BC=1.6
AO3=5 et O3T=1 perpendiculaire à AO3 ce qui donne AT et l'angle en A
AO2=3 et O2B=1 noud donne AB
O3C et O3T nous donne CT
BC = AT-AB-CT

Soit M milieu de [BC] alors O2M mediatrice de [BC] et donc (O2M) // (O3T) donc d'apres le théoreme de Thalès
AO2/AO3=O2M/O3T d'où O2M=3/5

Le triangle MBO2 est rectangle en M donc MB=rac(1-(3/5)²)=4/5 donc BC=8/5

Bonsoir,

Je pense que BC = 8/5

Si on appelle H le projeté orthogonal de O_2 sur (BC),
H est aussi le milieu de [BC].

Les triangles ATO_3 et AHO_2 sont homothétiques.
AO_3=5, AO_2=3 et TO_3=1
donc HO_2=3/5
Un petit coup de Pythagore dans CHO_2
nous donne HC=4/5 donc BC=8/5

$BC=\frac85$ ?

BC=1.6

Car la distance de O2 à BC est 0.6 (TO3 par homothétie de centre A)

1,6 exactement!

1.6

Soit le repère orthonormé de centre A et d'axe des abscisses (AO1)

Les coordonnées de O2(3;0) et O3(5;0)
L'équation du cercle C3 de centre O3 est : (x-5)²+y²=1
Celle de la droite (AT) : y="a"x

On cherche "a" en écrivant que (AT) ne coupe C3 qu'un un point, donc on remplace y par ax dans l'équation de C3 x-5)²+a²x²=1

(1+a²)x²-10x+24=0

on ne veut qu'un point d'intersection donc delta=0
100-96(1+a²)=0
1+a²=100/96=25/24
a²=1/24
a=1/racine(24)

on sait donc que (AT) : y=x/racine(24)

dans (C2) pour obtenir les points d'intersection : (x-3)²+y²=1
(x-3)²+x²/24=1
25x²/24-6x+8=0

delta=36-800/24=36-100/3=8/3

xB=24(6-racine(8/3))/50 et xC=24(6+racine(8/3))/50
yB=a*xB=racine(24)(6-racine(8/3))/50 et yC=racine(24)(6+racine(8/3))/50

finalement, BC=racine[(xB-xC)²+(yB-yC)²]
BC=racine(2²*24²*8/3/50² + 2²*24*8/3/50²)
BC=2*racine(24*8/3)*racine(24+1)/50
BC=2*8*5/50
BC=8/5=1.6cm

Comment on fait pour cacher sa réponse?

On utilise intensément dans cet exercice la puissance d'un point par rapport à un cercle.
$$AB.AC=(3R)^2-R^2=8R^2$$
$$TC.TB=O_2T^2-R^2[/latex] (1) Cherchons [latex]O_2T[/latex]. Pythagore: [latex]AT^2=(5R)^2-R^2=24R^2$$
et $AT^2=(5R)^2+R^2-2R^2cos(O_3)$

D'où $cos(O_3)=\dfrac25$

Pythagore toujours:
$$O_2T^2=(2R)^2+R^2-2R^2cos(O_3)$$
D'où d'après (1):
$$TC.TB=\dfrac{16}5.R^2$$
Mais $TC.TB=(AT-AC).(AT-AB)=AT^2+AB.AC-AT(AB+AC)$

On en déduit: $AB+AC=\dfrac{72}{5\sqrt6}.R^2$

La suite, ne pose aucun problème: on connait AB.AC et AB+AC.
On résout l'équation du second degré: $X^2-(AB+AC)X+AB.AC=0$ ce qui nous donne AB et AC et la différence AC-AB nous donne BC.
A noter: pour gagner du temps, pas besoin de calculer AB et AC puisque AC-AB vaut $\sqrt{\Delta}$.

On trouve finalement BC=1,6.

Merci pour cette piqure de rappel.

@rivas: parfait !
@cachette: oui, et j'ai fait comme toi.

Je n'ai pas mis d'explication, mais apres lecture de ce que vous avez fait (et c'est parfois plus compliqué que nécessaire), J'ai fait comme gabrielduflot.