Enigme Quadrilatère inscrit @ Prise2Tete

shadock · #1

Sur l'image ci-dessous sont représentées deux fonctions, [latex]\blue{\sqrt{x}}[/latex] et [latex]\red{x^2}[/latex] sur l'intervalle fermé [0;1].
De plus O est l'origine du repère, C est le point de concourt des deux fonctions, A et B appartiennent respectivement à la fonction "racine" et "carré" et telle sorte que [latex](AB)//(Oy)[/latex]. (Oy étant l'axe des ordonnées)

Question 1 :
Pour quelle valeur de [latex]x[/latex] la longueur du segment [AB] est-elle maximale ? Combien vaut-elle ?

Question 2 : (A laquelle je réfléchis en même temps que vous.)
Où faudrait-il placer le point A et le point B pour que l'aire du quadrilatère OBCA soit maximale ? (Tout en respectant les conditions de départ.)

Bonne réflexion à tous...
Shadock

SHTF47 · #2

Pour la première question, il faut calculer la dérivée de f(x)=rac(c)-x² et chercher pour quelle valeur de x cette dérivée s'annule, x étant compris entre 0 et 1

Pour la 2, c'est plus costaud ! De la géométrie analytique avec du calcul d'intégrales s'impose...
En définissant les coordonnées des points A et B respectivement par :
(xA , rac(xA))
(xB , xB²)

On peut définir dans un premier temps les équations des droites dont on a besoin, à savoir: OA, AC, OB, BC

Ensuite, il suffit de dire que l'aire du quadrilatère est la différence entre les intégrales bornées des équations des droites (OA,AC) et les intégrales bornées des équations des droites (OB,BC). Cette aire s'exprimera forcément comme une équation à deux inconnues : xA et xB.

La vraie question est: cette équation, et les conditions initiales de xA et xB (valeurs prises entre 0 et 1), sera-t-elle suffisante pour conclure ???

Azdod · #3

Pour la 1ere question un simple calcul de dérivé de la fonction: racine de x - x² permet de donner la valeur : 1/racine cubique 16 Soit 0.396850263.
Combien vaut-elle ? il suffit de calculer l'image de ce nombre : 0.4724703937.
Pour la deuxieme ; je reflechis encore ...
EDit:
Puisque le quadrilatère est convexe alors son aire est égal au produit de ces 2 diagonales et du Sinus de l'angle formée par eux divisé par 2.
On peut simplement montrer que OC = racine 2 ... L'angle formé par les des diagonales est de 45°. du coup :

Aire = 1/2 x OC x AB x Sin a = 1/2xAB

L'aire est maximale lorsque AB est maximale.
Du coup :
Aire = 0.2362351969

Donc il faut placer A et B tel que x = 0.396850263.

franck9525 · #4

Question 1
soit d la distance de A à B [latex]d=\sqrt x-x^2[/latex]

La derivée nous donne le maximum
[TeX]\frac1 2x^{\frac{-1} 2}-2x=0[/TeX]
[TeX]x={(\frac1 4)}^{\frac2 3}\approx 0.397[/TeX]
[TeX]d={(\frac1 4)}^{\frac1 3}-{(\frac1 4)}^{\frac4 3}\approx 0.472[/TeX]
Question 2
... c'est bien compliqué
Une approche pourrait être de calculer les coefficients des quatre droites, puis d'utiliser les intégrales pour déterminer les aires avant et après x mais... je laisse tomber avant de me noyer dedans.
En fait c'est tout simple !
L'aire du quadrilatere est la somme de deux triangles ayant pour base AB.
L'aire est donc [latex]\frac{ (\sqrt x -x^2)} 2[/latex]et donc admet un maximum identique avec la question 1.

nodgim · #5

Cette enigme pourait être une question scolaire....
Calculer la dérivée de racx-x². Elle s'annule à 0.39685...
Evidemment le max de l'aire du qudrilatère correspond à ce max!

w9Lyl6n · #6

1) [latex]AB(x) = \sqrt{x} - x^2[/latex] comme cette fonction est dérivable, qu'elle vaut 0 en 0 et qu'elle est négative pour x>1, on en déduit qu'elle atteint un maximum sur [0,1] et que sa dérivé est nulle en ce point :
[TeX]AB'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x} }- 2x=0
\Leftrightarrow x^{3/2} = 1/4
\Leftrightarrow x_{max}=(\frac{1}{16})^{\frac{1}{3}} [/TeX]
Donc : [latex]AB_{max} = (\frac{1}{16})^{\frac{1}{6}}+(\frac{1}{16})^{\frac{2}{3}}\simeq 0,787[/latex]

