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 #1 - 04-02-2011 14:43:02

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Drôles de foonction

Saurez-vous trouver toutes les fonctions réelles qui vérifient :[latex] f(\lfloor x\rfloor y) = f(x)\lfloor f(y)\rfloor[/latex].

PS : de l'astuce avant tout, peu de maths.

NB : [latex]\lfloor x\rfloor[/latex] est la partie entière par défaut de x (fonction plancher), exemples : [latex] \lfloor 2.3\rfloor = 2[/latex],  [latex]\lfloor 2\rfloor = 2[/latex] et  [latex]\lfloor -2.3\rfloor = -3[/latex]



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 #2 - 04-02-2011 17:22:53

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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Drôels de fonction

Saurez-vous trouver... ?
réponse : non lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #3 - 04-02-2011 17:46:16

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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drôles de fpnction

tsst tsst manque d'astuce ?

 #4 - 04-02-2011 17:53:41

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

drôles de fonctiin

déjà trivialement les fonctions constantes 0 et 1.

C'est un début :S

Sinon je vois que : f(floor(x) * y) = f(n*x) * floor(f(y/n)) pour tout n >= 1

 #5 - 04-02-2011 18:15:21

toni77
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 65

Drôles ed fonction

Si [latex]f(0)\neq 0[/latex] :
On prend x=0, et y réel alors [latex]f(0)=f(0)Ent(f(y))[/latex]
Donc, [latex]\forall y\in\mathbb{R},\quad Ent(f(y))=1, ie Ent(f(y))\in[1;2[[/latex]
On prend alors x réel et y=0 : [latex]f(0)=f(x)Ent(f(0))=f(x)[/latex]
D'où, f garde une valeur constante, la constante étant comprise entre 1 et 2 (strictement pour 2).

Si [latex]f(0)=0[/latex] :
[TeX]\forall x\in[0;1[,\forall y\in\mathbb{R}, f(0)=f(Ent(x)y)=f(x)Ent(f(y))=0[/TeX]
Donc, [latex]\forall x\in[0;1[, f(x)=0[/latex] (je pense que ce n'est pas correct ici mais pas envie de reprendre tongue )

Soit [latex]x\geq 1[/latex].
[TeX]f(x)=f(Ent(2x)\times \frac{x}{Ent(2x)})=f(x)\times Ent(f(\frac{x}{Ent(2x)}))=f(x)\times 0=0[/TeX]
Soit [latex]x<0[/latex].
[TeX]f(x)=f(Ent(x)\times \frac{x}{Ent(x)})=f(x)\times Ent(f(\frac{x}{Ent(x)}))=f(x)\times 0=0[/TeX]
Donc f est constante nulle.

Bilan, [latex]\fbox{f=k, \quad k\in\{0\}\cup[1;2[}[/latex]

 #6 - 04-02-2011 18:36:26

debutant1
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 116

drôled de fonction

si j ai compris

f(y)=f([1]y)=f(1)[f(y)]

f([0]y)=f(o)[f(y)]=f(0)
soit f(0)=0 soit [f (y)]=1

si [(f(y)]=1 => f(y)=f(1) constante


f([1]1)=f(1)[f(1)]= f(1)

soit f(1)= 0 soit [f(1)]=1

conclusion si f(1)=0 =>f(y)=0

sinon f(y)=constante =1

 #7 - 04-02-2011 19:43:05

L00ping007
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Drôles de fonctionn

x=y=0
f(0)=f(0).E[f(0)]

si f(0)=0
prenons x dans [0;1[
0=f(0)=f(E[x].x)=f(x).E[f(x)]
si E[f(x)] != 0 alors f(x)=0 : contradiction
donc E[f(x)]=0.
pour x=2 et y=1/2 on a :
f(2.1/2)=f(2).E[f(1/2)]=0
donc f(1)=0
x=1 y réel
f(1.y)=f(1).E[f(y)]=0
et f nulle

sinon
alors f(0) est dans [1;2[
avec y=0 et x réel
f(0)=f(x).E[f(0)]=f(x)
et f constante égale a f(0)


On montre facilement réciproquement que ces fonctions sont solutions

 #8 - 04-02-2011 22:28:20

gasole
Elite de Prise2Tete
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Drôles de foction

@ Nicouj : un bon début...

