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 #1 - 02-08-2011 01:38:11

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

voys avez encore faim ?

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/02/110802014310256029.jpg

Les deux cercles ont le même rayon R = 1 et l'angle ADB vaut 30°.
Que vaut l'aire de la partie hachurée ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 02-08-2011 01:40:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Vous avez encor efaim ?

L'aire d'un sixième de rosace à 6 branches.

C'est à dire [latex]\frac{2\pi-3\sqrt{3}}{6}[/latex]

Mathématiques pour les nuls 4 big_smile

Shadock.

PS : On a le droit à quoi après l'amuse bouche ? big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 02-08-2011 09:08:13

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3051

Vous vez encore faim ?

On remarque que BCA mesure 60 degrés (c'est l'angle au centre, le double de ADB).
Alors le secteur est 1/6 du disque, la petite portion quadrillée a pour aire Pi/3-(rac3)/2.

 #4 - 02-08-2011 09:11:06

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 482
Lieu: Ardèche

Vous avez encor efaim ?

L'aire hachurée est égale à 1/3 de (cercle - hexagone régulier) soit
[TeX]\frac \pi 3-\frac {\sqr 3} 2 \,\approx 0.18117[/TeX]

 #5 - 02-08-2011 09:34:07

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

vius avez encore faim ?

En notant H le point d'intersection de AB et de (L) et O, O' les centres respectifs des deux cercles, on obtient que:

HA^2=R^2-OH^2
DA^2=(R+OH)^2+HA^2
et DA=(R+OH)/cos(30°)

ce qui nous donne que R/OH est solution de X^2-X-1=0 donc
R/OH=phi
et ainsi que l'aire hachurée est égale à 2*acos(phi).

 #6 - 02-08-2011 17:21:53

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

vois avez encore faim ?

ADB vaut 30° donc ACB vaut 60°
L'aire du triangle ACB vaut donc [latex]\dfrac{\sqrt3}4[/latex].
L'aire du secteur ACB vaut [latex]\dfrac\pi6[/latex]
L'aire de la lentille vaut donc: [latex]2(\dfrac\pi6-\dfrac{\sqrt3}4)=\dfrac\pi3-\dfrac{\sqrt3}2=\dfrac{2\pi-3\sqrt3}6[/latex].

Merci pour cette énigme.

 #7 - 02-08-2011 20:52:07

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2777
Lieu: Luxembourg

vous avez encote faim ?

Rebonjour,
S/2 = Aire secteur ACB - Aire triangle ACB

Il faut connaitre l'angle ACB (alors qu'on connait que l'angle ADB): glups !
Soit C' le symétrique de C par rapport à AB.
Le triangle DC'A est isocèle donc ADC' = DAC' et DC'A = pi - 2 ADC = pi - ADB
Or ACD = pi - DC'A et donc ACD = ADB et au final ACB = 2 ADB
Et donc Aire secteur ACB = pi R² ACB / 2pi = R² ADB (ADB exprimé en radians)

Il faut aussi connaitre R-c (c étant la corde) et AB/2 (que j'appelle h): reglups !
La trigo dit: sin(ACB/2) = h/R d'où h = R sin(ADB)
Pythagore dit: R² = (R-c)² + h² d'où R-c = R V(1 - sin²(ADB)) = R cos(ADB)
Et donc Aire triangle ACB = h(R-c) = R² sin(ADB) cos(ADB) = R² sin(2 ADB) / 2

Revenons à nos moutons:
S/2 = R² ADB - R² sin (2 ADB) / 2
Et au final: S = R² [2 ADB - sin (2 ADB)]

AN (comme à l'école): R=1 et ADB=30°=pi/6
S = pi/3 - (V3)/2 = 0,181 env.
Ouf !!!

Re-bonne soirée.
Frank

PS: Ouf parce que les énigmes de SaintPierre vont vraiment crescendo.
Merci pour cette énigme et je n'ai plus faim !!!
Et encore, je me demande si je ne me suis pas planté.

 #8 - 03-08-2011 11:56:16

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1924
Lieu: UK

Vous avez ecore faim ?

L'angle en C est le double de celui en D.
nous avons donc
[TeX]A=R^2(\alpha-sin(\alpha))\approx0.1812[/TeX]
edit:
avec [latex]\alpha[/latex] l'angle en C, ici 60º


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 03-08-2011 12:20:55

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Vous avz encore faim ?

Par trigonométrie du triangle rectangle on trouve AB=1 et donc, ABC est équilatéral.
En calculant l'aire du secteur ABC moins l'aire du triangle ABC, puis en multipliant par 2, j'obtiens : [latex]\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]

 #10 - 03-08-2011 16:05:53

Oxxmoz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 2

Vous avez encor efaim ?

Soit C1 le cercle de gauche
Soit C', centre de C1, symétrique de C par rapport  à [AB]
Angle AC'B : Angle inscrit au centre de C1, et D appartient à C1,
donc AC'B = 2 ADB = 60°

Aire du secteur AC'B = 2 x pi/12 = pi/6
Aire du triangle AC'B : Base = AB = 1 et hauteur = cos(pi/6)=V3/2
Aire du triangle AC'B = V3/4

Surface hachurée = 2 x (Aire du scteur AC'B - Aire du triangle AC'B)
Surface hachurée = 2 x (pi/6 - V3/4)
Surface hachurée = pi/3 - V3/2

Voilou smile

 #11 - 03-08-2011 16:20:39

racine
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1224

Vous avez encore afim ?

ACB vaut 60°, après ça vient tout seul:

(Pi/3-moi de(3)/2)=0,181

 

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