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 #1 - 18-10-2011 17:21:42

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

concrption de balance

Hello,  ca faisait un certain temps, je suis un peu mou en ce moment. smile

Donc seulement une brève:
Vous êtes constructeur de balance type Roberval.
Vous décidez donc de la composition du jeu de masselottes accompagnant la balance. La seule contrainte est que la balance puisse peser de manière exacte des masses avec un nombre entier de grammes. Le reste est laissé au bon sens et à l'interprétation de chacun.

Quelle est la meilleure manière de concevoir ce jeu de masselottes si on fixe le nombre N de masselottes vendues avec la balance?

Quelle est la meilleure manière de concevoir ce jeu de masselottes si on fixe la masse totale M de celui ci ?



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 #2 - 18-10-2011 17:57:07

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

conceptuon de balance

1) Avec N masselottes, les masselottes pesent 1,2,4,8,...2^(N-1) et permettent de peser tous les poids au gramme pres jusqu'a 2^N - 1



2) Avec un poids total de M tel que 2^n <= M < 2^(n+1)

On prend n masselottes de poids 2^i, i variant de 0 a n-1. Leur poids total vaut 2^n - 1.
On prend un une derniere masselote de poids = M - 2^n + 1. La somme fait bien M.

De plus M < 2^(n+1) implique M - 2^n + 1 <= 2^n.

Sans la derniere masselote on peut construire tous les poids de 1 a 2^n - 1
Avec la derniere masselotte on peut construire tous les poids de M - 2^n + 1 a M. L'inegalite ci dessus nous montre qu'on oublie aucun poids au milieu.
Donc on peut construire tous les poids de 1 a M avec un nombre minimal de masselottes

(M masselotes de poids 1 marchait aussi mais c'est pas tres pratique smile )

C'est le principe ou alors j'ai rien compris a l'enonce ?

 #3 - 18-10-2011 17:58:27

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 96

conception de balznce

Admettons que les clients n'aient pas peur de jongler avec les puissances de 2.

Si on fixe le nombre N de masselottes vendues avec la balance :
On fait des masselottes de 1g, 2g, 4g, ..., 2^Ng

Si on fixe la masse totale M de celui ci :
On fait des masselottes de 1g, 2g, 4g, ..., 2^(E(log2(M+1))-1)
et une autre avec la masse qui nous reste.

 #4 - 18-10-2011 18:16:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

conception de balznce

Je choisirais les masselottes les unes après les autres de sorte que la prochaine ait le double du poids +1 gramme de l'ensemble des masselottes précédentes, soit: 1,3,9,27,...donc des puissances de 3 successives, ce qui représente un total de (3^n-1)/2 grammes de pesée maximale.

 #5 - 18-10-2011 20:56:29

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Conception de bbalance

J'ai fait exprès de ne pas vous rappeler un truc :p (et certains l'auront remarqué des le départ):
Mettre des masselottes sur un plateau et la masse à peser de l'autre n'est pas la seule manière de déterminer le poids de quelque chose :p avec ce genre de balance.

 #6 - 18-10-2011 21:16:35

Yuka2
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 31

Conception de balace

Arff je suis tombe dans le panneau. mad

Pour la premiere question je dirais donc qu'on ne prend plus les 2^i mais les 3^i qui me semble bien plus efficace.

Ainsi avec 1,3 et 9 et 27 on calcule tous les poids de 1 a 40
1=1
1+2=3
3=3
4=1+3
1+3+5=9
3+6=9
3+7=9+1
1+8=9
9=9
10=9+1
1+11=9+3
12=9+3
13=9+3+1
1+3+9+14=27
et ainsi de suite ...

Pour la deuxieme je dirais qu'il suffit de reprendre mon message en remplacant 2^i par 3^i smile
Mais je vais reflechir a mieux .. roll

Merci pour l'enigme

 #7 - 18-10-2011 21:39:56

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

conception fe balance

Sur ce topic figure la réponse aux deux questions, je pense : prendre les puissances de 3 croissantes (jusqu'à ne plus pouvoir, puis rajouter une masse qui représente le reste, si la masse totale est fixée).


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #8 - 19-10-2011 16:46:11

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Concepion de balance

Bonjour,
Pour peser 1g, il me faut une masselotte de ... 1g (élémentaire mon cher Watson).
Puis, je m'en sors avec une masselotte de 3g, en faisant 2g=3g-1g et 4g=3g+1g.
Je choisis la masselotte suivante pour faire 5g en ayant xg-4g=5g d'où x=9.
Et ainsi de suite ... donc, si j'appelle u(i) ma suite de masselottes et s(i)=sigma[u(i)], je vais avoir u(N)=2s(N-1)+1 et on trouve par récurrence que u(N)=3^(N-1), et par conséquent que M=s(N)=(3^N-1)/2, ce qui donne N=1+ent[log(2M+1)/log3].
Mes réponses sont donc:
1°) Ce jeu de masselottes est la suite des puissances successives de 3 (de 0 à N-1),
2°) Si on se fixe M, alors N=1+ent[log(2M+1)/log3]. Exemple: M=1200 donne N=8.
Bonne journée.
Frank

 #9 - 20-10-2011 09:47:07

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Conception de baalance

Beaucoup de bonnes réponses!

