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 #1 - 22-01-2012 12:27:04

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Que vaudra ce ppolynôme en 2012 ?

Rassurez-vous je n'ouvre pas une nouvelle agence de notation en vue de dégrader la note de la section maths de P2T . Un petit problème trouvé sur le site de l'université de Regina .

http://centraledesmaths.uregina.ca/mp/current/

On considère un polynôme de degré 2011 qui prend les valeurs [latex]0,\frac12,\frac23,\cdots,\frac{2011}{2012}[/latex] sur les entiers [latex]0,1,2,\cdots,2011[/latex] .

Evaluer la valeur de ce polynôme pour cette année 2012 !!!

Ce n'est pas difficile et plutôt amusant .

Vasimolo

PS : Je laisse les réponses cachées jusqu'à la fin du mois smile



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 #2 - 22-01-2012 12:56:31

nodgim
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que vaudra ve polynôme en 2012 ?

Tiens! Le pâtissier a laissé tomber ses gâteaux...

 #3 - 22-01-2012 13:09:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
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qye vaudra ce polynôme en 2012 ?

Si ce polynome est x/(x+1) il prendra la valeur 2012/2013 .

Ou alors le terme de puissance 2011 doit être non nul ?

 #4 - 22-01-2012 13:12:51

Vasimolo
Le pâtissier
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que vaudea ce polynôme en 2012 ?

@Gwen

Ton polynôme n'est pas un polynôme smile

Vasimolo

 #5 - 22-01-2012 13:20:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Que vaudra ce poolynôme en 2012 ?

Ah oui, c'est pas faux, c'est une fonction lollollol Autant pour moi !

 #6 - 22-01-2012 19:15:03

L00ping007
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Lieu: Paris

que vaudra cr polynôme en 2012 ?

Ca m'a fait penser à un problème du genre que tu avais posé l'an dernier, mais avec ici une petite subtilité polynôme/fraction rationnelle.

J'appelle donc [latex]P[/latex] le polynôme de degré [latex]N[/latex] vérifiant les conditions :
[TeX]\forall k \in [|0;N|], P(k)=\frac{k}{k+1}[/TeX]
J'introduis le polynôme [latex]Q[/latex] suivant, de degré [latex]N[/latex] aussi, et qui est bien un polynôme car [latex]P[/latex] est divisible par [latex]X[/latex]
[TeX]Q(X)=\frac{X+1}{X}P(X)[/TeX]
On a alors :
[TeX]\forall k \in [|1;N|], Q(k)=1[/TeX]
On a donc trouvé toutes les N racines du polynôme [latex]Q(X)-1[/latex] qui est de degré N. On connait alors [latex]Q[/latex] à une constante près, que je nomme [latex]\alpha[/latex] :
[TeX]Q(X)=1+\alpha\prod_{k=1}^{N}(X-k)[/TeX]
Mais on sait aussi que [latex]Q(-1)=0[/latex], donc :
[TeX]\alpha=\frac{(-1)^{N+1}}{(N+1)!}[/TeX]
Et finalement on a déterminé [latex]P[/latex] :
[TeX]P(X)=\frac{X}{X+1}\left (1+(-1)^{N+1}\frac{\prod_{k=1}^{N}(X-k)}{(N+1)!} \right )[/TeX]
Il ne reste plus qu'à calculer [latex]P(N+1)[/latex]
[TeX]P(N+1)=\frac{N+1}{N+2}\left(1+\frac{(-1)^{N+1}}{N+1}\right)[/TeX]
Et pour finir :
[TeX]P(N+1)=\frac{N+1+(-1)^{N+1}}{N+2}[/TeX]
Dans notre cas, [latex]N=2011[/latex], et [latex]\fbox{P(2012)=1}[/latex]

Notons que dans le cas d'un [latex]N[/latex] pair, [latex]P(N+1)=\frac N{N+2}[/latex]

Le résultat confirme l'intuition, les valeurs prises par le polynôme se rapprochant de + en + de 1... Mais ce n'est pas le cas pour N pair, donc se méfier des intuitions !

