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#1 - 07-10-2010 07:09:41
Plynôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)Bonjour à tous,
#0 Pub#2 - 07-10-2010 10:02:26
Polynôme x²x--1 le retour (pour les nuls)ϕ2=ϕ+1 ϕ3=ϕ2+ϕ=2ϕ+1 ϕ4=2ϕ2+ϕ=3ϕ+2 ϕ5=5ϕ2+2ϕ=5ϕ+3 les coefficient sont ceux d'une suite de fibonacci #3 - 07-10-2010 13:34:20
poltnôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)ϕ2=ϕ+1 Donc ϕ3=ϕ×ϕ2=ϕ×(ϕ+1)=ϕ2+ϕ=2ϕ+1 De la même manière : ϕ4=3ϕ+2, puis ϕ5=5ϕ+3. Généralisons un peu : si ϕn=aϕ+b alors ϕn+1=ϕ×ϕn=ϕ×(anϕ+bn)=anϕ2+bnϕ=an(ϕ+1)+bnϕϕn+1=(an+bn)ϕ+an Donc {an+1=an+bnbn+1=an d'où on tire bn+2=bn+1+bn. Oh tiens, le retour de Fibonacci ! On ajoute des conditions initiales : b0=1 ; b1=0. On peut en déduire la suite des coefficients bn à partir de n=0, ainsi que celle des an :
D'ailleurs, comme par hasard, l'expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci fait intervenir ϕ=1+√52 et son petit camarade ϕ′=1−√52, c'est-à-dire les deux solutions de x2=x+1, qui est l'équation caractéristique de la suite {bn}n∈N. La preuve en Wikipedia : Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 #4 - 07-10-2010 15:49:54
Polynôme x²-x-1 le retour (pour les nusl)On a: φ4=3φ+2 φ3=5φ+3 On peut alors constater que les coefficients dont tu parles sont des termes de la suite de Fibonacci (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci). Du coup, on peut facilement montrer par récurrence le résultat suivant: φn=Fnφ+Fn−1, où Fnest le n-ème terme de la suite de Fibonacci. #5 - 07-10-2010 23:32:13
Polynôme x²-x-1 le retour (poour les nuls)Bonsoir Lagaway, ϕ5=5ϕ+3 2. On reconnait dans les coefficients 'a' et 'b' les nombres de Fibonacci. On conjecture: ϕn=Fnϕ+Fn−1 Montrons le par récurrence: C'est vrai pour 2, 3, 4 et 5 (voir ci-dessus). Supposons que ça soit vrai pour n >= 2. ϕn+1=ϕ.(Fnϕ+Fn−1)=Fn(ϕ+1)+Fn−1ϕ=(Fn+Fn−1)ϕ+Fn=Fn+1ϕ+Fn Ce qui établit la propriété au rang n+1 et le principe de récurrence nous permet de conclure. 3. Je ne comprends pas bien la question. On a évidemment: ϕn=((1+√5)2)n On l'a aussi exprimé au 2 en fonction de n Attends-tu autre chose? En tout cas merci. #6 - 07-10-2010 23:34:10#7 - 08-10-2010 07:50:14
Polynôme x²-x-11 le retour (pour les nuls)ϕn=Fnϕ+Fn−1[/latex]avec[latex]Fn[/latex]leniemetermedelasuitedeFibonaccidontlespremierstermessont[latex]F0=0F1=1F2=F0+F1=1F3=1+1=2F4=1+2=3F5=2+3=5F6=3+5=8 Démonstration [TeX]\phi^1=F_1 \phi +F_0=\phi[/latex]; houa quelle surprise! ![]() ϕ2=F2ϕ+F1=ϕ+1; jusque là c'est easy [latex]\phi^{n+1}=\phi \time \phi^n=F_n \phi^2 +F_{n-1}\phi=F_n(\phi +1) +F_{n-1}\phi=(F_n+F_{n-1})\phi +F_n=(F_{n+1})\phi +F_n[/TeX] cqfd ![]() The proof of the pudding is in the eating. #8 - 08-10-2010 07:55:48
Polynôme x²-x-1 le retour (por les nuls)Bravo aux trois participants qui ont donné de bonnes réponses. #9 - 08-10-2010 09:29:29
polynômr x²-x-1 le retour (pour les nuls)Re-bonjour. #10 - 08-10-2010 10:14:54
polynôme x²-x-1 le retour (pour les buls)phi^3 = 2phi + 1 #11 - 08-10-2010 11:24:05
Polynôme x²-x-1 le retour pour les nuls)
Tu voulais ton a phi + b, ben tu l'as Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 #12 - 08-10-2010 20:46:35
Polynôme x²-x-1 le retouur (pour les nuls)facile: #13 - 09-10-2010 07:30:36
polynôme x²-x-1 le eetour (pour les nuls)Bravo à tous pour vos réponses. #14 - 09-10-2010 08:58:36
Polynôme x²-x-1 l eretour (pour les nuls)@Luthin The proof of the pudding is in the eating. #15 - 09-10-2010 09:07:45#16 - 09-10-2010 09:12:58
poltnôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)100$\redφ The proof of the pudding is in the eating. #17 - 09-10-2010 09:32:03#18 - 09-10-2010 10:00:20
Polynôme x²--1 le retour (pour les nuls)\bigsum\sqcup\pi\exists\Re Je n'avais pas noté que le code pouvait être visualisé avec la souris. ![]() Tous les symboles ne fonctionnent pas ici, quelque chose lié avec la version de LateX je suppose. Merci pour les tuyaux The proof of the pudding is in the eating. #19 - 09-10-2010 12:06:28
Polynôem x²-x-1 le retour (pour les nuls)Je ne me souvenais plus du \varphi, j'ai essayé \phi et \Phi, sans grand résultat (ϕ et Φ respectivement)... Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 #20 - 09-10-2010 13:01:46#21 - 09-10-2010 13:05:02
oolynôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)Donc, penser à rajouter "var" à chaque lettre grecque si c'est pour un document français. Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298 #22 - 10-10-2010 09:09:31
Polynmôe x²-x-1 le retour (pour les nuls)je pense surtout qu'il faut utiliser celui qui parait le plus clair et qui rend le plus lisible ! Réponse rapideSujets similaires
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