Enigmes

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 #1 - 04-09-2010 18:09:21

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3311

mathématiques pour leq nuls 4 (plus indice)

Je suppose que vous avez déjà tous dessiné une rosace lorsque vous étiez petit, mais vous êtes-vous déjà posé la question quelle est l'aire de celle ci?
Vous tracez un cercle de rayon 1
Vous dessinez ensuite la rosace avec 6 pétales comme ça:
http://www.coloriage.tv/js/mandala-rosace.png


Maintenant: Quelle est la valeur exacte de l'aire de la rosace? (rosa,ae=rose première déclinaison smile ) tongue

Indice:  Spoiler : [Afficher le message] Le triangle équilatéral est votre ami. Laissez tomber les integrales doubles!! wink

PS: pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué! wink

Pour la réponse si vous avez une réponse du genre n*pi où n appartient à l'ensemble des réels, on érira npi directement. Et pour une racine Vn (racine carré de n) smile

Bonne chance à tous                                                           Shadock MP gratuit

Difficulté: 4/10



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 #2 - 04-09-2010 18:53:11

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

marhématiques pour les nuls 4 (plus indice)

Je ne sais pas trop comment l'écrire dans la case réponse :

Aire d'un 6me de disque : [latex]C=\frac{\pi}{6}[/latex]
Aire d'un triangle équilatéral : [latex]T=\frac{\sqrt{3}}{4}[/latex]
Différence : [latex]D=C-T=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}[/latex]
Rosace : [latex]12D=2\pi-3\sqrt{3}[/latex]

Vasimolo

 #3 - 04-09-2010 19:00:51

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Mathématiques pour les nuls 4 (pus indice)

Je trouve 1.087032884, soit 2pi-3sqrt(3)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #4 - 04-09-2010 20:44:22

scrablor
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 931

Mathématiquees pour les nuls 4 (plus indice)

Entre un pétale et le rayon qui lui sert d'axe de symétrie, je trouve un segment circulaire dont l'aire vaut [latex]\frac {\pi}6-\frac{\sqrt3}4[/latex]

La rosace combine 12 demi-pétales, d'où l'aire voulue : [latex]2\pi-3\sqrt3[/latex]
Je ne sais pas quelle syntaxe tu as choisie pour la racine carrée...


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #5 - 04-09-2010 21:03:19

falcon
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 106

mathématiques pour les nuls 4 (pkus indice)

douze fois la différence entre l'aire d'un sixième de cercle et celle d'un triangle équilatéral.

12 ( Pi/6 - 3^(1/2)/4) = 2 Pi - 3^(3/2)


Il vaut mieux pomper meme s'il ne se passe rien que risquer qu'il se passe quelque chose de pire en ne pompant pas

 #6 - 04-09-2010 21:21:08

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Mathématiques pour les nuls 4 (plsu indice)

P périmètre de la rosace
A aire de la rosace

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-math4dummies4revised.png

edit: drawing revised - not the result


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 05-09-2010 00:50:58

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

mathématiques pour les nuls 4 (olus indice)

http://www.prise2tete.fr/upload/cogito-aire_rosace.png

Soit R l'aire de la Rosace.
Soit H l'aire de l'Hexagone régulier ci-dessus.

Dans l'image en haut à gauche soit A = aire en bleu = air en jaune = air en rouge.
On a R = H - 3A.

L'image en haut à droite montre que H est six fois l'aire du triangle équilatéral gris et de côté 1.
autrement écrit :    [latex] H = 6*{{\sqrt 3}\over 4} = {{3\sqrt 3}\over 2}[/latex]

Et l'image du bas montre que A est égale à H moins l'aire des deux secteur angulaire en gris.
L'aire d'un secteur angulaire de rayon r et d'angle  [latex]\theta[/latex]  (en radian) est   [latex]r^2*{\theta\over 2}[/latex].
Ici r = 1 et l'hexagone étant régulier on a  [latex]\theta={{2\pi}\over 3}[/latex]  , donc l'air d'un secteur angulaire gris est :  [latex]\pi\over 3[/latex].
Donc on a   [latex]A=H-2*{\pi\over 3}[/latex].