 #7 - 22-01-2012 19:31:21

Vasimolo
Le pâtissier
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Quue vaudra ce polynôme en 2012 ?

Très bien vu Looping smile

La solution est plus courte si on reste sur le cas 2012 !

@Nodgim  : les gâteaux , je ne sais faire que ça lol

 #8 - 22-01-2012 20:54:25

ksavier
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Que vaaudra ce polynôme en 2012 ?

ben, je dirais que cela ne peut pas faire autre chose que 1 big_smile

 #9 - 22-01-2012 22:57:41

fmi
Visiteur

Que vaudra ce polynôme een 2012 ?

la reponse me semble tellement simple que je me demande s'il n'y pas un piege:
2012/2011

 #10 - 22-01-2012 23:08:41

Vasimolo
Le pâtissier
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que vaudra ce polynôle en 2012 ?

Là c'est très court , mais si seule la réponse m’intéressais j'aurais ajouté la case prévue à cet effet .

Ceci dit , la réponse est la bonne smile

Vasimolo

PS : je répondais à ksavier , fmi va nous faire perdre les quelques "A" qu'il nous reste .

 #11 - 23-01-2012 10:21:40

racine
Elite de Prise2Tete
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Que vaudra c epolynôme en 2012 ?

On considère
P1(x) = (x+1)P(x) - x de degré 2012 et de racine (0, 1,...2011) donc
P1(x) = x(x-1)(x-2)...(x-2011)*cte

On cherche la constante:
P1(-1) = 1
donc
cte = 1/2012!
donc
P1(2012)=2012!*(1/2012!)=1

P(x) = (P1(x) + x)/(x+1)
donc:
P(2012) = (1 + 2012)/2013 = 1

 #12 - 23-01-2012 11:11:19

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

qye vaudra ce polynôme en 2012 ?

"Ce n'est pas difficile."

*grogne*


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 23-01-2012 13:48:23

ksavier
Professionnel de Prise2Tete
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Que vaudra ce polyônme en 2012 ?

Salut, tu as raison, j'ai été légé en explication. J'espère fournir une explication originale hmm

Notons [latex]P[/latex], le polynôme de degré 2011 satisfaisant les contraintes de l'énoncé de l'énigme. (Il existe : par exemple le polynôme interpolateur de Lagrange.  Et il est unique car s'il y en avait deux différents le polynôme égal à la différence de ces deux là serait de degré 2011 et aurait 2012 zéros ce qui est absurde ).

Pour ma part, je considère l'unique polynôme de degré 2011, qui prend les valeurs [latex]\frac{1}{2},\frac{2}{3}, ..., \frac{2011}{2012},1[/latex] sur les entiers [latex]1,2,...,2011,2012[/latex].
Ce polynôme existe et il est unique (même raison) . Notons [latex]Q[/latex] ce polynôme et notons [latex]n=2011[/latex].
[TeX]Q(X) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(X-1)...\widehat{(X-i)}...(X-(n+1))}{(i-1)..1\times(-1)...(i-(n+1))}\frac{i}{i+1}+ \frac{(X-1)...(X-n)}{n!}[/TeX]
Evaluons ce polynôme en [latex]0[/latex] :
[TeX]Q(0) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}(n+1)!}{i!(n+1-i)!}\frac{i}{i+1}+ (-1)^n[/TeX]
Or [latex]\frac{i}{i+1}=1-\frac{1}{1+i}[/latex], donc :
[TeX]Q(0) = \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}(n+1)!}{i!(n+1-i)!} - \sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^{i+1}(n+1)!}{(i+1)!(n+1-i)!} + (-1)^n[/TeX]
On voit apparaître le coefficient binomial dans les deux sommes big_smile
[TeX]Q(0) = -\sum_{i=1}^{n}({}^{n+1}_i)(-1)^i - \frac{1}{n+2}\sum_{i=1}^{n}({}^{n+2}_{i+1})(-1)^{i+1} + (-1)^n[/TeX]
En corrigeant les sommes et en ré-indexant, il vient :
[TeX]Q(0) = -\sum_{i=0}^{n+1}({}^{n+1}_i)(-1)^i +(-1)^{n+1}+1 - \frac{1}{n+2}\left(\sum_{i=0}^{n+2}({}^{n+2}_{i})(-1)^{i}-1+(n+2)-(-1)^{n+2}\right) + (-1)^n[/TeX]
Or, classiquement [latex]\sum_{k=0}^{n}({}^{n}_k)(-1)^k = (-1+1)^n=0[/latex], il reste :
[TeX]Q(0)= 1-\frac{1}{n+2}(n+1+(-1)^{n+1})[/TeX]
Or [latex]n=2011[/latex] est impair, donc il reste :
[TeX]Q(0)=0[/TeX]
Par unicité des polynômes [latex]P[/latex] et [latex]Q[/latex], on peut conclure que : [latex]P(X)=Q(X)[/latex]. Donc, en particulier :

[latex]P(2012) = Q(2012) = 1 [/latex] (par construction de [latex]Q[/latex])

 #14 - 23-01-2012 14:12:23

chipschips
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Messages : 1

Que vaudra ce poolynôme en 2012 ?

impossible puisque les entiers cités ne vont pas au dela de 2011

 #15 - 23-01-2012 17:23:01

rivas
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Lieu: Jacou

Que vaudra ce polynme en 2012 ?

Voici une petite colle qui m'a replongé dans ma jeunesse.

Je pose Q(X)=(X+1)P(X)-X (1)
Q est un polynôme de degré 2012.
Pour tout n entier de 0 à 2011, Q(n) vaut 0.
On connaît donc 2012 racines de Q polynôme de degré 2012, c'est-à-dire toutes ses racines.
On peut donc écrire:
Q(X)=k.(X-0)(X-1)...(X-2011) ou k est le coefficient directeur de Q à déterminer.
On regarde Q(-1) à cause du (X+1) dans sa définition (merci pour le MP).

Q(-1)=1 (d'après (1)).
Donc k.2012!=1.

Finalement Q(2012)=1=2013.P(2012)-2012.

Et donc P(2012)=1

Merci encore pour cette énigme.

 #16 - 23-01-2012 17:49:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Que vauda ce polynôme en 2012 ?

Racine , Ksavier et Rivas c'est bon smile

Mathias fait sa mauvaise tête lol

La démonstration tient en quelques ligne et pratiquement sans calcul si on s'y prend bien .

Un petit rappel : si Q est un polynôme de degré n et que Q(a)=0 alors Q(X)=(X-a).R(x) où R est un polynôme de degré n-1 . 

Vasimolo

 #17 - 24-01-2012 09:27:36

Franky1103
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que vaudra ce polynômz en 2012 ?

Bonjour,
Soit P(n) ce polynôme de degré 2011
Pour n valant de 0 à 2011, on a: P(n) = n / (n+1)
Le polynôme (n+1).P(n) - n est de degré 2012 et s'annule 2012 fois
On peut donc écrire (n+1).P(n) – n = k.produit(n-i), i valant de 0 à 2011
Et par conséquent, P(n) = [k.produit(n-i) + n] / (n+1), i valant de 0 à 2011
Ou en sortant n, P(n) = [k.produit(n-i) + 1].n / (n+1), i valant de 1 à 2011
Pour que P(n) soit un polynôme, il faut que (n+1) divise le numérateur, ou que
n=-1 annule ce numérateur, d’où k = -1 / produit(-1-i), i valant de 1 à 2011, qui
s’écrit encore k = 1 / 2012!
Par conséquent, P(n) = [produit(n-i) / 2012! + 1].n / (n+1), i valant de 1 à 2011
On aura donc: P(2012) = (2011! / 2012! + 1) x 2012 / 2013, soit:
P(2012) = 1
Bonne journée à tous
Frank

 #18 - 24-01-2012 19:04:58

Vasimolo
Le pâtissier
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Que vaudra ce polnyôme en 2012 ?