2) [latex]aire = AB(x+1-x)/2 = \frac{AB}{2}[/latex]
Donc [latex] aire_{max}=\frac{AB_{max}}{2}[/latex]
C'était pas dur mais ça m'a entrainé en latex

caramba · #7

1 : x= [latex]\sqrt[3] {1/16}[/latex]
2 : idem, la superficie de OBCA étant proportionnelle à la longueur de ce segment...

masab · #8

question 1 : x = 1/16^(1/3) = 0.396850262992049...
AB = 0.4724703937105774...

question 2 : A et B doivent être placés comme dans la question 1 ; en effet on considère les triangles OAB et CAB, la somme de leurs aires est AB/2 (base AB * hauteur / 2 pour chacun des triangles).
Donc l'aire est maximale quand AB est maximal.

shadock · #9

Pour la question 1 vous avez tous juste (ce n'était pas bien dur en effet) en revanche pour la question 2 je ne veux pas savoir quelle est l'aire maximale mais où faut-il placer A et B pour que celle-ci soit maximale Et là ça complique toute l'affaire.

Shadock

nodgim · #10

Je crois avoir répondu à cette question en disant que l'aire max correspondait à AB max (et ça vaut la moitié)

caramba · #11

Si (AB) est toujours // à (Oy), c'est bien en x = réponse à la question 1 puisque la superficie est proportionnelle à la longueur du segment AB... (La moitié si je ne m'abuse). Elle est donc maximale lorsque la longueur AB est maximale...

SHTF47 · #12

Hem... shadock, je pense que la méthode que j'ai proposée soit la plus logique pour trouver les coordonnées de A et B, et celle-ci passe par le calcul de l'aire maximale. Je ne vois pas pourquoi il faudrait se passer de ce calcul, car quand bien même on ne calcule pas l'aire maximale, comment être sur qu'on a trouvé les bonnes valeurs pour A et B ???

shadock · #13

Je ne disais pas ça pour toi @SHTF47 en effet ta méthode semble être "parfaite" je n'ai pas encore trouvé de méthode personnelle pour arriver à mes fins. Je vais essayer avec ce que tu proposes mais je ne garantie rien.

@w9Lyl6n Ta méthode pour la 2) ton résultat est certainement correct mais je ne comprends pas la méthode que tu utilises. Un petit schéma ne me ferai pas de mal, si tu as le temps (Et AB est toujours verticale)

nodgim · #14

Hum....ça respire de plus en plus le problème scolaire .....

TiLapiot · #15

le pt A passe par y=√x => yA=√xA
le pt B passe par y=x² => yB=x²B
soit f(x)=√x-x²
la dérivée f'(x)=√x/2-2x s'annule pour 4x√x=1
=> x^(-3/2)=4 => -3/2.lnx=2ln2 => lnx=-4/3ln2
=> x=e^(-4/3ln2) ~0,39685
donc xA=xB est désormais connu.

pour la 2ème question, j'ai fait une figure et je ne suis *pas* convaincu
que le plus grand quadrilatère recherché passe forcément par le segment [AB] trouvé
à la 1° question.

Mon raisonnement tordu est le suivant :
Considérant la symétrie entre les courbes y=x² et y=√x, coupées par y=x,
j'imagine simplement qu'il peut exister un segment [MN], dont la surface totale
du quadrilatère (OMCN) sera supérieure à celle du quadrilatère (OBCA)...

Je vais donc (tenter de) calculer la surface totale du quadrilatère (OMCN),
ceci en fonction de l'unique variable xM...

Le point C satisfait x²=√x => x(x³-1)=0 => 2 solutions réelles : x=0 et x=1.
x=0 correspond au point O, xO=0, yO=0
x=1 correspond au point C, xC=1, yC=1²=1

M est sur la courbe y=x², yM=x²M => M(xM;x²M)
N est sur la courbe y=√x, yN=√xN, mais on sait que M et N ont la même abcisse => N(xM;√xM)

Soit H la projection orthogonale de M sur l'axe des x => H(xM;0),
soit I la projection orthogonale de C sur l'axe des x => I(1;0).

