3

Soit O le centre du cercle de rayon 1 et O'le centre u cercle de rayon R, A le point d'in,tersection des 2 droites et A et B les points de tangence
O et O' appartiennent a la bissectrice donc l'angle BAO=30° de plus le triangle AOB est rectangle donc OA=1/sin30=2 et donc AO'=3+R
puisque les droite (BO) et (CO') sont parallèles car toutes les 2 sont perpendiculaires à la droite (AB) alors d'apres le theoreme de thalès R/1=(3+R)/2 d'où R=3

Ce qui donne avec Alfa=60º un rayon de 3

Je laisse aux curieux la simplification de
[TeX]R=cotan(\frac\pi 4-\frac\alpha 2)tan(\frac\alpha 2)(1+\frac1 {sin(\frac\alpha 2)})[/TeX]

Dand le triangle rectangle formé par les centres des cercles et la projection du centre du cercle de gauche sur le rayon vertical du cercle de droite on a:
[TeX](R+1)^2=(R-1)^2+L^2 \Rightarrow L=2\sqrt{R}[/TeX]
On a aussi:
[TeX]\dfrac1l=\dfrac{R}{L+l}=tan(30)=\dfrac{sqrt3}3[/TeX]
D'où: [latex]l=\sqrt3[/latex] et
[TeX]R=\dfrac{sqrt3}3(L+\sqrt3)=1+\dfrac{sqrt3}3.L=1+\dfrac{sqrt3}3.2\sqrt{R}[/TeX]
D'où: [latex](R-1)^2=\dfrac43R \Leftrightarrow 3R^2-10R+3=0[/latex]

qui a pour solutions [latex]\dfrac13[/latex] et [latex]3[/latex].

La solution est donc 3.

Bonjour tout le monde,

moi j'ai tracé la bissectrice de l'angle de 60, cette droite passe donc par le centre de nos 2 cercles. (j'ai appelé r2 le rayon du grand cercle)
On peut donc appliquer Thalès dans le triangle rectangle dont les extrémités de l'hypothénuse sont les centres des cercles (ca aurait été mieu avec un schéma...)

Ce qui nous donne l'égalité suivante : 1 / (r2+1) = sin(30) / (r2-1)
en résolvant, on en déduit que r2 = 3