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 #1 - 03-03-2011 20:00:05

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
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Mathématiqques pour les nuls 8

Le calcul de dérivées est strictement interdit, comment faire ?

Enoncé

[latex]x, y, z[/latex] étant des nombres non négatifs de somme 1, quels sont le minimum
et le maximum de [latex]D=yz+zx+xy-xyz[/latex] ?

Quel est le minimum ? Maximum ?
Je ne sais pas vous, mais je trouve que les énoncés de moindre taille sont plus agréable. smile


La case réponse valide les deux extremum comme suit : [a;b] où a et b sont les deux extremum, si vous obtenez une fraction mettez une valeur approchée arrondie  de 4 chiffres significatifs ex: 2.362
@Gasole vient de me faire remarquer quelque chose, le 0 avant la virgule n'est pas un chiffre significatif, moi je fais comme si. 
tongue

Amusez-vous bien !!!
PS : Je pars dimanche à 6h du matin au ski alors pour la réponse il faudra attendre 1 semaine smile



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Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 03-03-2011 20:48:11

L00ping007
Elite de Prise2Tete
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mathématiques pour leq nuls 8

Evidemment, avec le calcul de dérivée on trouve immédiatement : [latex][0;\frac8{27}][/latex].
On va essayer sans les dérivées smile

Minimum
En factorisant par [latex]xyz[/latex] (pour x,y,z non nuls), on trouve :
[TeX]D(x,y,z)=xyz(\frac1x+\frac1y+\frac1z-1)[/TeX]
Comme [latex]x,y,z[/latex] sont tous les trois inférieurs à 1, [latex]\frac1x+\frac1y+\frac1z \ge 3[/latex], et :
[TeX]D(x,y,z) \ge 2xyz \ge 0[/latex] : 0 est donc un inf (la formule reste vraie pour des x,y,z pouvant s'annuler)
Et comme D(0,0,1) = 0, 0 est un inf atteint: c'est un minimum

Maximum
On va prendre [latex]x \ge y \ge z[/TeX]
Les 3 ne peuvent pas être tous strictement supérieurs (ou inférieurs) à [latex]\frac13[/latex], donc il y a 3 cas :

1/ Si je suppose que [latex]y=\frac13,x=\frac13-t,z=\frac13+t[/latex]
alors [latex]D(x,y,z)=\frac13(\frac13-x)+\frac13(\frac13+x)+(\frac13-x)(\frac13+x)-\frac13(\frac13-x)(\frac13+x)
D(x,y,z)=\frac8{27}-\frac{2x^2}3[/latex]
On en déduit [latex]D(x,y,z) \le \frac8{27}[/latex] avec égalité pour [latex]x=\frac13[/latex]

2/ [latex]y = \frac13-u, x=\frac13-v, z=\frac13+u+v[/latex] avec u,v positifs
Après un développement un peu fastidieux, on trouve :
[TeX]D(x,y,z)=\frac8{27}-\left (\frac{2u^2}3+\frac{2v^2}3+\frac{2uv}3+uv(u+v) \right )[/TeX]
On voit bien que [latex]D(x,y,z) \le \frac8{27}[/latex]

3/ [latex]y=\frac13+u, x=\frac13-v,z=\frac13+v-u[/latex] avec u,v positifs
On peut se ramener au cas [latex]y=\frac13+u, x=\frac13-v-u,z=\frac13+v[/latex]
Du fait du rôle symétrique des variables ici, cela revient à la formule précédente avec -u et -v à la place de u et v :
[TeX]D(x,y,z)=\frac8{27}-\left (\frac{2u^2}3+\frac{2v^2}3+\frac{2uv}3-uv(u+v) \right )[/TeX]
En factorisant ce qu'il faut :
[TeX]D(x,y,z)=\frac8{27}-\left (u^2(\frac23-v)+v^2(\frac23-u)+\frac{2uv}3 \right )[/TeX]
On a bien u et v positifs, [latex]u \le \frac23[/latex] et [latex]v \le \frac23[/latex] car [latex]1 \ge y=\frac13+u, x=\frac13-v-u, [/latex] et [latex]1 \ge z=\frac13+v[/latex], donc  [latex]D(x,y,z) \le \frac8{27}[/latex]

Dans tous les cas, on a bien [latex]D \le \frac8{27}[/latex], avec égalité pour [latex]x=y=z=\frac13[/latex]

 #3 - 03-03-2011 22:49:48

scarta
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Mathématiques pour lse nuls 8

D=xy + yz + zx - xyz
= xy(1-z) + z(x+y)
= xy(1-z) + z(x+y+z-z)
= xy(1-z) + z(1-z)
= (1-z) (xy+z)
On voit donc que D est toujours positif et donc le minimum serait 0 (atteint pour z=1, x=0, y=0)

Pour le max, intuitivement je dirais que vu que la formule est symétrique, prendre x=y=z=1/3 devrait donner le max, mais pas de preuve formelle sans passer par les dérivées pour l'instant

