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#1 - 31-05-2012 19:20:09
- shadock
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Mathématiquess pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture
Certain trouvant le forum mathématiques un peu mort je propose une petite énigme sur les polynômes de degré n.
Montrez que si un polynôme P(x) à coefficients entiers prend des valeurs impaires en x=0 et x=1 alors l'équation P(x)=0 n'a pas de racines entières.
Bon amusement, Shadock
Conjecture ajouté en page 2!
Allez un petit indice pour ceux qui cherchent encore ! Spoiler : indice P(x)=a0+a1x+a2*x²+...+an*x^n et P(0) et P(1) sont impairs
"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
#2 - 31-05-2012 22:20:14
- Vasimolo
- Le pâtissier
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Mathématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec cnjecture
Bonsoir , un peu "bateau" comme exercice [TeX]P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n [/TeX] Les hypothèses impliquent que [latex]a_0[/latex] et [latex]a_0+a_1+\cdots+a_n[/latex] sont impairs or pour [latex]X[/latex] pair ou impair il est clair que [latex]a_0+a_1X+a_2X^2+\cdots+a_nX^n[/latex] est impair donc non nul .
Je ne le trouve pas si mort le forum math
Vasimolo
#3 - 31-05-2012 22:47:31
- w9Lyl6n
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Mathématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjectre
On déduit de l'énoncé que la somme des coefficients P(1) est impair et que P(0) = le coefficient de degré 0 est impair.
On en déduit que la somme des coefficients de degré > 0 est pair (pair + impair = impair)
Soit r un entier Si r est pair : P(r) = a0 + X*(a1+a2X+....) = impair + pair = impair Si r est impair : chacun des X^i est impair, multiplier par un nombre impair un entier ne change pas sa parité, donc P(r) est de même parité que P(0).
Conclusion : P(r) est impair pour tout entier r, donc P(r) ne s'annule jamais (zéro étant pair)
Merci pour ce petit exercice
Mathieu.
#4 - 31-05-2012 23:02:52
- shadock
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Mathématiques opur les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture
@Vasimolo un peu bateau on verra combien sont capables de trouver et j'attends Mathias
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#5 - 31-05-2012 23:12:19
- irmo322
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Mathmatiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture
ça marche aussi pour : "Montrez que si un polynôme P(x) à coefficients entiers prend des valeurs impaires en x=2012 et x=301559 alors l'équation P(x)=0 n'a pas de racines entières."
Merci de faire vivre les énigmes de maths.
#6 - 01-06-2012 09:49:48
- BilouDH
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mathématiques poue les nuls 11 (polynômes) avec conjecture
Bonjour,
Si P(x) admet une solution entière s alors [latex]P(x)=(x-s).\sum_{i=0}^{n-1} q_i.x^i[/latex]
Or, [latex]P(0)\equiv\ 1 [2] \Leftrightarrow q_0.(-s)\equiv\ 1[2][/latex] donc s est impair
[latex]P(1)\equiv\ 1 [2] \Leftrightarrow (1-s).\sum_{i=0}^{n-1} q_i\equiv\ 1[2][/latex] or comme s est impair (1-s) est pair ce qui est donc impossible
P(x) n'admet donc pas de solution entière.
#7 - 01-06-2012 11:20:21
- MthS-MlndN
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Mathémaatiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture
Hey, en fait c'est facile. [TeX]P[/latex] est de degré [latex]n[/latex], forcément, donc :
[latex]P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_n x^n[/TeX] [latex]P(0)[/latex] impair implique que [latex]a_0[/latex] est impair, et [latex]P(1)[/latex] impair implique que [latex]\sum_{i=0}^n a_i[/latex] est impair.
Maintenant, soit [latex]x[/latex] un entier.
* si [latex]x[/latex] est pair, alors toutes ses puissances sont paires, et comme [latex]a_0[/latex] est impair, [latex]P(x)[/latex] est impair.
* si [latex]x[/latex] est impair, alors toutes ses puissances (entières positives) sont impaires, alors [latex]a_i x^i[/latex] est de la même parité qu'[latex]a_i[/latex] pour tout [latex]i[/latex] entier positif ; donc [latex]P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i[/latex] est de la même parité que [latex]\sum_{i=0}^n a_i[/latex] : impair.
Donc, si [latex]P(0)[/latex] et [latex]P(1)[/latex] sont impairs, alors [latex]P(x)[/latex] est impair pour tout entier, et aucune racine de P n'est entière.
shadock a écrit:Certain trouvant le forum mathématiques un peu mort
A force que tout le monde le trouve mort, c'est le plus actif en ce moment
shadock a écrit:j'attends Mathias
Ayé.
Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298
#8 - 01-06-2012 14:14:46
- masab
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Mathématiques pour les nuls 11 (Polynôems) avec conjecture
Posons [latex]P(x)=\sum_{k=0}^n a_k\,x^k[/latex] Vu les hypothèses [latex]a_0[/latex] et [latex]\sum_{k=0}^n a_k[/latex] sont impairs. Soit x un entier. Si x est pair, alors [latex]P(x)\equiv a_0\ [2][/latex] donc P(x) est impair. Si x est impair, alors [latex]x\equiv 1\ [2][/latex] donc [latex]P(x)\equiv\sum_{k=0}^n a_k\equiv 1\ [2][/latex] et par suite P(x) est impair. Pour tout entier x, P(x) est un entier impair donc non nul.
Extension : on montre de même qu'un rationnel [latex]\frac{u}{v}[/latex] avec v impair n'est pas racine de P(x).
#9 - 01-06-2012 15:27:16
- shadock
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mathématiques poue les nuls 11 (polynômes) avec conjecture
MthS-MlndN a écrit:Hey, en fait c'est facile.
Bah ouii c'est un ami qui m'a affirmé la faisabilité de la chose en TS option maths j'ai cherché une bonne heure
J'ai décidé que toutes les dizaines supplémentaires la difficulté redeviendrai à 1/10 et à "Maths pour les nuls 19" bah le summum de la difficulté rien que pour toi
Shadock
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#10 - 01-06-2012 23:06:10
- hippomint
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mathématiques pour les nuks 11 (polynômes) avec conjecture
Bonsoir!
J'essaie, j'espère ne pas avoir écrit de boulette... Merci d'excuser le manque d'attrait de mes lignes, je ne connais pas encore TEX
Par l'absurde, supposons qu'il existe une racine r entière, r est donc soit paire, soit impaire. P(x) = an.x^n + a(n-1)x^(n-1) + ... + a1.x + a0.
Si r est une racine paire : P(r) = an.r^n + a(n-1)r^(n-1) + ... + a1.r + a0, et tout ce qui est en gras est pair comme r. La parité de P(r) est donc celle de a0, mais a0 = P(0) = 2k+1 impair (k entier), tandis que P(r) = 0, pair. On a donc P(r) à la fois pair et impair, ce qui est absurde, donc il n'existe pas de racine paire.
Si r est une racine impaire :
Si r est impaire : P(r) = 0 = somme sur i [ ai.(2k+1)^i] où k est entier, qui est congru à la somme des ai modulo 2, par définition. La somme des ai, c'est aussi P(1), qui est impair. Donc on aurait P(r) = 0, impair! Ce qui est également absurde. Donc il n'existe pas de racine impaire.
On en déduit alors qu'il n'existe pas de racine entière.
dans la lune et/ou devant mon PC
#11 - 01-06-2012 23:47:44
- papiauche
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mathématiques poir les nuls 11 (polynômes) avec conjecture
L'affaire se résout par parité (demo on demand)
Une solution entière paire est contredite par p(0) impair. Une solution entière impaire est contredite par p(1) impair.
Les grands talents du forum l'auront détaillé.
"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
#12 - 02-06-2012 07:58:46
- gwen27
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Mathématiques pour les nusl 11 (Polynômes) avec conjecture
p(x) = ax^n bx^(n-1) .... +kx+ k'
k' est impair car p(o) est impair Un x entier pair ne sera donc jamais solution de p(x)=0 vu que le résultat sera une somme de nombres pairs + k' impair.
a+b+ ....+k est pair car p(1) est impair Un x entier impair donnera donc la somme d'un nombre pair de nombres impairs +k'. Le résultat, encore une fois , sera toujours impair.
Un entier ne peut donc être solution de P(x) = 0
Gwen.
#13 - 02-06-2012 09:10:50
- Nombrilist
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Mathématiques pour le snuls 11 (Polynômes) avec conjecture
Si P(0) est impair, alors le terme constant est impair. Si P(1) est impair, alors la somme des coefficients est paire. Vu que la somme des coefficients est paire, alors pour tout entier, la somme des termes hors constante est paire. Si on ajoute la constante, elle devient impaire et diffère donc toujours de zéro.
#14 - 02-06-2012 14:37:54
- halloduda
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mathématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjexture
Si P(x) avait une racine entière a, il serait divisible par (x-a), donc pair pour x=0 ou pour x=1 selon la parité de a.
#15 - 02-06-2012 22:29:10
- shadock
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Mathématiques pour les nls 11 (Polynômes) avec conjecture
C'est étonnant tout le monde à le même raisonnement pour le moment ! Et tout le monde a juste.
Shadock
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#16 - 03-06-2012 19:07:57
- pierreM
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Mathématiques pour les nuls 11 P(olynômes) avec conjecture
S'il y a une racine entière a, le polynome peut s'écrire comme (X-A)Q(X) Q est à coefs entiers. En effet: - son terme directeur est multiplié par X seulement et ca donne un entier ==> entier. - Le suivant , multiplié par X et auquel on rajoute un terme à coefficient entier (A* le terme directeur, qui est à coefficient entier, on l'a montré) l'est aussi donc le 2eme est entier - et ainsi de suite, récurrence descendante
Du coup, si A est pair, P(0) sera pair, si A est impair, P(1) sera pair.