@Toni et Looping : Bravo les mecthématiciens... Impec!

@debutant : tu as pleins d'ingrédients mais ton raisonnement a des trous :
et si on est dans le cas f(0)=0 ?

 #9 - 04-02-2011 23:04:58

gasole
Elite de Prise2Tete
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Drôles de fnoction

Tout va bien Looping. You're alright.

 #10 - 05-02-2011 12:41:03

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Drôels de fonction

Sauf erreurs seules certaines fonctions constantes conviennent .

Supposons d'abord qu'il existe [latex]a[/latex] tel que [latex]f(a)\notin[1;2[\cup \{0\}[/latex] ( ie: [latex]f(a)\neq0[/latex] et [latex]\lfloor f(a) \rfloor \neq 1[/latex] ) alors :

[latex]f(0)=f(\lfloor 0 \rfloor a ) = f(0)\lfloor f(a) \rfloor[/latex] donc [latex]f(0)=0[/latex] .

Alors pour tout [latex]x[/latex] dans [latex][0;1[[/latex] :

[latex]0=f(0)=f(\lfloor x\rfloor a)=f(x)\lfloor f(a) \rfloor[/latex] donc [latex]f(x)=0[/latex] , [latex]f[/latex] est nulle sur [latex][0;1[[/latex] .

Maintenant si [latex]x[/latex] est positif :

[latex]f(x)=f(\lfloor x+1 \rfloor \frac{x}{\lfloor x+1 \rfloor})=f(\lfloor x+1 \rfloor)\lfloor f(\frac{x}{\lfloor x+1 \rfloor})\rfloor = 0[/latex] .

[latex]f(-x)=f(\lfloor -1 \rfloor x)=f(-1)\lfloor f(x)\rfloor = 0[/latex] .

[latex]f[/latex] est donc identiquement nulle , il reste à étudier le cas ou [latex]f[/latex] prend toutes ses valeurs dans [latex][1;2[\cup\{0\}[/latex] .

Pour [latex]x = 1[/latex] l'égalité initiale devient :[latex] f(y)=f(1)\lfloor f(y) \rfloor[/latex] , c'est à dire que [latex]f(y)=f(1)[/latex] ou [latex]f(y)=0[/latex] , [latex]f[/latex] est constante . Il reste à vérifier que toute fonction constante à valeur dans [latex][1;2[\cup \{0\}[/latex] convient , ce qui est évident .

Amusant smile

Vasimolo

 #11 - 05-02-2011 13:25:09

gasole
Elite de Prise2Tete
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Drôles de focntion

Bravo aussi Vasimolo !

 #12 - 05-02-2011 13:26:45

gasole
Elite de Prise2Tete
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Drôôles de fonction

Bah, le plus rapide a quand même été Kosmogol... qui a répondu "Non" à la question "Saurez-vous trouver..." big_smile

 #13 - 05-02-2011 14:33:14

kosmogol
Banni
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rôles de fonction

merci gasole lol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #14 - 05-02-2011 22:31:26

gasole
Elite de Prise2Tete
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Drôles de fontion

kosmogol a écrit:

merci gasole lol

... et il en est fier en plus ... big_smile

 #15 - 05-02-2011 22:54:26

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

Drôles de fonctio

Quel est le domaine de définition de f ?