Et donc l'aire de la rosace est de :  [latex]R=H-3(H-{{2\pi}\over 3})=2\pi -2H[/latex], et en remplaçant H par sa valeur calculer précédemment on a :
[TeX]R=2\pi -3\sqrt 3[/TeX]
cool

EDIT : En fait il y a plus simple : dans l'image en haut à droite, le triangle équilatéral gris et une demi-pétale de rosace verte forment un secteur angulaire d'angle  [latex]\pi\over 3[/latex]   (car le triangle est équilatéral) et donc d'air   [latex]\pi\over 6[/latex].
Donc  l'air de la demi-pétale de rosace est l'air du secteur angulaire ci-dessus moins l'air du
triangle équilatéral, i.e   [latex]{\pi\over 6}-{{\sqrt 3}\over 4}[/latex].

La rosace ayant 6 pétale soit douze demi-pétales à pour aire :
                          [latex]12({\pi\over 6}-{{\sqrt 3}\over 4})=2\pi -3\sqrt 3[/latex].


Il y a sûrement plus simple.

 #8 - 06-09-2010 09:47:08

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

mathémayiques pour les nuls 4 (plus indice)

Bonjour,

http://www.prise2tete.fr/upload/rivas-mandala-rosace2.png

Considérons le triangle équilateral en rouge ci-dessus.
Appelons R la longueur de son coté. Par construction R est aussi le rayon du cercle extérieur et aussi celui de chaque morceau de rosace.

La surface du disque représentée en bleu est donc de [latex]\dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi}{3}.R^2[/latex].
La surface du triangle équilatéral rouge est de [latex]\dfrac{\sqrt{3}}{4}.R^2[/latex]
La différence représente la surface d'un douzième de la rosace et donc la surface de la rosace est: [latex]12.(\dfrac{\pi}{6}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}).R^2[/latex], soit en prenant en compte le rayon 1: [latex]2.\pi-3.\sqrt{3}[/latex]

Merci pour ce problème original.

 #9 - 06-09-2010 17:25:25

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Au fond de l'univers

Mathématques pour les nuls 4 (plus indice)

a vrai dire je suis au college donc j'aurai du mal a repondre:( mais je crois savoir/
l'aire d'un hexagone inscriptible dans un cerle de 2 cm est egale a 5;196...
ON REMARQUE QUE LES RESTES  autour de l'hexagone represente trois branche
donc
(2pi)-5.196...=1.087032884
multiplié par deux comme il y a 6 branches, cela donne 2.174065769


Conclusion
L'aire de la fleur est de 2,174065769
L'aire du reste est egale a 4,109119538
L'aire du cercle ezst egale a 2pi


Un promath- actif dans un forum actif

 #10 - 06-09-2010 17:51:01

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

mathémariques pour les nuls 4 (plus indice)

On peut couper chaque pétale de la rosace en deux par le centre ; l'aire de la rosace passe ainsi de six fois l'aire d'une pétale à douze fois l'aire d'une surface délimitée par un arc de cercle et une corde.

Cet arc de cercle est celui d'un cercle de rayon 1 (le même que celui dans lequel on a créé la rosace), et la corde est tracée entre deux points séparés par un angle de 60° (un sixième du cercle, logique). L'aire de la zone considérée est l'aire d'un "sixième" du disque de rayon 1, auquel on enlève l'aire d'un triangle équilatéral de côté 1 : [latex]\pi/6 - \sqrt{3}/4[/latex].