 #4 - 03-03-2011 23:48:39

rivas
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Mathématiquess pour les nuls 8

Vu la symétrie du problème, on cherche une expression symétrique elle aussi nous donnant une meilleure vision du problème.
Appellons V la valeur que l'on cherche: V=xy+yz+zx-xyz
Après avoir essayé de diviser par xyz (qui donne 1/x+1/y+1/z-1) ou essayé (x+1)(y+1)(z+1), il s'avère que la bonne approche est de regarder:
(x-1)(y-1)(z-1)=(x-1)(yz-y-z+1)=xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1=-V+x+y+z-1=-V (car x+y+z=1).
On a donc V=-(x-1)(y-1)(z-1). Or x-1=y+z, y-1=x+z, ...
On a donc V=(y+z)(x+z)(x+y).
Et là c'est gagné smile
En effet y+z, x+z et x+y sont 3 nombres positifs au sens large donc la somme est constante (elle vaut 2(x+y+z)=2).
L'inégalité isopérimétrique (une de mes préférées) permet de conclure que le maximum est atteint lorsque ces 3 nombres sont égaux et valent donc dans notre cas 2/3 (puisque leur somme vaut 2).
V vaut donc au maximum (2/3)^3=8/27.
Le minimum est immédiat: c'est 0 si on choisit par exemple x=1, y=z=0 (non négatifs dit l'énoncé).

La réponse est donc 0 et 8/27, ce qui est validé par la case réponse.

Merci shadock pour ce petit exercice sympa.
Ca rappelle de bons souvenirs mais je dois dire qu'avec le recul, je trouve ca plus facile qu'à l'époque.
Bon ski.

 #5 - 04-03-2011 04:22:31

mitsuidewi
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mzthématiques pour les nuls 8

Tu as dis "la dérivée est strictement interdite" la question est donc "comment faire" ?
C'est simple je ne me suis pas embêté à chercher à la main, j'ai écris un programme qui m'a renvoyé :
minimum : 0
maximum : 0.296

Tout bon, et en plus je respecte l'énoncé héhé !!

 #6 - 04-03-2011 07:06:30

halloduda
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Mathématiques opur les nuls 8

Le minimum est évidemment 0.
Le maximum est obtenu pour [latex]x=y=z=\frac 1 3[/latex]
C'est [latex]3*\frac13-\frac 1{3^3}=\frac8{27}\approx0.296[/latex]

 #7 - 04-03-2011 10:10:32

Jackv
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mathématisues pour les nuls 8

Avec une valeur à 1 et les autres à 0, on obtient 0.
Logiquement, l'autre extremum doit se produire pour les 3 valeurs à 1/3.
Ce qui nous donne 3*(1/3) - 1/27 = 8/27 = 0.296.

 #8 - 04-03-2011 16:57:33

gasole
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Mathématiques pour es nuls 8

Pour le min, comme x,y et z sont positifs et de somme 1, ils sont tous membre de l'intervalle [0,1].
Donc xyz <= xy, xyz<=yz et xyz <= xz.
Donc xy+yz+xz-xyz >= 0. Or la valeur 0 est atteinte avec par exemple x=1,y=0 et z=0.

Wolfram confirme.

On sent bien que ça doit être x=y=z=1/3 pour le max et Wolfram confirme aussi et donne 0.296296 mais ni 0.2962 ni 0.2963 ne valident ??

Bon, c'est vrai que l'indice aide un peu, en effet, en posant
    D=(1-x)(1-a)(1-b)
   (ce qui n'est pas du tout une idée du niveau "maths pour les nuls")

Puis en développant et en identifiant on trouve, avec a=y et b=z,
   D=(1-x)(1-y)(1-z).

Vu comme ça, D exprime le volume d'un parallélépipède rectangle dont la somme des côtés est fixe. C'est le cube qui maximise ce volume, donc x=y=z=1/3.

 #9 - 04-03-2011 18:32:33

MthS-MlndN
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Mathémaatiques pour les nuls 8

Instinctivement, je me suis dit que le minimum était atteint quand deux des trois variables valent 0 et le troisième 1, et le maximum quand les trois valent 1/3.

Ca me donne 0 et 8/27, résultat confirmé par la case réponse.

