Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 11-04-2011 18:08:26

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Vous aez le temps ?

Mon beau-père veut faire une cure de 24 jours à Dax cette année. Quand il y pleut, c'est 4 fois sur 5 qu'il y pleut aussi le lendemain. Mais, au contraire, s'il ne pleut pas un jour, c'est 2 fois sur 3 qu'il ne pleut pas non plus le lendemain. En définitive, à combien de jours de pluie doit-il s'attendre ?



Annonces sponsorisées :

C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 11-04-2011 19:39:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

vous avez le remps ?

Oh, une chaîne de Markov ! Bon, je vais voir si j'y arrive encore...

En prenant les états "il pleut" et "il ne pleut pas" dans cet ordre, la matrice de transition d'un jour au lendemain vaut :
[TeX]P = \begin{pmatrix} \frac45 & \frac15 \\ \frac13 & \frac23 \end{pmatrix}[/TeX]
L'espérance correspond a l'invariant par [latex]P[/latex], soit le vecteur [latex]e = (e_1 , e_2)[/latex] tel que [latex]eP = e[/latex], ou encore [latex]e(P-I)=0[/latex]. [latex](P-I)[/latex] vaut :
[TeX]P-I = \begin{pmatrix} -\frac15 & \frac15 \\ \frac13 & -\frac13 \end{pmatrix}[/TeX]
On a donc [latex]\frac15 e_1 - \frac13 e_2 = 0[/latex], et comme [latex]e_1+e_2 = 1[/latex], on déduit : [latex]e_1 = \frac{5}{8}[/latex], donc sur 24 jours, on peut s'attendre a 15 jours de pluie.

Dur ^_^'


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #3 - 11-04-2011 19:56:57

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Vous avez le temp s?

Si je fais confiance au petit tableau Excel que je viens de faire, je dirais 15 jours de pluie. Je lirai avec attention les demonstrations des P2Tiens statisticiens.


The proof of the pudding is in the eating.

 #4 - 11-04-2011 21:03:23

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3761
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Vou avez le temps ?

Soit P la probabilité qu'il pleuve un jour donné.
Ce jour-là, il pleut 4 fois sur 5 s'il pleuvait la veille et 1 fois sur 3 s'il faisait beau la veille.
Donc P = (4/5 * P) + ( 1/3 * (1-P) )
( 1/5 + 1/3 ) * P = 1/3
8 * P = 5
P = 5/8

Sur une durée de 24 jours, ton beau-père devrait s'attendre à 24 * 5/8, soit 15 jours de pluie.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #5 - 11-04-2011 22:19:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

vous avez le yemps ?

Il peut s'attendre à environ 15.6 jours de pluie s'il pleut le premier jour
et 14.0 s'il ne pleut pas le premier jour.
Dans l'incertitude, le rapport [latex]\frac{jours\,de\,pluie}{jours}[/latex] tend rapidement vers [latex]\frac 5 8[/latex],
ce qui conduit à 15 jours de pluie et 9 jours secs.
[TeX]P(pluie, n+1)=\frac 4 5P(pluie,n)+\frac 1 3P(sec,n)[/TeX]
[TeX]P(sec,n+1)=\frac 1 5P(pluie,n)+\frac 2 3P(sec,n)[/TeX][TeX]\binom{pluie}{sec}_{jour\,n+1}=\begin{bmatrix}{\frac 4 5}&{\frac 1 3}\\{\frac 1 5} & \frac2 3\end{bmatrix}^n\binom{pluie}{sec}_{jour\,1}[/TeX]
La matrice se diagonalise aisément pour en trouver les puissances successives.
(valeurs propres -1 et 7/15)
Les paresseux comme moi font faire les calculs par un tableur.

 #6 - 12-04-2011 00:07:57

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 198

Vous avez le tempss ?

15 jours en moyenne.

 #7 - 12-04-2011 01:19:16

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Vous avez le temsp ?

Appelons [latex]p_n[/latex] la probabilité qu'il pleuve le n-ème jour des vacances.

On sait que :
[TeX]p_{n+1}=\frac45p_n+(1-\frac23)(1-p_n)
p_{n+1}=\frac7{15}p_n+\frac13[/TeX][TeX]p_n[/latex] vérifie donc la relation de récurrence suivante :
[latex]p_{n+1}=ap_n+b[/latex] avec [latex]a=\frac7{15}[/latex] et [latex]b=\frac13[/TeX]
Je combine les relations sur les [latex]p_k[/latex] pour calculer [latex]p_n[/latex] :
[TeX]\sum_{k=1}^na^{n-k}p_k=\sum_{k=1}^na^{n-k}(ap_{k-1}+b)
=\sum_{k=0}^{n-1}a^{n-k}p_k + b\sum_{k=1}^na^{n-k}[/TeX]
Il ne reste que les termes en [latex]p_n[/latex] et en [latex]p_0[/latex] :
[TeX]p_n=a^np_0+b\sum_{k=0}^{n-1}a^k
p_n=a^np_0+b\frac{1-a^n}{1-a}[/TeX]
La valeur de [latex]p_n[/latex] est donc complètement déterminée par la valeur de [latex]p_0[/latex], qui vaut 1 s'il a plu la veille du début des vacances, 0 sinon (je me place au moment du début des vacances, et non pas maintenant)

Ce qui nous intéresse, c'est le nombre de jours de pluie escomptés. Il correspond à la somme des [latex]p_n[/latex] pour n variant de 1 à 24, le nombre de jours de vacances (c'est en fait une espérance)
[TeX]N=\sum_{k=1}^{24}p_n=p_0\sum_{k=1}^{24}a^k+b\sum_{k=1}^{24}\frac{1-a^k}{1-a}
=p_0a\frac{1-a^{24}}{1-a}+\frac{b}{1-a}\left(24-a\frac{1-a^{24}}{1-a}\right)[/TeX]
Application numérique :
[TeX]N\approx0,87p_0+14,45[/TeX]
On peut escompter entre 14,45 et 15,32 jours de pluie.

On peut arrondir à une quinzaine de jours de pluie sur 24. Pas terrible comme temps hmm

 #8 - 12-04-2011 08:06:57

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Vous avez le tempps ?

si la probalité de pluie au jour n est p(n), la probalité de pluie le lendemain est :
p(n+1)=p(n) x 4/5 + (1-p(n)) x 2/3 = 1/3 p(n) + 7/15.

Cette suite tend vers P = 5/8.

On a donc en moyenne 5 jours de pluie pour 8 jours.
Ton beau père aura donc 15 jours de pluie dans sa semaine.

Comme ton beau-père est plutôt prévoyant, si il appelle la veille de son arrivée, il aura une espérance de 14,45 jours de pluie si on lui dit qu'il fait beau et de 15,33 jours de pluie si il pleut... il peut donc faire sa valise à l'avance, avec un poncho, de toute façon, ça sera pourri !!!!

 #9 - 13-04-2011 21:47:56

Seanbateman
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 321
Lieu: Toujours à l'énigme 3

Voous avez le temps ?

15 jours de pluies ?


Quand on ne sait rien, on peut tout de même trouver des choses, avec de l'imagination. [Boris Vian]

 #10 - 13-04-2011 21:55:52

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Vous avez lle temps ?

Oui, Sean. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Pim, Pam et ?

Sujets similaires

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete