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 #1 - 31-05-2012 19:20:09

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiquse pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

Certain trouvant le forum mathématiques un peu mort je propose une petite énigme sur les polynômes de degré n.

Montrez que si un polynôme P(x) à coefficients entiers prend des valeurs impaires en x=0 et x=1 alors l'équation P(x)=0 n'a pas de racines entières.

Bon amusement,
Shadock smile

Conjecture ajouté en page 2!

Allez un petit indice pour ceux qui cherchent encore !
Spoiler : indice P(x)=a0+a1x+a2*x²+...+an*x^n et P(0) et P(1) sont impairs 



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 #2 - 31-05-2012 22:20:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4934

Mathématiques pour les nulss 11 (Polynômes) avec conjecture

Bonsoir , un peu "bateau" comme exercice smile
[TeX]P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n [/TeX]
Les hypothèses impliquent que [latex]a_0[/latex] et [latex]a_0+a_1+\cdots+a_n[/latex] sont impairs or pour [latex]X[/latex] pair ou impair il est clair que [latex]a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n[/latex] est impair donc non nul .

Je ne le trouve pas si mort le forum math smile

Vasimolo

 #3 - 31-05-2012 22:47:31

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

mathématiques pour les nuls 11 (pokynômes) avec conjecture

On déduit de l'énoncé que la somme des coefficients P(1) est impair et que P(0) = le coefficient de degré 0 est impair.

On en déduit que la somme des coefficients de degré > 0 est pair (pair + impair = impair)

Soit r un entier
Si r est pair : P(r) = a0 + X*(a1+a2X+....) = impair + pair = impair
Si r est impair : chacun des X^i est impair, multiplier par un nombre impair un entier ne change pas sa parité, donc P(r) est de même parité que P(0).

Conclusion : P(r) est impair pour tout entier r, donc P(r) ne s'annule jamais (zéro étant pair)

Merci pour ce petit exercice smile

Mathieu.

 #4 - 31-05-2012 23:02:52

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

mathématiques pour les nuls 11 (polynômed) avec conjecture

@Vasimolo un peu bateau on verra combien sont capables de trouver et j'attends Mathias tongue


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #5 - 31-05-2012 23:12:19

irmo322
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 203

mathématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjzcture

ça marche aussi pour :
"Montrez que si un polynôme P(x) à coefficients entiers prend des valeurs impaires en x=2012 et x=301559 alors l'équation P(x)=0 n'a pas de racines entières."
smile

Merci de faire vivre les énigmes de maths.

 #6 - 01-06-2012 09:49:48

BilouDH
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 46
Messages : 29

Mathématiquees pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

Bonjour,

Si P(x) admet une solution entière s alors [latex]P(x)=(x-s).\sum_{i=0}^{n-1} q_i.x^i[/latex]

Or, [latex]P(0)\equiv\ 1 [2] \Leftrightarrow q_0.(-s)\equiv\ 1[2][/latex] donc s est impair

[latex]P(1)\equiv\ 1 [2] \Leftrightarrow (1-s).\sum_{i=0}^{n-1} q_i\equiv\ 1[2][/latex] or comme s est impair (1-s) est pair ce qui est donc impossible

P(x) n'admet donc pas de solution entière.

 #7 - 01-06-2012 11:20:21

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Mathématiques pour les nuls 111 (Polynômes) avec conjecture

Hey, en fait c'est facile.
[TeX]P[/latex] est de degré [latex]n[/latex], forcément, donc :

[latex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n[/TeX]
[latex]P(0)[/latex] impair implique que [latex]a_0[/latex] est impair, et [latex]P(1)[/latex] impair implique que [latex]\sum_{i=0}^n a_i[/latex] est impair.

Maintenant, soit [latex]x[/latex] un entier.

* si [latex]x[/latex] est pair, alors toutes ses puissances sont paires, et comme [latex]a_0[/latex] est impair, [latex]P(x)[/latex] est impair.

* si [latex]x[/latex] est impair, alors toutes ses puissances (entières positives) sont impaires, alors [latex]a_i x^i[/latex] est de la même parité qu'[latex]a_i[/latex] pour tout [latex]i[/latex] entier positif ; donc [latex]P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i[/latex] est de la même parité que [latex]\sum_{i=0}^n a_i[/latex] : impair.

Donc, si [latex]P(0)[/latex] et [latex]P(1)[/latex] sont impairs, alors [latex]P(x)[/latex] est impair pour tout entier, et aucune racine de P n'est entière.



shadock a écrit:

Certain trouvant le forum mathématiques un peu mort

A force que tout le monde le trouve mort, c'est le plus actif en ce moment smile



shadock a écrit:

j'attends Mathias tongue

Ayé.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 01-06-2012 14:14:46

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 701

Mathématiques ppour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

Posons [latex]P(x)=\sum_{k=0}^n a_k\,x^k[/latex]
Vu les hypothèses [latex]a_0[/latex] et [latex]\sum_{k=0}^n a_k[/latex] sont impairs.
Soit x un entier.
Si x est pair, alors [latex]P(x)\equiv a_0\ [2][/latex] donc P(x) est impair.
Si x est impair, alors [latex]x\equiv 1\ [2][/latex] donc [latex]P(x)\equiv\sum_{k=0}^n a_k\equiv 1\ [2][/latex] et par suite P(x) est impair.
Pour tout entier x, P(x) est un entier impair donc non nul.

Extension : on montre de même qu'un rationnel [latex]\frac{u}{v}[/latex] avec v impair n'est pas racine de P(x).

 #9 - 01-06-2012 15:27:16

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecutre

MthS-MlndN a écrit:

Hey, en fait c'est facile.

Bah ouii c'est un ami qui m'a affirmé la faisabilité de la chose en TS option maths j'ai cherché une bonne heure smile

J'ai décidé que toutes les dizaines supplémentaires la difficulté redeviendrai à 1/10 et à "Maths pour les nuls 19" bah le summum de la difficulté rien que pour toi tongue

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #10 - 01-06-2012 23:06:10

hippomint
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 6

mathémariques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjecture

Bonsoir!big_smile

J'essaie, j'espère ne pas avoir écrit de boulette... Merci d'excuser le manque d'attrait de mes lignes, je ne connais pas encore TEX sad

Par l'absurde, supposons qu'il existe une racine r entière, r est donc soit paire, soit impaire.
P(x) = an.x^n + a(n-1)x^(n-1) + ... + a1.x + a0.


Si r est une racine paire :
P(r) = an.r^n + a(n-1)r^(n-1) + ... + a1.r + a0, et tout ce qui est en gras est pair comme r. La parité de P(r) est donc celle de a0, mais a0 = P(0) = 2k+1 impair (k entier), tandis que P(r) = 0, pair.
On a donc P(r) à la fois pair et impair, ce qui est absurde, donc il n'existe pas de racine paire.

Si r est une racine impaire :

Si r est impaire :
P(r) = 0 = somme sur i [ ai.(2k+1)^i]  où k est entier, qui est congru à la somme des ai modulo 2, par définition. La somme des ai, c'est aussi P(1), qui est impair.
Donc on aurait P(r) = 0, impair! Ce qui est également absurde.
Donc il n'existe pas de racine impaire.

On en déduit alors qu'il n'existe pas de racine entière.


dans la lune et/ou devant mon PC

 #11 - 01-06-2012 23:47:44

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2131

mathématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjecyure

L'affaire se résout par parité (demo on demand)

Une solution entière paire est contredite par p(0) impair.
Une solution entière impaire est contredite par p(1) impair.

Les grands talents du forum l'auront détaillé. tongue


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #12 - 02-06-2012 07:58:46

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,679E+3

mathématiques pour les nums 11 (polynômes) avec conjecture

p(x) = ax^n bx^(n-1) .... +kx+ k'

k' est impair car p(o) est impair 
Un x entier pair ne sera donc jamais solution de p(x)=0 vu que le résultat sera une somme de nombres pairs + k' impair.


a+b+ ....+k est pair car p(1) est impair 
Un x entier impair donnera donc la somme d'un nombre pair de nombres impairs +k'.
Le résultat, encore une fois , sera toujours impair.

Un entier ne peut donc être solution de P(x) = 0

Gwen.

 #13 - 02-06-2012 09:10:50

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 566

Mathématiques pour lse nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

Si P(0) est impair, alors le terme constant est impair.
Si P(1) est impair, alors la somme des coefficients est paire.
Vu que la somme des coefficients est paire, alors pour tout entier, la somme des termes hors constante est paire. Si on ajoute la constante, elle devient impaire et diffère donc toujours de zéro.

 #14 - 02-06-2012 14:37:54

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 490
Lieu: Ardèche

Mathématiques pour les nusl 11 (Polynômes) avec conjecture

Si P(x) avait une racine entière a, il serait divisible par (x-a),
donc pair pour x=0 ou pour x=1 selon la parité de a.

 #15 - 02-06-2012 22:29:10

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques pour les nuls 11 (Polynôme)s avec conjecture

C'est étonnant tout le monde à le même raisonnement pour le moment ! Et tout le monde a juste.

Shadock wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 03-06-2012 19:07:57

pierreM
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 49

Mathématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjectture

S'il y a une racine entière a, le polynome peut s'écrire comme (X-A)Q(X)
Q est à coefs entiers. En effet:
- son terme directeur est multiplié par X seulement et ca donne un entier ==> entier.
- Le suivant , multiplié par X et auquel on rajoute un terme à coefficient entier (A* le terme directeur, qui est à coefficient entier, on l'a montré) l'est aussi donc le 2eme est entier
- et ainsi de suite, récurrence descendante

Du coup, si A est pair, P(0) sera pair, si A est impair, P(1) sera pair.

