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 #1 - 02-08-2011 01:26:21

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

Vous vaez une petite faim ?

http://nsa28.casimages.com/img/2011/08/02/11080201313114330.jpg

Quel est le rayon du grand cercle, si l'angle est de 60° ?



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C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 02-08-2011 08:52:48

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

vous avez yne petite faim ?

En notant O le sommet du cône, I et J les centres du petit cercle et du grand cercle, A le point tangent du cône avec le petit cercle et B le point tangent du cône avec le grand cercle. Notons de plus que r=IA et R=JB, on obtient:
sin 30°=1/2=1/OI=JB/OJ
et
OJ=OI+r+R

donc OJ-R=OI+r <=> 2R-R=2r+r
R=3
Le grand cercle a un rayon égal à 3.

 #3 - 02-08-2011 09:01:00

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 482
Lieu: Ardèche

Vous avez une petite ffaim ?

3

 #4 - 02-08-2011 09:30:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3101

Vouss avez une petite faim ?

3

 #5 - 02-08-2011 10:06:45

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Vous avez un petite faim ?

Soit O le centre du cercle de rayon 1 et O'le centre u cercle de rayon R, A le point d'in,tersection des 2 droites et A et B les points de tangence
O et O' appartiennent a la bissectrice donc l'angle BAO=30° de plus le triangle AOB est rectangle donc OA=1/sin30=2 et donc AO'=3+R
puisque les droite (BO) et (CO') sont parallèles car toutes les 2 sont perpendiculaires à la droite (AB) alors d'apres le theoreme de thalès R/1=(3+R)/2 d'où R=3

 #6 - 02-08-2011 10:33:27

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3803
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Vous avez un petite faim ?

Bonjour Saint-Pierre,
http://www.prise2tete.fr/upload/Klimrod-16-Saint-Pierre-Math01.jpg
En traçant la bissectrice de l'angle alpha, qui passe par les centres des deux cercles, on a deux triangles rectangles, OAB rectangle en A et OCD rectangle en C.

Ces deux triangles sont semblables.
Donc CD/AB = OD/OB = (OB+BD)/OB = 1 + BD/OB

Or BD = AB + CD (somme des deux rayons) et OB = AB/sin(30°)

Donc CD/AB = 1 + (1 + CD/AB) sin(30°)

Finalement : (1 - sin(30°) ) CD/AB = 1 + sin(30°)

Application avec AB = 1 et sin(30°) = 1/2 : 1/2 CD = 3/2

Résultat : CD = 3

Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #7 - 02-08-2011 13:58:58

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1926
Lieu: UK

Vou savez une petite faim ?



Ce qui donne avec Alfa=60º un rayon de 3

Je laisse aux curieux la simplification de
[TeX]R=cotan(\frac\pi 4-\frac\alpha 2)tan(\frac\alpha 2)(1+\frac1 {sin(\frac\alpha 2)})[/TeX]


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 02-08-2011 17:11:34

Oxxmoz75012
Visiteur

Vous avez une petite fim ?

Je dirais (R2 le rayon du grand cercle) = 1 / tan(60/2) = 1 / tan(30)

 #9 - 02-08-2011 17:12:09

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Vous avvez une petite faim ?

http://www.prise2tete.fr/upload/rivas-Faim.jpg

Dand le triangle rectangle formé par les centres des cercles et la projection du centre du cercle de gauche sur le rayon vertical du cercle de droite on a:
[TeX](R+1)^2=(R-1)^2+L^2 \Rightarrow L=2\sqrt{R}[/TeX]
On a aussi:
[TeX]\dfrac1l=\dfrac{R}{L+l}=tan(30)=\dfrac{sqrt3}3[/TeX]
D'où: [latex]l=\sqrt3[/latex] et
[TeX]R=\dfrac{sqrt3}3(L+\sqrt3)=1+\dfrac{sqrt3}3.L=1+\dfrac{sqrt3}3.2\sqrt{R}[/TeX]
D'où: [latex](R-1)^2=\dfrac43R \Leftrightarrow 3R^2-10R+3=0[/latex]

qui a pour solutions [latex]\dfrac13[/latex] et [latex]3[/latex].

La solution est donc 3.

 #10 - 02-08-2011 20:08:07

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2794
Lieu: Luxembourg

Vous avez une pette faim ?

Bonjour,
Soient r et R, les rayons respectivement des petit et grand cercles.
Je coupe l'angle alpha (que j'appelle a car je ne sais pas écrire alpha) en deux.
Et soit d la distance de la pointe au centre du petit cercle.
sin(a/2) = r/d = R/(R+r+d)
Et, comme, quand A/B = C/D, tout ça est aussi égal à (A-C)/(B-D), on a:
sin(a/2) = (R-r)/(R+r)
d'où R=r [1+sin(a/2)] / [1-sin(a/2)]
AN (comme à l'école): r=1 et sin(a/2)=sin30°=1/2
R=3
Bonne soirée.
Frank

 #11 - 03-08-2011 10:23:57

Oxxmoz
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 2

Vous aez une petite faim ?

Bonjour tout le monde,

moi j'ai tracé la bissectrice de l'angle de 60, cette droite passe donc par le centre de nos 2 cercles. (j'ai appelé r2 le rayon du grand cercle)
On peut donc appliquer Thalès dans le triangle rectangle dont les extrémités de l'hypothénuse sont les centres des cercles (ca aurait été mieu avec un schéma...)

Ce qui nous donne l'égalité suivante : 1 / (r2+1) = sin(30) / (r2-1)
en résolvant, on en déduit que r2 = 3

 #12 - 03-08-2011 12:05:58

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Vous avvez une petite faim ?

Soit x la distance du sommet de alpha au centre du petit cercle.
sin 30 = 1/x
sin 30 = r/(x+1+)
x=2 et r=3

 

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