 #16 - 05-02-2011 23:06:11

fix33
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1198
Lieu: Devant un clavier depuis 1748

Drôles de fonciton

Donc :
- pour x>=0 : f(xy)=f(x)E(f(y))=f(-x)E(f(y)) d'où pour tout x, f est symétrique (pour tout x, f(x)=f(-x) ou f(x)=0).
- pour x=0 : f(0)=f(0)E(f(y)) donc f(0)=0 ou pour tout x, E(f(x))=1, soit f(x)=1 ou -1.
- pour x=1 : f(y)=f(1)E(f(y)) donc pour tout x, f(x)=0 ou f(1)=1 ou -1

Toutes les fonctions suivantes :
- f(x)=0
- f(x)=1 (avec ou sans f(0)=0)
- f(x)=-1 (avec ou sans f(0)=0)

Je maintiens qu'elles sont symétriques (??).
Par contre je ne sais pas s'il existe d'autres fonctions qui conviennent telles que pour tout x, f(x)=1 ou -1.
Et je ne sais pas s'il existe d'autres fonctions telles que f(0)=0...

ZUT, j'ai fini par lire "valeur absolue" au lieu de "valeur entière plancher" !!!


Je ne vien sur se site que pour faire croir que je suis treise intélligens.

 #17 - 06-02-2011 01:01:15

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 1117
Lieu: Toulouse

Drôlees de fonction

@nombrilist : fonction réelle => Domaine [latex]\mathbb{R}[/latex]

@fix : bien parti, exploite bien le second cas wink

 #18 - 06-02-2011 15:46:20

Yannek
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 60

Drôles de fonctio

2 fonctions sont possibles : la fonction nulle ou la fonction identiquement égale à 1.

* La relation fonctionnelle appliquée à x=1 et y=1 donne f(1)=f(1)[f(1)] donc f(1)=0 ou 1=[f(1)]

** si f(1)=0 la relation pour x=1 et y quelconque montre f(y)=f(1)[f(y)]=0 donc f identiquement nulle

** si f(1)<>0, nécessairement 1=[f(1)].

- En conséquence, pour tout x, f([x])=f(x)[f(1)]=f(x) donc f est constante sur tout intervalle de la forme [n,n+1[ avec n entier.
- f(0)=f(0)[f(0)] avec f(0)<>0 donc [f(0)]=1.
- Pour tout n<>0, on a aussi f(1)=f(n)[f(1/n)]=f(n)[f(0)]. Ainsi f(n)=1.
- Pour n=0 : f(0)=f(1)[f(0)] donc f(0)=[f(0)]=1.

Pour tout entier n, f(n)=1 et comme f constante sur [n,n+1[, f est identiquement égale à 1.

Edit après la remarque de Gasole : Ligne 9, on a f(0)<>0 car 0<>f(1)=f([2]*1/2)=f(2)*[f(1/2)] donc [f(1/2)]=[f(0)]<>0 donc f(0)<>0)

 #19 - 06-02-2011 17:34:43

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Drlôes de fonction

J'ai regardé de plus près, désolé, pas eu la force de le faire avant :

@Looping : toujours rien à redire

@fix33 : ta première ligne est fausse : la propriété ne s'applique pas à f(xy) mais à f(E(x)y) ... la 2ème est correcte et la 3ème à nouveau fausse.

@Toni : toi, tu sais où es le trou dans ta démo

@débutant : je t'ai dit où est le tien (c'est d'ailleurs le même que les suivants)

@vasimolo : il y a un trou : ligne 5 "donc [latex]f(x)=0[/latex] OU [latex]\lfloor f(a)\rfloor = 0[/latex]", tu devrais facilement le reboucher tout en conservant la même conclusion.

@Yanek : aussi un trou : ligne 9 "avec f(0)<>0"... ça n'est pas ton hypothèse qui est plutôt "f(1)<>0" (finalement c'est le même trou que vasimolo).

Rigolo comme problème non ?

 #20 - 06-02-2011 19:09:22

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

drôles de fonvtion

Je note [y] la partie entière de y.
Si f est identiquement nulle, elle vérifie l'équation.

Soit f vérifiant l'équation et non identiquement nulle.

