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 #1 - 08-09-2011 20:41:09

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

problème bague...

La figure ci-dessous montre le graphique d'un polynôme de degré 4. Les points A et B partagent la même tangente et la tangente à C est parallèle à cette tangente. Quel est le ratio surface bleue/surface rouge ?

http://nsa28.casimages.com/img/2011/09/08/110908084445662298.jpg


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.
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#0 Pub

 #2 - 08-09-2011 21:53:58

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,890E+3

Problèe vague...

Au pif , (enfin  intuitivement ) 2

 #3 - 08-09-2011 23:04:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3333

pronlème vague...

Je donne une réponse vague aussi environ entre 0 et 1. tongue
Mais j'y réfléchit big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 09-09-2011 11:29:02

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 911

problèmr vague...

Le rapport est égal à [latex]\sqrt{2}[/latex]

 #5 - 09-09-2011 12:38:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,242E+3

problème vafue...

Le rapport est [latex]\sqrt{2}[/latex] , j'ai une démonstration mais j'attends les autres smile

Vasimolo

 #6 - 09-09-2011 15:11:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

problème bague...

masab et Vasimolo ont donné la bonne réponse.


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #7 - 09-09-2011 15:58:57

w9Lyl6n
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 26
Messages : 220

Problme vague...

Les surfaces rouge et bleu ne changent pas si on translate la courbe, leur ration ne change pas si on dilate les axes, on peut même retirer du polynôme l'équation de la tangente (AB) sans modifier les surfaces.

On se ramène à la situation où A=(-1,0) et B=(1,0) et où le coefficient dominant du polynôme est 1. Il y a deux racines doubles en A et B on en déduit le polynôme :
(x-1)²(x+1)²=(x²-1)²
Donc C=(0,1)
l'aire rouge est : [latex]\int_{-1}^{1}\ (x^2-1)^2 = 2(1/5-2/3+1) = \frac{16}{15}[/latex]
pour l'aire bleu on calcule 1-(x^2-1)^2=x^2(2-x^2) qui s'annule en C et pour x=+-V2
l'aire bleu est [latex]\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\ x^2(2-x^2) = 2(4\sqrt2/3-4\sqrt2/5) = \frac{16\sqrt2}{15}[/latex]

Donc surface bleu/ surface rouge = [latex]\sqrt 2[/latex]

 #8 - 09-09-2011 16:25:19

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

problèmz vague...

Oh qu'elle est belle et simple cette solution, w9Lyl6n. wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 12-09-2011 00:12:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,242E+3

Problème vagu...

Je ne comprends pas bien la réduction proposée par W9Lyl6n , la fonction polynôme initiale n'a certainement pas toutes les symétries de [latex]p(x)=(x^2-1)^2 [/latex]

Vasimolo

 #10 - 12-09-2011 00:23:18

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3118
Lieu: Luxembourg

probmème vague...

Salut Vasimolo,
J'étais parti comme w9Lyl6n, mais je me suis planté sur l'aire bleu. L'idée est de "redresser" (à l'horizontale) et "étirer" (en x et y) la courbe: les surfaces bien entendu changent, mais pas leur rapport.
Bonne soirée.
Frank

 

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