Le problème, c'est que je n'ai aucune explication a fournir...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 04-03-2011 19:25:55

franck9525
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Mathématiqes pour les nuls 8

Le minimum est 0 pour (0;0;1)
Le maximum est (2/3)^3 pour (1/3;1/3;1/3)

x+y+z=1
z=1-x-y avec x et y entre 0 et 1
D=(x-1)(y-1)(x+y) puis Wolfram tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 04-03-2011 21:48:39

shadock
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mathématiques pour lzs nuls 8

A tout ceux qui cherche une démonstration :
Spoiler : indice [latex]D=(1-x )(1-? )(1-?)[/latex] wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 04-03-2011 22:50:44

L00ping007
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Mathématiques pour lees nuls 8

Après ton indice, je me rends compte qu'il y a effectivement une démonstration plus simple que celle que j'ai déjà postée plus haut :

On remarque que :
[TeX]D(x,y,z)=(1-x)(1-y)(1-z)[/TeX]
On voit donc immédiatement que [latex]D \ge 0[/latex]
On va utiliser les comparaisons entre moyennes : moyenne arithmétique A(a,b,c), et moyenne géomtrique G(a,b,c)
[TeX]A(a,b,c) = \frac{a+b+c}3
G(a,b,c) = \sqrt[3]{abc}[/TeX]
On sait que [latex]G(a,b,c) \le A(a,b,c)[/latex] avec égalité lorsque a=b=c
On utilise ceci pour :
[TeX]a=1-x
b=1-y
c=1-z[/TeX][TeX]A(a,b,c)=\frac{1-x+1-y+1-z}3=\frac{3-(x+y+z)}3=\frac23[/TeX]
d'où [latex]\sqrt[3]{D(x,y,z)} \le \frac23[/latex]
donc [latex]D(x,y,z) \le (\frac23)^3 = \frac8{27}[/latex]
Et comme on a [latex]D(\frac13,\frac13,\frac13) = \frac8{27}[/latex], alors c'est un maximum smile

 #13 - 12-03-2011 18:04:39

shadock
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Mathématiques pour els nuls 8

Comme promis la solution, bien que tout le monde est juste smile

On constate que [latex]D=(1-x)(1-y)(1-z)+x+y+z-1[/latex]
Comme [latex]x+y+z=1, D=(1-x)(1-y)(1-z)[/latex] produit de trois facteurs positifs ou nuls, donc [latex]D>0[/latex](ou égal).
De plus la somme de ces facteurs est égale à [latex]3-1=2[/latex]. D est maximale quand ces facteurs sont égaux, soit
[TeX]x=y=z=\frac{1}{3}[/latex] et [latex]D=({\frac{2}{3}})^3[/TeX]
D'où [latex]{0<D<\frac{8}{27}}[/latex]   QED!!!

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 12-03-2011 19:40:06

gasole
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aMthématiques pour les nuls 8

Shadock : tu aurais une justification de l'affirmation "D est maximale quand ces facteurs sont égaux" sans passer par les dérivées ou c'est considéré comme "évident" ? J'ai proposé de passer par un volume, car je considère évident que c'est le cube qui optimise le volume à somme des côtés constants, mais j'avoue que je n'ai pas justifié plus que ça...

 #15 - 12-03-2011 20:46:17

shadock
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Mathématiques pour les uls 8

hmm Ah, j'ai fait comme si c'était évident, je ne me suis même pas posé la question.
Ton idée de parallélépipède rectangle est intéressante, mais là ou je vois l'évidence c'est que le parallélépipède rectangle de plus grand volume possible inscrit dans une sphère, est forcement un cube ? non
En tout cas c'est sur ce point là que j'ai du mal, c'est ça qu'il y a de bien avec les maths je trouve.


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #16 - 12-03-2011 21:11:48

gasole
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mathématiqued pour les nuls 8

J'en suis persuadé smile

Le problème général a l'air coton : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or … 3%A9trique

 #17 - 12-03-2011 21:25:21

shadock
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Mathématique pour les nuls 8

Fort intéressant ce théorème mais je n'ai pas encore le niveau pour tout comprendre, loin de là! smile
C'est surtout quand je suis tombé là topologie d'un espace vectoriel de dimension finie ou encore http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier... mais promis un jour j'apporterai une réponse complète roll

PS je trouve cette page très instructive Groupe des classes d'idéaux lol


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #18 - 12-03-2011 23:34:20

gasole
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Mthématiques pour les nuls 8

sinon, ce qu'a écrit Looping bouche le trou...

ou alors invoquer un résultat "tout prêt" : http://fr.wikipedia.org/wiki/Moyenne#Co … 3.A9dentes

 #19 - 12-03-2011 23:48:09

L00ping007
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mathématiqueq pour les nuls 8

Il y a moyen de montrer les inégalités des moyennes sans dérivation, avec des argument de convexité, donc effectivement, je bouche le trou smile
(c'est tout moi, ça ...)

 #20 - 12-03-2011 23:50:13

gasole
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Mathématiques pour els nuls 8

@Looping : tu as fait le plus gros du boulot en le bouchant smile

 #21 - 12-03-2011 23:51:54

L00ping007
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Mathématques pour les nuls 8

On me le dit souvent big_smile

 #22 - 12-03-2011 23:57:17

kosmogol
Banni
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Mathémaatiques pour les nuls 8

shadock a écrit:

PS je trouve cette page très instructive Groupe des classes d'idéaux lol

Juste les 2 lignes de résumé suffisent pour se marrer toute la nuit :
http://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9com … _Frobenius


http://enigmusique.blogspot.com/
 

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