L'aire de la rosace vaut 12 fois ça :

[latex]12 \times \left( \pi/6 - \sqrt{3}/4 \right) = 2 \pi - 3 \sqrt{3}[/latex] soit 1,087 (toujours sans unité, comme le problème originel smile)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 07-09-2010 06:08:42

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
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Messages : 34
Lieu: Colombie

Mathématiques pour les nuls 4 (lpus indice)

Bonjour à tous,

Je commence par tracer la rosace dans un cercle de rayon 1. Pour simplifier le travail (symétrie oblige...), je découpe mon gâteau en six parts égales (ceci n'est absolument pas un remake des énigmes de qui vous savez). Pour la découpe, les arrêtes du gâteau correspondent aux sommets de la rosace. Je ne travaille plus que sur la portion suivante dans laquelle je trace un triangle équilatéral de côté 1:

http://www.prise2tete.fr/upload/Lagaway-ScreenShot007.JPG

La part du gâteau a une aire égale à pi/6.

Le triangle rectangle a une aire égale à V3/4.

Par différence, on trouve l'aire du "petit morceau qui reste" (en vert) : pi/6-V3/4

Or lorsqu'on observe la rosace, on constate qu'elle est composée de 6 pétales identiques et chacun de ces pétales est composé de 2 demi-pétales (ça s'invente pas). Or ces demi-pétales ont exactement la même aire que notre "petit morceau qui reste". Pour s'en convaincre il suffit de construire une seconde rosace, identique à la première, en y intégrant notre "petit morceau qui reste"...

La rosace étant composé de 12 de ces demi-pétales, on ontient une aire pour la rosace de 12*(pi/6-V3/4) soit 2pi-3V3 !

 #12 - 09-09-2010 10:32:27

nopasaran
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 3

Mathhématiques pour les nuls 4 (plus indice)

en respectant la consigne "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué!"
mais avec R=1 :

si A est l'aire d'une calotte entre la branche 1 et 3 de la rosace [latex]A=\frac a2-\frac12 sin a[/latex]

par symétrie [latex]\pi -4A[/latex]=2 portions à retirer (cercle -2 ballons de rugby)
soit [latex]\pi -2a +2sin a[/latex]

il y 6 portions comme celles-ci à retirer au cercle de rayon 1 pour trouver l'aire de la rosace
[TeX]\pi -(3\pi -6a +6sin a)[/TeX]
[TeX]-2\pi +6*\frac23 \pi -6\frac sqrt 3 2[/TeX]
donc l'aire de la rosace est de [latex]2\pi -3\sqrt 3[/latex]

 #13 - 26-12-2010 17:07:29

clairejulien
Amateur de Prise2Tete
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mathématiques pour les nyls 4 (plus indice)

Surface où l'on cherche le rayon pour trouver le volume: je pense qu'il s'agit d'un jeu de mots pouvant désigner une librairie (surface où on doit trouver dans un rayon de classement un livre alias volume!)

 #14 - 26-12-2010 17:14:56

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Mathématiques pou les nuls 4 (plus indice)

C'est passionnant dit moi !! et quel est le rapport ? (non ce n'est pas une division tongue c'est une question) yikes


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #15 - 26-12-2010 17:20:42

clairejulien
Amateur de Prise2Tete
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Messages : 3

mathémztiques pour les nuls 4 (plus indice)

Ce n'est pas une réponse à la question 1mais une énigme que l'on m'a posée et dont j'ai essayé de trouver la réponse? Qu'en penses-tu?

 #16 - 26-12-2010 17:30:24

shadock
Elite de Prise2Tete
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Mathématiues pour les nuls 4 (plus indice)

J'en pense que tu devrais demander à Kosmogol et à MthS-MlndN lollol

Sinon en langage soutenu un volume c'est un livre wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 26-12-2010 23:41:59

kosmogol
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Mathématiques pouur les nuls 4 (plus indice)

lollollol


http://enigmusique.blogspot.com/

 #18 - 17-07-2011 00:48:30

shadock
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Mathématique pour les nuls 4 (plus indice)

Faite comme si de rien n'étais ^^

Aire du triangle équilatérale :
[TeX]A_{tri}=1*\frac{\sqrt{1-(1/2)^2}}{2}=\frac{\sqrt{1-(1/2)^2}}{2}=\frac{\sqrt{\frac{3}{4}}}{2}=\frac{1}{2}*\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}[/TeX]


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
 

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