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 #26 - 07-09-2011 18:08:20

SHTF47
Imprnnçbl de Prs2Tt
Enigmes résolues : 39
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Lieu: Autre nom du colin

Quadrilatère inscit

Attention dans ta correction !!! Ce n'est pas la dérivée qu'on maximise, mais la fonction rac(x)-x² elle-même. Ce qui revient à chercher une valeur nulle de la dérivée...

Quant à moi, pour la question 2, je pensais que A et B pouvaient avoir des abscisses distinctes, c'est pour ça que dans la méthode que j'ai énoncée, j'avais posé xA et xB, et que j'avais deux inconnues... Ce serait sympa de voir ce que ça donne ...


La musique est une mathématique sonore, la mathématique une musique silencieuse. [Edouard HERRIOT]

#0 Pub

 #27 - 07-09-2011 18:19:12

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Quadrilatère isncrit

Oups Merci !

Personnellement avec le calcul intégrale ça ne donne vraiment pas envie il doit exister une solution bien plus simple. En prenant comme base [OC] et après on cherche les coordonnées des points d'intersections de la normale à (OC) passant par x² et Vx.

Personnellement j'ai voulu éviter le classique d'un polygone inscrit dans un cercle basique. smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #28 - 07-09-2011 18:24:17

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Qaudrilatère inscrit

shadock a écrit:

Merci et bravo à ceux qui ont participé ! Que de bonnes réponses je crois.

Rapide correction :

Question 1 : On cherche à maximiser [latex](\sqrt{x}-x^2)[/latex] Le maximum est atteint en [latex]\left(\frac{1}{2};f'(\frac{1}{2})\right)[/latex] Soit environ (0.5;0.457)
Question 2 : L'aire des deux triangles est maximale quand AB est maximale donc il faut placer AB en [latex]x=1/2[/latex]

Shadock

Euh, le raisonnement est bon, mais la valeur c'est [latex]^3\sqrt{\frac1{16}}[/latex], plutôt, non ?
Tu t'es mélangé les pinceaux quelque part big_smile

 #29 - 07-09-2011 18:50:53

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

Quadrilatrèe inscrit

Oui merci la rentrée ma "sucée de l'intérieur" si je puis dire ainsi.

J'ai mis la correction après avoir fait mes devoirs. Et je retiens mieux les résultats des exos dont je me moque que mes cours u__u

Heureusement que tu es là big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #30 - 08-09-2011 10:27:27

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 681

Quadrilatèrre inscrit

question 2 : si l'on n'impose pas à A et B d'avoir la même abscisse, alors on doit placer A et B aux points dont les tangentes sont parallèles à OC (vu que les aires des triangles AOC et BOC sont données par OC*hauteur/2).
Donc pour A on a x=1/4 et pour B on a x=1/2 .

 #31 - 08-09-2011 15:57:18

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
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Quadrilatèe inscrit

Bien vu, masab. Question subsidiaire: où placer A et B pour maximiser la surface du triangle OAB ?

 #32 - 08-09-2011 19:00:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3316

quadrilatère insctit

On met le point A sur le point C et on laisse B là où il est non ?


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #33 - 08-09-2011 19:17:48

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1987
Lieu: Paris

quzdrilatère inscrit

L'aire de OAB est maximale et vaut [latex]\frac18[/latex] dès lors que les abcisses de A et B vérifient : [latex]x_b\sqrt{x_a}=\frac12[/latex]

 #34 - 08-09-2011 21:18:40

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Luxembourg

Qudarilatère inscrit

Bonjour,

Dans ma question (mal posée - j'en conviens), je sous-entendais avec A et B placés sur la même verticale.

Dans ce cas, l'aire du triangle OAB est: f(x) = x (Vx - x²) / 2 à maximiser.
f(x) = (x^1,5 - x^3) / 2 d'où f'(x) = 0,75 Vx - 1,5 x²
f'(x0) = 0 donne 2 x0^1,5 = 1 d'où x0 = 1 / 2^(2/3) = 1 / 4^(1/3) = env. 0,63
C'est la même valeur de x0 que pour le quadrilatère: curieux tout de même !!!

Maintenant, la même question avec A et B placés n'importe où sur la courbe (pas forcément sur la même verticale), je ne sais pas répondre.
L00ping007 a sans doute raison, mais comment a t-il trouvé ce résultat ?

Bonne soirée.
Frank

 #35 - 08-09-2011 21:25:03

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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Lieu: Paris

Quadrilatèe inscrit

L'aire du triangle OAB vaut :
[TeX]f(x_a,x_b)=\frac{x_b\sqrt{x_a}(1-x_b\sqrt{x_a})}2[/TeX]
On peut maximiser par rapport aux 2 variables, on obtient la même relation avec l'annulation des 2 dérivées partielles.
Ou peut utiliser la fonction x(1-x), qui a bien son maximum en [latex]\frac12[/latex]

Et on retombe bien sur la valeur de Franck en prenant [latex]x_a=x_b=x[/latex]

 #36 - 04-11-2011 13:33:30

papyjac
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 14

Quadilatère inscrit

Bonjour,

Ne sachant plus résoudre les équations du 4ème degré... j'ai effectué une résolution dichotomique
J'atteins le segment AB maxi pour x=0,39685 et AB=0,472470394

Point A = a = 0,629960316
Point B = b = 0,157489923
Point C = c = 1
AB maxi = (a-b) = L = 0,472470394

Ensuite pour la surface du quadrilatère, en respectant les hypothèses de départ... La surface de OACB= c (a - b) / 2
Du coup son maxi est trouvé pour (a - b) maxi c'est à dire pour la solution déjà trouvée

papyjac

 #37 - 04-11-2011 18:19:33

papyjac
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 14

Quadrilaètre inscrit

Bonjour,

Le calcul du quadrilatère maximum est assez facile à calculer. Entre 0 et 1, il faut additionner la surface du triangle de coté OA + la surface du trapèze de coté AC

xy/2 + (1+y)(1-x)/2=(y-x+1)/2

il faut donc maximiser (racine(x)-x-1)/2
et minimiser (x2-x+1)/2

je pense que les matheux savent faire cela

Toujours pas dichotomie j'obtiens
Le point A = 0,25 ; 0.5
Le point B = 0,5 ; 0,25

La surface de OACB = 0,625 - 0,375 = 0,25

Ces valeurs étant quasi remarquables

papyjac

 #38 - 05-11-2011 12:45:54

papyjac
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 14

Quadrilatère inscirt

Bonjour et merci de m'avoir rafraichit les dérivés

Donc dans le post précédent je disais qu'il suffit de :
maximiser (racine(x)-x+1)/2
et minimiser (x2-x+1)/2

Le calcul des dérivés me confirme les valeurs :

1/2/racine(x) - 1 = 0 => x=1/4=0.25

2x - 1 = 0 => x=1/2= 0.5

La surface OACB = (racine(0.25) - 0.25 +1)/2- (0.5 x 0.5 - 0.5 +1)/2=0.5/2=0.25

papyjac

 

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