On contredit P(1) et P(0) impairs.
Donc pas de racine entière.


(j'arrive pas à croire que j'ai passé autant de temps à trouver ca!!!)

 #17 - 03-06-2012 22:45:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques pou rles nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

pierreM a écrit:

(j'arrive pas à croire que j'ai passé autant de temps à trouver ca!!!)

Ce n'est pas grave tu as trouvé c'est le plus important ! big_smile

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 03-06-2012 23:36:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2830
Lieu: Luxembourg

Mathématiques pour le nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

@pierreM
D'ailleurs, moi, je cherche encore !!!

 #19 - 04-06-2012 00:37:20

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Mathématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avc conjecture

Allez un petit indice pour ceux qui cherchent encore !

Spoiler : indice P(x)=a0+a1x+a2*x²+...+an*x^n et P(0) et P(1) sont impairs 


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #20 - 04-06-2012 06:36:41

DeepSpeedou2.5
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 17
Lieu: Chez Les Bretons !

mathématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjrcture

Alooors, voyons voir...
P(x) = 0  <=> a0 + a1*x + ... + an*x^n = 0
Or P(0) est impair donc a0 est impair,
De plus, P(1) est impair donc a0 + a1 + ... + an est impair,
Enfin, a1 + a2 + ... + an est pair.
Supposons bêtement x0 un entier solution de P(x)=0.
La puissance par coefficients entiers conserve la parité donc a1*x + a2*x^2 + an*x^n est du signe de x * ( a1+a2+...+an ) ( Là ça bidouille dur xD )
* Si x0 est pair, alors x0*(a1+a2+...+an) est pair, absurde.
* Si x0 est impair, même raison.
Donc x0 n'est pas entier... BlaBlaBla ! smile

Désolé pour ce bricolage, mais vu l'heure, je ferai pas mieux lol

 #21 - 04-06-2012 07:35:42

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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athématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture

Bonjour,
J'ai bien une solution, mais qui ne me satisfait pas complètement, que voici:
P(x) = an.x^n + a(n-1).x^(n-1) + ... + a3.x³ + a2.x² + a1.x + a0
P(0) est impaire implique que a0 est impaire.
P(1) est impaire implique que: an + a(n-1) + ... + a3 + a2 + a1 + a0 est impaire et donc que an + a(n-1) + ... + a3 + a2 + a1 est paire.
On peut aussi écrire différemment P(x):
P(x) = x.[an.x^(n-1) + a(n-1).x^(n-2) + ... + a3.x² + a2.x + a1] + a0
Le premier terme est toujours paire: en effet, soit x est paire, et c'est évident, soit x est impaire, et alors tous les termes (x^i)-1 sont paires, et comme la somme des ai est paire (ce qui me "reste"), au final le terme entre crochets sera paire.
On en déduit que, pour tout x entier, P(x) est toujours impaire et ne peut donc jamais s'annuler.
Bonne journée.

 #22 - 04-06-2012 11:03:24

shadock
Elite de Prise2Tete
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Mathématiques pour les nuls 11 (Polynmes) avec conjecture

@Franky1103 Tu as le bon raisonnement mais tu te mélanges les pinceaux.
Ce que tu dis pour P(0) c'est vrai, de même pour P(1) mais regarde mon indice une deuxième fois pour voir de quoi est constitué P(1). Spoiler : [Afficher le message] P(1)=impair=?+a0   wink

Shadock smile


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 #23 - 04-06-2012 21:24:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2830
Lieu: Luxembourg

mathématiqyes pour les nuls 11 (polynômes) avec conjecture

Je me suis un peu compliqué la vie pour rien.
Voici une solution similaire, mais plus simple:
1°) x est pair, alors:
P(x) = x.Q(x) + P(0) est forcément impair.
2°) x est impair, alors:
P(x) = Somme[ai.(x^i - 1)] + P(1) est encore
impair puisque les termes (x^i - 1) sont tous
pairs.
Conclusion: P(x) est toujours impair (quelque
soit la parité de x).
Conséquence: P(x) ne s'annule jamais (pour
tout x entier bien sûr).
A+

 #24 - 05-06-2012 10:09:35

pierreM
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 17
Messages : 49

mathématiques pour les nuld 11 (polynômes) avec conjecture

C'est marrant, je suis le seul à ne pas avoir utilisé la méthode sur la parité des ai. Il faut dire que cette méthode était plus simple...

 #25 - 05-06-2012 10:28:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

mathématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec xonjecture

Bravo, à tous, comme quoi même les problèmes que certains trouve bateau peuvent donner du fil à retordre à certain.

A bientôt pour la suivant, j'espère un peu plus congrue wink

Shadock


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