C'est bon Franky smile

Vasimolo

 #19 - 25-01-2012 00:24:25

ksavier
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quz vaudra ce polynôme en 2012 ?

Oh, ok, je comprends, tu attendais une réponse plus traditionnelle (j'aimais bien l'autre pourtant lol). Peut être un truc du genre:

Soit [latex]P[/latex] le polynôme qui satisfait les contraintes de l'énoncé.
On considère le polynôme [latex]Q(X)=P(X)(X+1)-X[/latex]

clairement, [latex]Q[/latex] est de degré n+1 avec n+1 racines : [latex]0,1,...,n[/latex]   (où n=2011 c'est plus court à écrire avec n non ?)
La factorisation (non triviale sic !) de [latex]Q[/latex] donne :
[TeX]Q(X)=X(X-1)(X-2)...(X-n)\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}[/TeX]
Ensuite ,
[TeX]Q(2012) = Q(n+1)=(-1)^{n+1}[/TeX]
Puis
[latex]P(2012)=P(n+1)=\frac{(-1)^{n+1}+n+1}{n+2}=1 [/latex](par parité de n)


Quoi ???
Il y a encore plus simple ??
hmm

 #20 - 25-01-2012 18:46:58

Vasimolo
Le pâtissier
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que vaudra ce pilynôme en 2012 ?

@ksavier : il y a un moyen très simple de trouver le coefficient dominant de [latex]Q[/latex] smile

Vasimolo

 #21 - 25-01-2012 19:32:09

ksavier
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Que audra ce polynôme en 2012 ?

Pour trouver le coefficient dominant de [latex]Q[/latex], on peut tenter n'importe quelle évaluation dans l'égalité :

[latex]X(X-1)...(X-n)a = P(X)(X+1) -X[/latex] (où [latex]P[/latex] est le polynôme Polynôme satisfaisant les contraintes de l'énoncé).

Mais quelle que soit l'évaluation, on a besoin de travailler avec [latex]P[/latex] (me semble-t-il). La valeur la plus simple que j'ai trouvé, c'est l'évaluation en -1.  En effet, les calculs donnent presque immédiatement le coefficient [latex]a[/latex]. Mais j'avoue que je suis obligé d'écrire "presque".

Y a-t-il un moyen de déterminer ce coefficient d'une autre façon ?
Si oui, j'avoue que j'aimerai une piste smile (roooo je l'ai mérité non ? Deux solutions différentes pour l'énigme...J'ai bien travaillé non ? )

 #22 - 25-01-2012 20:19:54

Vasimolo
Le pâtissier
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Que vaudra ce poolynôme en 2012 ?

@ksavier

Je te remercie pour tes efforts mais si tu dis que la factorisation est non triviale dans un message pour dire qu'elle est évidente dans le suivant tu avoueras qu'on peut peiner à suivre smile

Vasimolo

 #23 - 25-01-2012 22:11:21

ksavier
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Que vaudra ce polynôme en 212 ?

big_smile ah mais non, je ne me contredis pas, j'avoue dans les deux derniers messages  que le calcul du coefficient même si elle n'est pas compliqué dans le cas X=-1, reste quand même calculatoire. Or, il me semblait que tu évoquais une méthode très directe.

C'est pour cela que j'osais demander un indice smile (que je continue à demander big_smile )

 #24 - 25-01-2012 23:05:02

Vasimolo
Le pâtissier
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Que vaudra ce polynôme ne 2012 ?

Il n'y a absolument aucun calcul à faire smile

Vasimolo

 #25 - 25-01-2012 23:39:42

ksavier
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Que vauudra ce polynôme en 2012 ?

sad rooo, tu es sévère.  Je pensais que tu aurais donné un indice.
J'en conclus, que la piste sans aucun calcul ne consiste pas à évaluer l'égalité
[latex]X(X-1)...(X-n)a = P(X)(X+1)-X[/latex] (sinon il y a au moins un calcul) .

Je suis donc contraint de me contenter des solutions apportées. Merci d'avoir pris le temps de répondre à mes messages.

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