Pour tout x réel, on a: f(x)=f(1.x)=f(1).[f(x)]
Donc f(1) est non nul (sinon contradiction avec f non identiquement nulle).

On a:
f(1)=f(1).[f(1)].
On en déduit que [f(1)]=1.

Pour tout x réel, on a:
f([x])=f(x).[f(1)]=f(x).

On a:
f(1)=f(2.(1/2))=f(2).[f(1/2)]=f(2).[f(0)]
On en déduit que f(0) est non nul.

Soit x réel, on a:
f(0)=f(0.x)=f(0).[f(x)]
Donc [f(x)]=1.
Donc f(x)=f(1.x)=f(1).[f(x)]=f(1)

Donc f est constante et sa constante est dans l'intervalle [1, 2[.


Réciproquement une telle fonction vérifie l'équation.

 #21 - 06-02-2011 21:56:36

gasole
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
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Lieu: Toulouse

Drôles de fonctoin

@irmo : tu dis "Donc f(1) est non nul (sinon contradiction avec f non identiquement nulle)." Le reste m'a l'air bon smile

Elle peut très bien être ponctuellement nulle sans l'être identiquement !

 #22 - 06-02-2011 22:07:28

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
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drôles dr fonction

Pourrais tu fournir le paracetamol à chacune de tes interventions ?


http://enigmusique.blogspot.com/

 #23 - 06-02-2011 22:09:24

gasole
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Toulouse

drôles fe fonction

@kosmo: contre le nœuds au cerveau, je te recommande ceci

irmo comprendra je pense

 #24 - 06-02-2011 22:32:03

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
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drôles de fpnction

@gasole:
Si on suppose f(1)=0, alors on a:
pour tout x réel, f(x)=f(1).[f(x)]=0
Donc: "f(1)=0" => "f est identiquement nulle"

Je ne vois pas où est l'erreur dans mon raisonnement.

 #25 - 06-02-2011 23:27:04

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Drôôles de fonction

Pour [latex]x=0[/latex] on a [latex]f(0) = f(0) \lfloor f(y) \rfloor[/latex]

Donc soit [latex]\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \in [1 ; 2[[/latex], soit [latex]f(0)=0[/latex].



Dans le premier cas : [latex]f(0) = 1[/latex] (en remplaçant x et y par 1 dans la formule originelle, on trouve [latex]f(0) \geq f(0)^2[/latex] d'où ce résultat), puis [latex]f(1) = 1[/latex] (de la même façon, en remplaçant x et y par 1). Ensuite, en remplaçant x par 1 :
[TeX]\forall y \in \mathbb{R}, f(y) = \lfloor f(y) \rfloor[/TeX]
C'est-à-dire que l'image d'un réel quelconque est un entier. Et cet entier doit être supérieur ou égal à 1, et strictement inférieur à 2. On obtient donc [latex]\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=1[/latex]. Bien entendu, cette fonction respecte le critère du début (1 vaut une fois un environ, euh... tout le temps, en fait). Et une solution, une !



Dans le deuxième cas : en remplaçant x par un [latex]h \in [0;1[[/latex], j'obtiens [latex]\forall y \in \mathbb{R}, f(h) \lfloor f(y) \rfloor = 0[/latex]. Donc soit [latex]\forall h \in [0;1[, f(h) = 0[/latex], soit [latex]\forall y \in \mathbb{R}, 0 \leq f(y) < 1[/latex] (ou les deux, donc).

Je tenterai de continuer demain.





Brouillon :
[TeX]\forall x \in \mathbb{N}, \forall y \in \mathbb{R}, \forall h \in [ 0 ; 1 [, f(xy) = f(x+h) \lfloor f(y) \rfloor[/TeX]
Donc soit [latex]\forall (a,b) \in \mathbb{R}^2, \lfloor x \rfloor = \lfloor y \rfloor \Rightarrow f(x)=f(y)[/latex], soit [latex]\forall y \in \mathbb{R}, \lfloor f(y) \rfloor = 0[/latex]


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

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