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 #1 - 07-10-2010 07:09:41

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Polynôme x²-x-1 le retour pour les nuls)

Bonjour à tous,

l'énigme récemment postée par shadock m'a inspiré l'énigme suivante :

Nous avons vu que le nombre phi est la solution de l'équation x² = x + 1

On peut donc écrire que phi^2=phi+1

1. Calculez phi^3, phi^4 et phi^5. Quelle relation apparait entre ces expressions ? Généralisez pour phi^n avec n entier supérieur ou égale à 2.

On remarque que quelque soit n, phi^n peut toujours s'exprimer de la forme suivante :

phi^n = a*phi +b , avec a et b entiers positifs.

2. Quelle est la particularité des nombres a et b qui apparaît lorsque l'on calcule plusieurs valeurs successives de phi^n  ?

3. Existe-t-il une relation exprimant phi^n en fonction de n ?


PS: ceci est la première énigme que je poste sur le forum

PS2: je ne sais pas si il existe une solution à ma troisième question...lol



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 #2 - 07-10-2010 10:02:26

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Ploynôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)

[TeX]\phi^2=\phi+1[/TeX]
[TeX]\phi^3=\phi^2+\phi=2\phi+1[/TeX]
[TeX]\phi^4=2\phi^2+\phi=3\phi+2[/TeX]
[TeX]\phi^5=5\phi^2+2\phi=5\phi+3 [/TeX]
les coefficient sont ceux d'une suite de fibonacci

 #3 - 07-10-2010 13:34:20

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

polunôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)

[TeX]\phi^2 = \phi + 1[/TeX]
Donc [latex]\phi^3 = \phi \times \phi^2 = \phi \times ( \phi + 1 ) = \phi^2 + \phi = 2 \phi + 1[/latex]

De la même manière : [latex]\phi^4 = 3 \phi + 2[/latex], puis [latex]\phi^5 = 5 \phi + 3[/latex].

Généralisons un peu : si [latex]\phi^n = a \phi + b[/latex] alors
[TeX]\begin{align}\phi^{n+1} &= \phi \times \phi^n \\ &= \phi \times (a_n \phi + b_n) \\ &= a_n \phi^2 + b_n \phi \\ &= a_n (\phi + 1) + b_n \phi \\ \phi^{n+1} &= (a_n+b_n) \phi + a_n \end{align}[/TeX]
Donc [latex]\left\{ \begin{align} a_{n+1} &= a_n + b_n \\ b_{n+1} &= a_n \end{align} \right.[/latex] d'où on tire [latex]b_{n+2} = b_{n+1} + b_n[/latex]. Oh tiens, le retour de Fibonacci !

On ajoute des conditions initiales : [latex]b_0 = 1[/latex] ; [latex]b_1 = 0[/latex]. On peut en déduire la suite des coefficients [latex]b_n[/latex] à partir de [latex]n=0[/latex], ainsi que celle des [latex]a_n[/latex] :

a : 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; 35 ; 56 ; etc.
b : 1 ; 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;   8 ; 13 ; 21 ; 35 ; etc.

D'ailleurs, comme par hasard, l'expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci fait intervenir [latex]\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}[/latex] et son petit camarade [latex]\phi ' = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}[/latex], c'est-à-dire les deux solutions de [latex]x^2 = x+1[/latex], qui est l'équation caractéristique de la suite [latex]\{ b_n \}_{n \in \mathbb{N}}[/latex]. La preuve en Wikipedia :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_F … ctionnelle

Donc [latex]\left\{ \begin{align} a_n &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^n - \left( \phi ' \right)^n \right) \\ b_n &= \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \phi^{n-1} - \left( \phi ' \right)^{n-1} \right) \end{align} \right.[/latex] pour tout [latex]n \geq 1[/latex] (à cause du [latex]n-1[/latex] qui traîne dans une définition, je n'ai pas envie de descendre jusqu'à zéro).

Sous vos applaudissements. (A moins que je n'aie fait une erreur de signe quelque part lol)


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #4 - 07-10-2010 15:49:54

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

Polynôme x²-x-1 le retour (por les nuls)

On a:
[TeX]\varphi^3=2\varphi +1[/TeX]
[TeX]\varphi^4=3\varphi +2[/TeX]
[TeX]\varphi^3=5\varphi +3[/TeX]
On peut alors constater que les coefficients dont tu parles sont des termes de la suite de Fibonacci (voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci).
Du coup, on peut facilement montrer par récurrence le résultat suivant:
[latex]\varphi^n=F_n\varphi + F_{n-1}[/latex], où [latex]F_n[/latex]est le n-ème terme de la suite de Fibonacci.