Surface totale (OMCN) =(OMN)+(MNC)

or surface(OMN)=surface(OHN)-surface(OHM)

de même, surface(OHN) =base.hauteur/2 =xM.√xM/2

de plus, surface(OHM) =x³M/2

Calcul de surface(MNC) :
K est l'intersection de (NC) avec l'axe des x,
La droite (NC) a pour équation y=ax+b.
En remplaçant par les coord de C et N, on obtient :
a.1+b=1
a.xM+b=√xM
C'est un syst de 2 eq à 2 inc, a=(1-√xM)/(1-xM),
d'où b=1-a =(√xM-xM)/(1-xM)
donc la droite (NC) a pour equation y=(1-√xM)/(1-xM).x + (√xM-xM)/(1-xM)
yK=0 pour xK=-b/a =-(√xM-xM)/(1-xM)/(1-√xM)/(1-xM) =(√xM-xM)/(√xM-1) <0
=>K((√xM-xM)/(√xM-1);0)

L est l'intersection de (MC) avec l'axe des x,
La droite (MC) a pour équation y=αx+β.
En remplaçant par les coord de C et M, on obtient :
α.1+β=1
α.xM+β=√xM
Là encore, c'est un syst de 2 eq à 2 inc, α=(1-x²M)/(1-xM),
d'où β=1-α =(x²M-xM)/(1-xM)
donc la droite (MC) a pour equation y=(1-x²M)/(1-xM).x + (x²M-xM)/(1-xM)
yL=0 pour xL=-β/α =-(x²M-xM)/(1-xM)/(1-x²M)/(1-xM) =(xM-x²M)/(1-x²M) >0
=>L((xM-x²M)/(1-x²M);0)

surface(MNC)=surface(KIC)-surface(KHN)-surface(LIC)+surface(LHM)
Bigre!

On a surface(KIC) =base.hauteur/2 =[1-(√xM-xM)/(√xM-1)]/2 =(1+√xM)/2

et surface(KHN) =base.hauteur/2 =[xM-(√xM-xM)/(√xM-1)].√xM/2 =(xM-x²M)/(1-√xM)/2

De plus, surface(LIC) =base.hauteur/2 =[1-(xM-x²M)/(1-x²M)]/2 =[1/(1+xM)]/2

Et aussi surface(LHM) =base.hauteur/2 =[xM-(xM-x²M)/(1-x²M)].x²M/2 =xM^4/(1+xM)/2

La surface totale (OMCN) est :
=xM.√xM/2 -x³M/2 +(1+√xM)/2 -(xM-x²M)/(1-√xM)/2 -[1/(1+xM)]/2 +xM^4/(1+xM)/2

Comme c'est une horrible horreur (...), je file sur Wolfram.
Je confesse que c'est la 1ère fois que je tâte de ce logiciel, j'en ressors ahuriii !

Après un bon moment, je finis par lui jeter ma requête :
"derive x√x/2 -x³/2 +(1+√x)/2 -(x-x²)/(1-√x)/2 -[1/(1+x)]/2 +x^4/(1+x)/2"
il me pond une réponse immédiate :
=> dérivée = xM^(-.5)/4-xM, qui s'annule pour xM=1/(2*2^(1/3)) ~0.39685

Merdum, c'est la même valeur que celle en 1°
CQFD malgré moi : le quadrilatère passe par [AB].
4h... Chui bon pour une douche

TiLapiot

shadock · #16

@nodgim Franchement j'ai pas que ça à faire je préfère réussir seul dans la vie. Parfois il m'arrive de me poser des questions auquelles je n'ai pas de réponses. Personnellement ma rentrée c'est le 6 alors...

@TiLapiot Wahou !!!

Franky1103 · #17

Bonjour,

1°) Il faut maximiser f(x) = Vx - x² sur [0;1] et donc annuler sa dérivée.
f'(x) = 1/2Vx - 2x = (1 - 2xVx) / 2Vx qui s'annule pour 1 - 2 x0^(3/2) soit:
x0 = 1 / 2^(2/3) = 1 / 4^(1/3) = 0,62996 env.
La longueur du segment est: f(x0) = 1 / 2^(1/3) - 1 / 16^(1/3) = 0,39685 env.

2°) La surface du quadrilatère (OBCA) est la somme de celles des 2 triangles (OBA) et (CBA) qui vaut g(x) = x f(x) / 2 + (1-x) f(x) / 2
Or, en développant, on trouve que g(x) = f(x) et il faut donc placer les points A et B à l'abscisse trouvée à la question 1°

Bonne soirée.
Frank

Remarque: maximiser la surface du seul triangle (OBA) est un peu plus coton (mais pas impossible).