(Mouarf la honte j'ai fait un doublon de probleme sad, faut que je retourne à mes création originales avec paint tongue)

 #10 - 25-10-2011 16:08:33

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Conception d balance

Pour la première question, ce n'est pas les très classiques puissances de 3?
Ca y ressemble en tout cas.

Pour la seconde, ça me semble un peu plus sioux.
Il y a 2 façons de peser sur une balance Roverbal:
1- En ne mettant les masses marquées (MM) que d'un coté
2- En en mettant des 2 côtés.

Dans le cas 1, l'optimum est atteint en utilisant les puissances de 2 pour les MM.
Lorsque la MM la plus lourde utilisée vaut [latex]2^n[/latex], on peut mesurer des masses jusqu'à [latex]2^{n+1}-1[/latex].

Dans le cas 2, l'optimum est atteint en utilisant les puissances de 3 pour les MM (réponse à la question 1). Lorsque la MM la plus lourde utilisée vaut [latex]3^n[/latex], on peut mesurer des masses jusqu'à [latex]\dfrac{3^{n+1}-1}2[/latex].

Dans les 2 cas, on crée les MM en suivant la stratégie et on crée une dernière MM avec le reste de masse disponible. Cette dernière masse ne crée pas de "trou" dans la liste des masses mesurable (car elle est plus petite que respectivement [latex]2^{n+1}[/latex] et [latex]3^{n+1}[/latex]).

Suivant la stratégie 1 et en posant n tel que [latex]2^n[/latex] est la plus grande puissance de 2 plus petite que (ou égale à) M, on peut mesurer toutes les masses jusqu'à:
[TeX]D(M)=2^{n+1}-1+(M-2^n)=2^n-1+M[/latex].
Or [latex]2^n \le M<2^{n+1}[/latex] donc [latex]D(M) \gt \dfrac{M}2-1+M=\dfrac{3M}2-1[/TeX]
De même, suivant la stratégie 2 et en posant n tel que [latex]3^n[/latex] est la plus grande puissance de 3 plus petite que (ou égale à) M, on peut mesurer toutes les masses jusqu'à:
[TeX]T(M)=\dfrac{3^{n+1}-1}2+(M-3^n)=\dfrac{3^n-1}2+M[/latex].
Or [latex]3^n \le M<3^{n+1}[/latex] donc [latex]T(M) \le \dfrac{M-1}2+M=\dfrac{3M}2-\dfrac12[/TeX]
On voit donc que l'on a toujours D(M) > T(M) (on ne peut atteindre simultanément les cas limites car il faudrait que la plus grande puissance de 2 inférieure à M soit M et aussi la plus grande puissance de 3 inférieure à M).

Lorsque que la masse totale des masses marquées est fixée, il vaut mieux choisir le stratégie des puissances de 2 avec une MM additionnelle de la masse restante.

Cette énigme était divertissante. Merci.

 #11 - 26-10-2011 16:21:24

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Conception de alance

Merci à tous les participants!
Bon il est temps que je retrouve une petite "paint enigme" rigolote.

 #12 - 26-10-2011 17:25:39

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Concepttion de balance

Je vais encore chipoter mais je ne trouve pas qu'il y ait tant de bonnes réponses smile en particulier pour la question 2, ni que le lien donné par Mathias réponde à la question 2°...
Mais je peux me tromper...
Il me semble que pour la question 2, il faut prendre les puissances de 2 et la masse restante et non les puissances de 3 et la masse restante.

 #13 - 28-10-2011 14:25:04

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

Conception de balanc

Et pourquoi pas des puissance de 3 et la masse restante rivas?

 #14 - 28-10-2011 14:36:10

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3762
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

Connception de balance

Si j'ai bien compris, à chaque fois la masse restante est inutile.
Il suffit d'avoir toutes les puissances de 3 inférieures à la masse considérée. C'est exact ?


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #15 - 28-10-2011 15:15:36

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

onception de balance

Si on fait nos masselotte dans une masse totale m de métal, il est évident qu'on ne pourra rien peser précisément de plus lourd que cette masse m total.
La masse restante est utile pour peser les masse proche de m, avec des puissances de 3 croissantes tant qu'on peut et la masse restante on arrive à peser tout entre 0 et m. (ce n'est pas trivial mais ce n'est pas très dur non plus).
Bien qu'utile, on voit bien que dans cette masse restant il y a un coté "non optimal", comme on pourra strictement rien faire de mieux que de donner la possibilité de peser tout entre 0 et le total m on peut jouer sur la souplesse du bidule pour faire des masselottes de poids plus facilement humainement manipulable, mais c'est une autre question ^^. (compter en puissance de 3 n'est pas évident).