 #5 - 07-10-2010 23:32:13

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Polynôme x²--1 le retour (pour les nuls)

Bonsoir Lagaway,

Merci d'avoir posté une énigme pour notre plaisir. Ne t'arrête pas à la première.
Pour une raison que j'ignore le \phi ne m'affiche pas un phi en LaTeX...

1. [latex]{\phi}^3=\phi.\phi^2=\phi.(\phi+1)=\phi^2+\phi=(\phi+1)+\phi=2\phi+1[/latex]
De même:
[TeX]\phi^4=3\phi+2[/TeX]
[TeX]\phi^5=5\phi+3[/TeX]
2. On reconnait dans les coefficients 'a' et 'b' les nombres de Fibonacci.
On conjecture: [latex]\phi^n=F_n\phi+F_{n-1}[/latex]

Montrons le par récurrence:
C'est vrai pour 2, 3, 4 et 5 (voir ci-dessus).
Supposons que ça soit vrai pour n >= 2.
[TeX]\phi^{n+1}=\phi.(F_n\phi+F_{n-1})=F_n(\phi+1)+F_{n-1}\phi=(F_n+F_{n-1})\phi+F_n=F_{n+1}\phi+F_n
[/TeX]
Ce qui établit la propriété au rang n+1 et le principe de récurrence nous permet de conclure.

3. Je ne comprends pas bien la question.
On a évidemment:
[TeX]\phi^n=(\dfrac{(1+\sqrt{5})}{2})^n[/TeX]
On l'a aussi exprimé au 2 en fonction de n
Attends-tu autre chose?

En tout cas merci.

 #6 - 07-10-2010 23:34:10

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Polynôme x²-x-1 lee retour (pour les nuls)

Hong Kong, l'audience de p2t s'élargit


http://enigmusique.blogspot.com/

 #7 - 08-10-2010 07:50:14

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1932
Lieu: UK

pplynôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)

[TeX]\phi^n=F_n \phi +F_{n-1}[/latex] avec [latex]F_n[/latex] le nieme terme de la suite de Fibonacci dont les premiers termes sont
[latex]F_0=0
F_1=1
F_2=F_0+F_1=1
F_3=1+1=2
F_4=1+2=3
F_5=2+3=5
F_6=3+5=8
[/TeX]
Démonstration
[TeX]\phi^1=F_1 \phi +F_0=\phi[/latex]; houa quelle surprise! lol
[latex]\phi^2=F_2 \phi +F_1=\phi +1[/latex]; jusque là c'est easy
[latex]\phi^{n+1}=\phi \time \phi^n=F_n \phi^2 +F_{n-1}\phi=F_n(\phi +1) +F_{n-1}\phi=(F_n+F_{n-1})\phi +F_n=(F_{n+1})\phi +F_n[/TeX]
cqfd cool


The proof of the pudding is in the eating.

 #8 - 08-10-2010 07:55:48

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

Polynôme x²-x-1 le rretour (pour les nuls)

Bravo aux trois participants qui ont donné de bonnes réponses. big_smile

Une petite précision concernant la troisième question que je n'ai pas formulé très clairement :

3. Exprimez phi^n en fonction de n.

-> Comme me l'a fait tout simplement mais très justement remarquer rivas, phi^n = ((1+V5)/2)^n tongue
J'avoue que je n'y avais même pas pensé (souvent les solutions les plus simples sont les meilleures...)

-> Je complète donc un peu l'énoncé : exprimez phi^n en fonction de n, cette expression devant être de la forme phi^n = a*phi+b (et donc où a et b sont fonction de n) big_smile

PS: je pense que l'expression proposée par Mathias est bonne (j'ai pas encore vérifié) mais ça complique drôlement l'affaire !!!

Merci pour votre participation. (il reste encore 24h pour les amateurs) smile

 #9 - 08-10-2010 09:29:29

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Ploynôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)

Re-bonjour.

Je crois que tu tournes en rond à propos du 3.
Les [latex]F_n[/latex] s'expriment en fonction de phi et de ses puissances.
Tu trouveras facilement la formule (et plein d'autres infos) ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
Mais la formule devient alors beaucoup plus compliqué et ce n'est pas vraiment utile en soi.

On a déjà exprimé phi^n sous la forme a.phi+b dans le 2.
Je suis un peu dérouté.