On contredit P(1) et P(0) impairs. Donc pas de racine entière.
(j'arrive pas à croire que j'ai passé autant de temps à trouver ca!!!)
#17 - 03-06-2012 22:45:17
- shadock
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Mathématiques pour les nuls 111 (Polynômes) avec conjecture
pierreM a écrit:(j'arrive pas à croire que j'ai passé autant de temps à trouver ca!!!)
Ce n'est pas grave tu as trouvé c'est le plus important !
Shadock
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#18 - 03-06-2012 23:36:22
- Franky1103
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Mathématiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecturre
@pierreM D'ailleurs, moi, je cherche encore !!!
#19 - 04-06-2012 00:37:20
- shadock
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matgématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjecture
Allez un petit indice pour ceux qui cherchent encore !
Spoiler : indice P(x)=a0+a1x+a2*x²+...+an*x^n et P(0) et P(1) sont impairs
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#20 - 04-06-2012 06:36:41
- DeepSpeedou2.5
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Mathématiques pour les nnuls 11 (Polynômes) avec conjecture
Alooors, voyons voir... P(x) = 0 <=> a0 + a1*x + ... + an*x^n = 0 Or P(0) est impair donc a0 est impair, De plus, P(1) est impair donc a0 + a1 + ... + an est impair, Enfin, a1 + a2 + ... + an est pair. Supposons bêtement x0 un entier solution de P(x)=0. La puissance par coefficients entiers conserve la parité donc a1*x + a2*x^2 + an*x^n est du signe de x * ( a1+a2+...+an ) ( Là ça bidouille dur xD ) * Si x0 est pair, alors x0*(a1+a2+...+an) est pair, absurde. * Si x0 est impair, même raison. Donc x0 n'est pas entier... BlaBlaBla !
Désolé pour ce bricolage, mais vu l'heure, je ferai pas mieux
#21 - 04-06-2012 07:35:42
- Franky1103
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Mathémmatiques pour les nuls 11 (Polynômes) avec conjecture
Bonjour, J'ai bien une solution, mais qui ne me satisfait pas complètement, que voici: P(x) = an.x^n + a(n-1).x^(n-1) + ... + a3.x³ + a2.x² + a1.x + a0 P(0) est impaire implique que a0 est impaire. P(1) est impaire implique que: an + a(n-1) + ... + a3 + a2 + a1 + a0 est impaire et donc que an + a(n-1) + ... + a3 + a2 + a1 est paire. On peut aussi écrire différemment P(x): P(x) = x.[an.x^(n-1) + a(n-1).x^(n-2) + ... + a3.x² + a2.x + a1] + a0 Le premier terme est toujours paire: en effet, soit x est paire, et c'est évident, soit x est impaire, et alors tous les termes (x^i)-1 sont paires, et comme la somme des ai est paire (ce qui me "reste"), au final le terme entre crochets sera paire. On en déduit que, pour tout x entier, P(x) est toujours impaire et ne peut donc jamais s'annuler. Bonne journée.
#22 - 04-06-2012 11:03:24
- shadock
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matjématiques pour les nuls 11 (polynômes) avec conjecture
@Franky1103 Tu as le bon raisonnement mais tu te mélanges les pinceaux. Ce que tu dis pour P(0) c'est vrai, de même pour P(1) mais regarde mon indice une deuxième fois pour voir de quoi est constitué P(1). Spoiler : [Afficher le message] P(1)=impair=?+a0
Shadock
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#23 - 04-06-2012 21:24:11
- Franky1103
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Mathématiques pour les nuls 11 (PPolynômes) avec conjecture
Je me suis un peu compliqué la vie pour rien. Voici une solution similaire, mais plus simple: 1°) x est pair, alors: P(x) = x.Q(x) + P(0) est forcément impair. 2°) x est impair, alors: P(x) = Somme[ai.(x^i - 1)] + P(1) est encore impair puisque les termes (x^i - 1) sont tous pairs. Conclusion: P(x) est toujours impair (quelque soit la parité de x). Conséquence: P(x) ne s'annule jamais (pour tout x entier bien sûr). A+
#24 - 05-06-2012 10:09:35
- pierreM
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mathématiques pour les nils 11 (polynômes) avec conjecture
C'est marrant, je suis le seul à ne pas avoir utilisé la méthode sur la parité des ai. Il faut dire que cette méthode était plus simple...
#25 - 05-06-2012 10:28:31
- shadock
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Mathématiques pour les nuls 1 1(Polynômes) avec conjecture
Bravo, à tous, comme quoi même les problèmes que certains trouve bateau peuvent donner du fil à retordre à certain.
A bientôt pour la suivant, j'espère un peu plus congrue
Shadock
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