L00ping007 · #18

Je trouve la même valeur pour les 2 questions : [latex]^3\sqrt{\frac1{16}} [/latex]
Pour la seconde question, je coupe le quadrilatère en 2, et je me sers de la formule de l'aire d'un triangle qui utilise le produit vectoriel.
Je trouve même que l'aire du quadrilatère vaut la moitié de AB.

halloduda · #19

Question 1
La fonction [latex]\sqr x-x^2[/latex] est maximale lorsque sa dérivée est nulle,
[TeX]\frac 1 {2\sqr x}-2x=0[/latex] soit [latex]x\sqr x=\frac 14\[/latex],
[latex]x=\sqr[3] {\frac 1 {16}}\approx 0.39685[/TeX]
Question 2
L'aire du quadrilatère OBCA est égale à 1/2 AB et est donc maximale pour la valeur ci-dessus de x, qui maximise AB.

esereth · #20

Bonjour,

J'appelle x l'abscisse des points A et B.

Question 2:

Si je ne me trompe pas, la hauteur du triangle OAB vaut [latex]x[/latex] et celle de CAB vaut [latex]1-x[/latex]
L'aire du quadrilatère OAB vaut donc [latex]\frac{1}{2}x(\sqrt{x}-x^2)[/latex] et celle de CAB
[TeX]\frac{1}{2}(1-x)(\sqrt{x}-x^2)[/TeX]
L'aire du quadrilatère OACB vaut donc [latex]\frac{1}{2}(\sqrt{x}-x^2)[/latex]

Cette aire sera donc maximale si AB est maximale

soit pour [latex] x=\frac{1}{4}^{\frac{2}{3}}[/latex]

rivas · #21

Pour la question 2:

Soit x l'abcisse commune de A et de B.
A à pour coordonnées: [latex](x, \sqrt{x})[/latex] et B: [latex](x, x^2)[/latex]

La quadrilatère est composé de 2 triangles qui ont la même base: [AB].
Leur hauteur est x pour l'un et 1-x pour l'autre (Ah oui, le point d'intersection des courbes est évidemment (1,1)).

En considérant l'aire d'un triangle comme la moitié de la base fois la hauteur on trouve:
[TeX]S(x)=\dfrac12.(\sqrt{x}-x^2)(x+1-x)[/TeX][TeX]2.S'(x)=\dfrac1{2\sqrt{x}}-2x[/TeX][TeX]S'(x)=0 \Leftrightarrow x^{\dfrac32}=\dfrac14[/TeX]
Et donc le maximum est atteint pour [latex]x_M=\dfrac1{4^\dfrac23}=\dfrac1{\sqrt[3]{16}}[/latex]

Soit environ 0,397 (ce qui semble correct graphiquement).

shadock · #22

Encore plein de bonnes réponses, esereth et rivas ont trouvé la solution la plus rapide et efficace pour la question 2. Bravo !

scarta · #23

Pour la question 1:
On cherche le max de sqrt(x)-x^2.
On dérive: 1/2sqrt(x)-2x
Cette fonction s'annule en 1/2^(4/3), positive avant et négative après.

x vaut donc 1/2^(4/3); et la longueur associée est 1/2^(2/3)-1/2^(8/3), qu'on peut aussi écrire plus joliment 3.cuberoot(2)/8

scarta · #24

Pour la question 2: Le plus simple est de découper le quadrilatère en 2 triangles OCA et OCB.
On note D la droite d'équation y=x. O et C sont sur cette droite.
L'aire du triangle est donnée par la formule base.hauteur/2. Prenons pour les deux triangles la hauteur OC (qui vaut sqrt 2), notons hA la distance entre A et (D) et hB la distance entre B et (D), on a:
Aire = (hA + hB).sqrt(2)/2

La distance entre un point et une droite peut être obtenue facilement si on a l'équation de la droite et les cordonnées du point.
Ici, hA vaut |sqrt(x)-x|/sqrt(2) et hB vaut |x^2-x|/sqrt(2)
Comme sur [0,1] on a x^2<=x<=sqrt(x); alors
hA = (sqrt(x)-x)/sqrt(2)
hB = (x-x^2)/sqrt(2)
Aire = (sqrt(x)-x^2)/2

Pas la peine de chercher quelle valeur la maximise: c'est la même equation que la question 1 (au facteur 1/2 près)
Du coup, pour x=1/2^(4/3) on a aussi l'aire maximale, qui vaut 3.cuberoot(2)/16

shadock · #25

Merci et bravo à ceux qui ont participé ! Que de bonnes réponses je crois.

Rapide correction :

Question 1 : On cherche à maximiser [latex](\sqrt{x}-x^2)[/latex] Le maximum est atteint en environ (0.397;0.472)
Question 2 : L'aire des deux triangles est maximale quand AB est maximale donc il faut placer AB en [latex]x=1/2[/latex]

Shadock

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#1 - 04-09-2011 01:28:41

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