scarta
Elite de Prise2Tete
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Produits et modulo + Indie

Ben oui, cf mon post sur le topic duquel je m'inspire smile
21x22x23x24x25x26x27x28x29x30 finit par 2000

 #7 - 15-06-2011 09:01:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
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ptoduits et modulo + indice

Si on retire tous les zéro éventuels à la fin du nombre de base

il restera

(...1)(...2)(...3)(...4)(...5)(...6)(...7)(...8)(...9)(...0)

On retire (...2)(...5) ce qui amène un zéro
On retire (...0)

Il restera toujours un nombre pair à l'arrivée. Sauf si on arrive à épuiser tous les facteurs pairs et à conserver un 5 en plus

Ce qui laisse 2 4 6 8 : 2^7 pour un seul multiple de 5 donc au moins 5^8

(5^8 -5)/10 pourrait peut-être marcher soit 39062 ce qui donne bien un chiffre impair pour 10n+10 (390630)

EDIT: Je pense à vérifier la case réponse au cas où... Ca ne marche pas ! Pourtant, même sans équations, je pense que le raisonnement est valable.
La case réponse valide 195312 = (5^9-5)/10 J'ai du commettre une erreur, je verrai ça plus tard.

Oui, 390624 = 2^5 x 12207 Ca fait beaucoup de 2 en plus ça... Alors que pour  195312, il n'y a pas ce genre de souci.

 #8 - 15-06-2011 09:13:08

halloduda
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Produits et mmodulo + Indice

Chaque dizaine contribue à 8 facteurs "2" et à seulement 2 facteurs "5".

Il faut donc que l'un des facteurs  de l'expression comprenne un "5" à une puissance assez élevée pour résister à tous les "2", et qu'ils n'aient ensemble pas trop de "2".

Par exemple n=5^7-2 = 78 123 donne
84707089503811159762656884001645106818180041953093500000000

D'après la case réponse, ce n'est pas le plus petit.

Mais un essai avec n=1 ou 2 se termine par ...800.

 #9 - 15-06-2011 09:45:26

scarta
Elite de Prise2Tete
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produits et mosulo + indice

Bonne réponse de gwen (même si je ne suis pas d'accord avec ton "2 4 6 8", qui est à la source de ton erreur), de plus il faut comprendre pourquoi celui-là est le plus petit qui marche
halloduda: Essaye avec n=1 ou n=2 et tu verras que ce que tu avances est erroné

 #10 - 15-06-2011 10:05:15

gwen27
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Effectivement, le 2 4 6 8 est un peu erronné puisque le 8 peut venir de 2*9...
Dans ce cas il faut faire le même raisonnement en partant de 5^4 minimum

Seuls 10n+5 ou 10n+10 peuvent apporter un facteur 5

Si l'un d'entre eux en apporte 2 ou plus , l'autre n'en apporte plus qu'un (voire aucun)
Donc un des deux doit être multiple de 5^3 au minimum

5^3: 125  n=12 ou n=124
5^4 : 625 n=62 ou n=624
5^5 : 3125 n=312 ou n=3124
5^6 : 18625 n=1862 ou n = 18624
5^7 : 78125 n=7812 ou n =78124
5^8 : 390625 n=39062 ou n=390624
5^9 : 1953125 n= 195312

La mise en facteur premier des termes pour les 9 premiers cas montre que les puissances de 2 sont supérieures aux puissances de 5 , le résultat sera donc pair.

390624 semble fonctionner mais il est plus grand que 195312 qui est donc bien le plus petit résultat valable.

 #11 - 15-06-2011 10:18:47

Franky1103
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Produits et modulo + ndice

Bonjour,
Avec n=9, ça marche, mais pas validé par la case réponse.
De toute façon, je n'aurais pas su l'expliquer.
A moins que n puisse être négatif ?
Bonne journée.
Frank

 #12 - 15-06-2011 10:32:57

rivas
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ptoduits et modulo + indice

Pour que le nombre se termine par un 5 puis des 0, il faut que dans ce nombre, la puissance du facteur 5 soit d'au moins 1 de plus que la puissance du facteur 2.
Quels sont les termes qui contribuent à la puissance de 5 et ceux qui contribuent à la puissance de 2?

F(n)=(10n+1)2(5n+1)(10n+3)2(5n+2)5(2n+1)2(5n+3)(10n+7)2(5n+4)(10n+9)5.2(n+1)
F(n)=2^5.5^2.(10n+1)(5n+1)(10n+3)(5n+2)(2n+1)(5n+3)(10n+7)(5n+4)(10n+9)(n+1)

On note déjà un excès de 3 puissances de 2 qui doivent être compensées par le produit dépendant de n.

Les termes suivants ne peuvent contribuer ni à la puissance de 2, ni à celle de 5:
10n+1
10n+3
10n+7
10n+9

Les termes suivants ne peuvent pas contribuer à la puissance de 5:
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
2 d'entre-eux apporteront au moins une puissance de 2 (5n+1 et 5n+3 si n est impair, 5n+2 et 5n+4 si n est pair) et l'un d'entre eux 2 puissances de 2 (l'un des deux est divisible par 4).
Le différentiel des puissances passe donc au moins à 6 en faveur des puissances de 2.

