Histoire d'enfoncer le clou sur mon ignorance crasse, et sur cette erreur que j'ai refaite sur le forum

Je ne la ferai pas ici une troisième fois ; j'affirmerai juste "je n'en sais rien", et j'attendrai de voir les réponses de meilleurs matheux que moi

@gwen27: 471*472*473*474*475*476*477*478*479*480 finit par 8000

Ben oui, cf mon post sur le topic duquel je m'inspire
21x22x23x24x25x26x27x28x29x30 finit par 2000

Chaque dizaine contribue à 8 facteurs "2" et à seulement 2 facteurs "5".

Il faut donc que l'un des facteurs  de l'expression comprenne un "5" à une puissance assez élevée pour résister à tous les "2", et qu'ils n'aient ensemble pas trop de "2".

Par exemple n=5^7-2 = 78 123 donne
84707089503811159762656884001645106818180041953093500000000

D'après la case réponse, ce n'est pas le plus petit.

Mais un essai avec n=1 ou 2 se termine par ...800.

Effectivement, le 2 4 6 8 est un peu erronné puisque le 8 peut venir de 2*9...
Dans ce cas il faut faire le même raisonnement en partant de 5^4 minimum

Seuls 10n+5 ou 10n+10 peuvent apporter un facteur 5

Si l'un d'entre eux en apporte 2 ou plus , l'autre n'en apporte plus qu'un (voire aucun)
Donc un des deux doit être multiple de 5^3 au minimum

5^3: 125  n=12 ou n=124
5^4 : 625 n=62 ou n=624
5^5 : 3125 n=312 ou n=3124
5^6 : 18625 n=1862 ou n = 18624
5^7 : 78125 n=7812 ou n =78124
5^8 : 390625 n=39062 ou n=390624
5^9 : 1953125 n= 195312

La mise en facteur premier des termes pour les 9 premiers cas montre que les puissances de 2 sont supérieures aux puissances de 5 , le résultat sera donc pair.

390624 semble fonctionner mais il est plus grand que 195312 qui est donc bien le plus petit résultat valable.

Pour que le nombre se termine par un 5 puis des 0, il faut que dans ce nombre, la puissance du facteur 5 soit d'au moins 1 de plus que la puissance du facteur 2.
Quels sont les termes qui contribuent à la puissance de 5 et ceux qui contribuent à la puissance de 2?

F(n)=(10n+1)2(5n+1)(10n+3)2(5n+2)5(2n+1)2(5n+3)(10n+7)2(5n+4)(10n+9)5.2(n+1)
F(n)=2^5.5^2.(10n+1)(5n+1)(10n+3)(5n+2)(2n+1)(5n+3)(10n+7)(5n+4)(10n+9)(n+1)

On note déjà un excès de 3 puissances de 2 qui doivent être compensées par le produit dépendant de n.

Les termes suivants ne peuvent contribuer ni à la puissance de 2, ni à celle de 5:
10n+1
10n+3
10n+7
10n+9

Les termes suivants ne peuvent pas contribuer à la puissance de 5:
5n+1
5n+2
5n+3
5n+4
2 d'entre-eux apporteront au moins une puissance de 2 (5n+1 et 5n+3 si n est impair, 5n+2 et 5n+4 si n est pair) et l'un d'entre eux 2 puissances de 2 (l'un des deux est divisible par 4).
Le différentiel des puissances passe donc au moins à 6 en faveur des puissances de 2.

Les seuls termes pouvant apporter des puissances de 5 sont donc:
2n+1
n+1
Malheureusement pas simultanément.

Il faut donc amener au moins 7 puissances de 5 avec l'un de ces termes + autant de puissances que ce qu'apportent 5n+2 et 5n+4 au dela de 3 (3 sont déjà pris en compte dans le calcul de 7).

Essayons donc dans l'ordre:
2n+1=5^7 => n=39062; 5n+2=195312=2^4.12207: trop de puissances de 2
n+1=5^7 => n=78124; 5n+2=390622=2*195311, 5n+4=2^5.12207: trop de puissances de 2
2n+1=5^8 => n=195312; 5n+2=976562=2.I (2 fois un impair); 5n+4=4.I.
On a donc apporté au produit 3 nouvelles puissances de 2 minimum prévu ci-dessus; le différentiel est donc de 6 pour les puissances de 2. Mais on apporte 7 puissances de 5, le differentiel passe donc à 1 pour les puissances de 5, c'est donc gagné.

Je valide donc 195312, ce que confirme la case réponse.
Je n'ai pas le courage de faire le calcul pour vérifier, scarta l'a surement fait

Merci pour cette très jolie énigme d'arithmétique.

EDIT: Je ne savais comment faire le produit avec WA. Merci pour le truc.
La réponse est donc: 807795634891494707943372544128806100052285194399169927500000000

Au fait l'énoncé ne précise pas nombre entier. Est-ce qu'il existe un rationnel plus petit pour lequel ça marche ?  (J'ai trop pris de temps au boulot pour y réfléchir ><)

Pour n = 9, le produit se termine par 5 et cinq 0.
Il s'agit du plus petit entier positif répondant à la condition.

Pour n = -7, le produit se termine par 5 et quatre 0.
Pour n = -10, le produit se termine par 5 et cinq 0.
Pour n = -12, le produit se termine par 5 et six 0.
Pour n = -18, le produit se termine par 5 et huit 0.
Pour n = -32, le produit se termine par 5 et dix 0.
Je ne trouve pas de critère qui permette de penser qu'il y a une limite.

@Franky et Milou: Vous avez le même (mauvais) résultat. Expliquez moi comment vous l'obtenez. Franky, WolframAlpha te confirmera ce que je t'ai dit

scarta a écrit:

@Franky et Milou: Vous avez le même (mauvais) résultat. Expliquez moi comment vous l'obtenez.

Je tape la formule suivante dans Excel:

=(10*A2+1)*(10*A2+2)*(10*A2+3)*(10*A2+4)*(10*A2+5)*(10*A2+6)*(10*A2+7)*(10*A2+8)*(10*A2+9)*(10*A2+10)

Et je prend A2 = 9 et j'ai un problème d'arrondis qui apparait.

Je chercherai une autre méthode demain.

@Autleaf: je parlais de Wolfram pour aider Frank à vérifier que sa solution n'était pas bonne. Ceci dit, les tiennes non plus

@Tous ceux qui cherchent: pour valider vos réponses, tapez
Product[10*n+ i, {i, 1, 10}]
sur WolframAlpha en remplaçant n par votre réponse; vous verrez tout de suite si c'est bon ou pas

c'est bizarre, j'ai trouvé 9 avec excel, mais ça ne valide pas. Je me suis planté où ?
91*92*93*94*95*96*97*98*99*100 = 62 815 650 955 529 500 000

Effectivement, open office a arrondi ... Je vais reprendre mon papier crayon

En fait non, j'ai encore utilisé excel, mais avec l'aide de la case réponse.
pour avoir un 5 en premier chiffre, il faut que tous les 2 des décompositions se marie avec un 5 et qu'il reste un 5 !
Bref, j'ai fais toutes les puissances de 5 dans la case réponse et je trouve :
195312 (5^9 = 1953125)

Pour la démo complète, je vais laisser les pros et admirer le résultat !