 #10 - 08-10-2010 10:14:54

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

polynôme x²-x-1 le retour (pour les nums)

phi^3 = 2phi + 1
phi^4 = 3phi + 2
phi^5 = 5phi + 3
phi^6 = 8phi + 5


phi^n = fibonacci(n)* phi + fibonacci(n-1)

Problème : si on exprime fibonacci(n) sous forme d'une fonction on refait apparaitre phi^n   :S

 #11 - 08-10-2010 11:24:05

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Polynôme x²-x-1 le retour (pur les nuls)

Lagaway a écrit:

PS: je pense que l'expression proposée par Mathias est bonne (j'ai pas encore vérifié) mais ça complique drôlement l'affaire !!!

Tu voulais ton a phi + b, ben tu l'as wink


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 #12 - 08-10-2010 20:46:35

bluefox8
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 11

Polynôme x²-x-1 le retur (pour les nuls)

facile:
phi^3 = phi^2*phi
donc phi^3 = (phi+1)*phi
ce qui donne phi^3 = phi^2+phi
ou encore phi^3 = (phi+1)+phi
donc phi^3= 2phi+1

phi^4= (2phi+1)phi
phi^4= 2phi^2 +phi
phi^4 = 2(phi+1) +phi
phi^4 = 3phi+2

phi^5 = 5phi +3
phi^6 = 8phi + 5
phi^7 = 13phi + 8

généralisons: phi^n = a(n) phi + b(n)
avec a(n) = a(n-1) + a(n-2)  pour n>=2
et b(n) = a(n-1)

 #13 - 09-10-2010 07:30:36

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
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Lieu: Colombie

Polynôme x²--1 le retour (pour les nuls)

Bravo à tous pour vos réponses.

Comme vous me l'avez fait remarquer, la question n°3 était en fait un peu (beaucoup) boiteuse (pour ne pas dire *oireuse) puisque le fait d'exprimer phi^n en fonction de n sous la forme a(n)*phi+b(n) fait apparaitre phi^n dans la réponse...

Merci pour votre participation.

 #14 - 09-10-2010 08:58:36

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

polynôme x²-x-1 le retour (pour les nulq)

@Luthin
Tu es le seul qui parvienne à te faire obéir de ce program LateX. Peux-tu me dire comment tu fais pour avoir un beau Phi tout rondouillet, courbé à la main, et non cet ersatz affreux tracé avec une tronçonneuse teutonne [latex]\phi[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #15 - 09-10-2010 09:07:45

emmaenne
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Messages : 3071
Lieu: Au sud du Nord

polynômr x²-x-1 le retour (pour les nuls)

[latex]\varphi[/latex] = latex \varphi /latex big_smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #16 - 09-10-2010 09:12:58

franck9525
Elite de Prise2Tete
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olynôme x²-x-1 le retour (pour les nuls)

[latex]100$\red\varphi[/latex] big_smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #17 - 09-10-2010 09:32:03

luthin
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 124

Polynmôe x²-x-1 le retour (pour les nuls)

De façon générale, si tu laisses le pointeur de ta souris sur une équation dans un message, le code apparaît en "info-bulle". Sinon sur ce lien, y a pas mal d'infos aussi. smile

 #18 - 09-10-2010 10:00:20

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Lieu: UK

Polynôme x²-x--1 le retour (pour les nuls)

[TeX]\fbox{\bigsum\sqcup\pi\exists\Re}[/TeX]
Je n'avais pas noté que le code pouvait être visualisé avec la souris. lol

Tous les symboles ne fonctionnent pas ici, quelque chose lié avec la version de LateX je suppose.

Merci pour les tuyaux


The proof of the pudding is in the eating.

 #19 - 09-10-2010 12:06:28

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

Polynôme x²-x-1 le retour (pour le snuls)

Je ne me souvenais plus du \varphi, j'ai essayé \phi et \Phi, sans grand résultat ([latex]\phi[/latex] et [latex]\Phi[/latex] respectivement)...


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 #20 - 09-10-2010 13:01:46

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 144

polynôme x²-x-1 le retour (pour mes nuls)

y a aussi les autres \varmachin dont
[TeX]\varepsilon\ne\epsilon[/TeX]
[TeX]\vartheta\ne\theta[/TeX]
[TeX]\varrho\ne\rho[/TeX]
j'ai cru comprendre qu'en france on uitilise plutot ces \varmachins alors qu'en anglais c'est plutot les \machins

 #21 - 09-10-2010 13:05:02

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

polynôme x²-x-1 le retpur (pour les nuls)

Donc, penser à rajouter "var" à chaque lettre grecque si c'est pour un document français.

Merci du tuyau, mon cher smile


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 #22 - 10-10-2010 09:09:31

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

Polynôme x²--x-1 le retour (pour les nuls)

je pense surtout qu'il faut utiliser celui qui parait le plus clair et qui rend le plus lisible !

 

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