Les seuls termes pouvant apporter des puissances de 5 sont donc:
2n+1
n+1
Malheureusement pas simultanément.

Il faut donc amener au moins 7 puissances de 5 avec l'un de ces termes + autant de puissances que ce qu'apportent 5n+2 et 5n+4 au dela de 3 (3 sont déjà pris en compte dans le calcul de 7).

Essayons donc dans l'ordre:
2n+1=5^7 => n=39062; 5n+2=195312=2^4.12207: trop de puissances de 2
n+1=5^7 => n=78124; 5n+2=390622=2*195311, 5n+4=2^5.12207: trop de puissances de 2
2n+1=5^8 => n=195312; 5n+2=976562=2.I (2 fois un impair); 5n+4=4.I.
On a donc apporté au produit 3 nouvelles puissances de 2 minimum prévu ci-dessus; le différentiel est donc de 6 pour les puissances de 2. Mais on apporte 7 puissances de 5, le differentiel passe donc à 1 pour les puissances de 5, c'est donc gagné.

Je valide donc 195312, ce que confirme la case réponse.
Je n'ai pas le courage de faire le calcul pour vérifier, scarta l'a surement fait smile

Merci pour cette très jolie énigme d'arithmétique.

EDIT: Je ne savais comment faire le produit avec WA. Merci pour le truc.
La réponse est donc: 807795634891494707943372544128806100052285194399169927500000000

 #13 - 15-06-2011 10:58:22

Nicouj
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Produits et modulo + Indiice

Trivialement un nombre entier se termine par 5 puis des 0 ssi il est divisible par strictement plus de 5 que de 2.

(10n+1)(10n+2)(10n+3)(10n+4)(10n+5)(10n+6)(10n+7)(10n+8)(10n+9)(10n+10) =
2^5*5^2 * (10n+1)(10n+3)(10n+7)(10n+9)  * (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4) * (n+1)*(2n+1)

Pour l'instant le nombre est divisible 2 fois par 5 et 5 fois par deux, il faut bricoler pour faire apparaitre quatre 5 de plus que des 2.

(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4) n'est pas divisible par 5 mais au moins 3 fois par 2.
Il faut faire apparaitre au moins sept 5 de plus que de 2 dans le reste du produit.

(10n+1)(10n+3)(10n+7)(10n+9) n'est pas divisible par 2 ni par 5.

(2n+1) n'est pas divisible par 2 mais peut être divisible par une puissance de 5

(n+1) peut être divisible par 2 et par 5. Si c'est une puissance de 5 il ne sera pas divisible par 2.

(n+1) et (2n+1) ne peuvent pas être multiples de 5 en même temps.

J'ai besoin de sept 5. Je teste avec (2n+1) = 5^7 plutot que (n+1) = 5^7 pour avoir un n plus petit.
Ce n'est pas bon car 5n+2 est divisible par au moins 8.

Je teste avec  (n+1) = 5^7.
Ce n'est pas bon car 5n+4 est divisible par au moins 8.

Je teste avec (2n+1) = 5^8.
(5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+3) n'apporte que trois 2. Gagné !!

n = (5^8-1)/2 = 195312

 #14 - 15-06-2011 10:59:55

Nicouj
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Produits et moudlo + Indice

Au fait l'énoncé ne précise pas nombre entier. Est-ce qu'il existe un rationnel plus petit pour lequel ça marche ?  (J'ai trop pris de temps au boulot pour y réfléchir ><)

 #15 - 15-06-2011 11:29:43

scarta
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PProduits et modulo + Indice

@Francky1103: en prenant ta valeur de n, le produit finit par 2000
Bonnes réponses de rivas et Nicouj.

@Nicouj: c'est une bonne question. On va dire que n est un entier (je modifie l'énoncé)

 #16 - 15-06-2011 13:19:25

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Produits et modulo + Indiec

Pour n = 9, le produit se termine par 5 et cinq 0.
Il s'agit du plus petit entier positif répondant à la condition.

Pour n = -7, le produit se termine par 5 et quatre 0.
Pour n = -10, le produit se termine par 5 et cinq 0.
Pour n = -12, le produit se termine par 5 et six 0.
Pour n = -18, le produit se termine par 5 et huit 0.
Pour n = -32, le produit se termine par 5 et dix 0.
Je ne trouve pas de critère qui permette de penser qu'il y a une limite.

 #17 - 15-06-2011 14:10:45

Franky1103
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produits et midulo + indice

Ben non !!! Je trouve que 91 x 92 x 93 x 94 x 95 x 96 x 97 x 98 x 99 x 100 finit même par 500000. Où est l'erreur ?

 #18 - 15-06-2011 14:26:54

scarta
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produuts et modulo + indice

@Franky et Milou: Vous avez le même (mauvais) résultat. Expliquez moi comment vous l'obtenez. Franky, WolframAlpha te confirmera ce que je t'ai dit

 #19 - 15-06-2011 15:03:03

Yanyan
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produits er modulo + indice

J'essaye sans calculatrice.

Notons [latex]P[/latex] ce produit et écrivons [latex]P=2^a5^bR[/latex]  avec [latex]R[/latex] premier avec 2 et 5.

On voudrait [latex]\frac{P}{10^m}=5[10][/latex].

d'où [latex]10|2^{a-m}5^{b-m}R-5[/latex] et donc [latex]a-2m=0[/latex] et [latex]b-m>0[/latex].
On voit que [latex]a\geq 4[/latex] et [latex]b\geq 2[/latex].

Je suppose que [latex]n=\frac{5^{b-1}-5}{10}[/latex] à cause des puissances de 5 .

Remarque : [latex]P=\frac{(10n+10)!}{(10n)!}[/latex].

Avec calculatrice : b=10 d'où n=195312.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #20 - 15-06-2011 15:25:30

Milou_le_viking
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 434

Produits t modulo + Indice

scarta a écrit:

@Franky et Milou: Vous avez le même (mauvais) résultat. Expliquez moi comment vous l'obtenez.

Je tape la formule suivante dans Excel:

=(10*A2+1)*(10*A2+2)*(10*A2+3)*(10*A2+4)*(10*A2+5)*(10*A2+6)*(10*A2+7)*(10*A2+8)*(10*A2+9)*(10*A2+10)

Et je prend A2 = 9 et j'ai un problème d'arrondis qui apparait.

Je chercherai une autre méthode demain.

 #21 - 15-06-2011 17:12:37

Autleaf
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Produits et modulo + Inice

Quand on demande à Wolfram de nous donner la forme complète, on obtient :
[TeX]10000000000 n^{10}+55000000000 n^9+132000000000 n^8
+181500000000 n^7+157773000000 n^6+90205500000 n^5
+34169300000 n^4+8409500000 n^3+1275357600 n^2
+106286400 n+3628800
[/TeX]
On remarque que le dernier chiffre non nul des trois derniers termes est pair, donc il faut une condition sur n pour que la somme des trois derniers monômes soit un multiple de 1000, ce qui donne :
[TeX]8+4 n+6 n^2 = 0 [10][/TeX]
En testant avec Excel, on obtient que n doit finir par 2,4,7 ou 9. On ne pourra pas avoir 5 comme premier chiffre non nul avec n pair, donc on élimine 2 et 4.

Ensuite, on va obtenir le 5 grâce aux autres termes. Les termes de puissance 3 à 5 sont tous les trois des multiples de 10^5. Donc il faut prendre n tel que la somme des trois derniers monômes respecte cette condition.

Les deux premières valeurs de n sont 187 et 249...

Et je continuerai un peu plus tard...

 #22 - 15-06-2011 17:39:32

scarta
Elite de Prise2Tete
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priduits et modulo + indice

@Autleaf: je parlais de Wolfram pour aider Frank à vérifier que sa solution n'était pas bonne. Ceci dit, les tiennes non plus smile

@Tous ceux qui cherchent: pour valider vos réponses, tapez
Product[10*n+ i, {i, 1, 10}]
sur WolframAlpha en remplaçant n par votre réponse; vous verrez tout de suite si c'est bon ou pas smile

 #23 - 15-06-2011 19:31:20

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

produits et lodulo + indice

Explication: j'ai calculé ce produit avec Excel (je ne connais pas Wolfram que je vais immédiatement essayer) en oubliant qu'Excel arrondit les gros chiffres à partir d'un certain rang.

 #24 - 15-06-2011 21:46:19

godisdead
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Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Produits et modulo + Indicee

c'est bizarre, j'ai trouvé 9 avec excel, mais ça ne valide pas. Je me suis planté où ?
91*92*93*94*95*96*97*98*99*100 = 62 815 650 955 529 500 000

Effectivement, open office a arrondi ... Je vais reprendre mon papier crayon smile

En fait non, j'ai encore utilisé excel, mais avec l'aide de la case réponse.
pour avoir un 5 en premier chiffre, il faut que tous les 2 des décompositions se marie avec un 5 et qu'il reste un 5 !
Bref, j'ai fais toutes les puissances de 5 dans la case réponse et je trouve :
195312 (5^9 = 1953125)

Pour la démo complète, je vais laisser les pros et admirer le résultat !

 #25 - 15-06-2011 22:13:50

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

Produits et modulo + Inndice

Je rajoute une indication concernant l'utilisation d'Excel

Excel ne sait pas calculer de manière exacte de grands nombres.
Si d'après lui n=9 est solution; ce n'est pas vrai !
Merci à Franky de l'avoir remonté

PS: la résolution peut se faire avec un papier et un crayon
PPS: je rajoute un indice au passage

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