 #16 - 28-10-2011 15:50:55

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

cobception de balance

Clydevil a écrit:

Et pourquoi pas des puissance de 3 et la masse restante rivas?

Ben j'ai tout détaillé dans mon post ci-dessus.

Si la masse totale est fixée, alors la meilleure stratégie est avec les puissances de 2 et la masse restante.

Si le nombre de masses est fixée alors la meilleure stratégie est avec les puissances de 3.

Je suis preneur si vous voyez une erreur dans ma démo.

 #17 - 28-10-2011 18:03:55

Klimrod
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 40
Messages : 3762
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

conception dr balance

Merci Clydevil, effectivement ma remarque était stupide.
Si, si... wink
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #18 - 28-10-2011 19:15:12

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 802
Lieu: Seahaven island

conception de balanve

Ben j'ai tout détaillé dans mon post ci-dessus.

En effet j'ai lu un peu vite les propositions croyant que tout le monde était d'accord smile
Cependant je lis ceci:

Dans les 2 cas, on crée les MM en suivant la stratégie et on crée une dernière MM avec le reste de masse disponible. Cette dernière masse ne crée pas de "trou" dans la liste des masses mesurable

Et je me demande pourquoi ça ne s’arrête pas la :p car sil n'y a pas de trou et que la plus grosse masse pesable correspond à une pesée ou on a collé toutes nos MM du même coté, cette masse maximum vaut bien la masse totale de notre jeu de MM, et on ira pas au delà!
Donc je ne vois pas ce qu'il peut y avoir de mieux que de pouvoir mesurer toutes les masses jusqu'au totale des MM fournies.

Donc il doit y avoir a priori une erreur dans tes calculs, et pas très grosse car je crois qu'un jeu de MM en puissance de 2 et masse restante permet de faire exactement la même chose smile Et ce n'est certainement pas les seules divisions permettant ceci, ça rejoint un peu ce que je disais un peu plus haut, ça nous donne de la marge pour choisir un jeu de masse plus humainement manipulable.
(ie: 1-2-5-10 par exemple fait tout de 1 à 18 et on ne fera pas mieux) Ce qui explique pourquoi les vendeurs ne font pas de puissance de 3, car minimiser le nombre de MM n'a aucun sens pour eux, c'est la masse totale de métal utilisée qui a un sens et à partir de ce moment la n'importe quel jeu qui mesure tout sans trou jusqu'au total est valide. Même que des MM de 1g ça marche :p, en dehors de la contrainte sans trou il n'y a vraiment que le critère humain.

Voila voila.

 #19 - 31-10-2011 14:33:33

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

conception de balancr

Je suis désolé mais je ne comprends pas ta réponse.
Il y a bien 2 stratégies optimales différentes suivant que le nombre de masses est fixé ou que le poids total est fixé et la différence vient du "gaspillage" de l'optimisation entre la plus grande puissance et le nombre (la masse restante).

Pour une masse totale donnée, choisir les puissances de 2 donnent plus de masses que les puissances de 3, ce qui permet d'aller plus loin, comme le montre mon calcul.

Les puissances de 2 permettent un "compactage" plus grand et donc une masse restante plus petite qu'avec des puissances de 3. Or l'apport de cette masse est "linéaire" alors qu'une puissance supplémentaire donne un apport exponentiel.

C'est pour cela qu'à masse fixé, la strétégie en puissance de 2 est meilleure: on utilise mieux la masse. Avec 4 masses 1,2,5,10: tu ne peux pas peser jusqu'à 18. Il faut 2 masses 1 pour cela (sinon 4 n'est pas faisable).  Il faut donc 1,1,2 5, 10 (ce qui est classique).

Les vendeurs n'utilisent pas les puissance de 3 parce que c'est plus difficile, tout simplement.

J'invite ceux qui sont intéressés à relire vraiment en détail. Ce n'est en effet pas simple mais pas non plus inaccessible smile

 #20 - 31-10-2011 15:02:12

scarta
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Enigmes résolues : 49
Messages : 1431

Concepion de balance

Avec 1, 2, 5 et 10 on peut mesurer 4 il me semble (1 avec l'objet à peser, 5 de l'autre côté); pareil pour 9 et 14

 #21 - 31-10-2011 15:02:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,468E+3

conception de nalance

10 d'un côté et 5 et 1 avec ce que l'on pèse, ça fait 4 non ?
Idem
10 ----1+pesée
10+5----1+pesée

le principal est juste de peser de 0 à la masse totale.

 #22 - 31-10-2011 15:40:10

Clydevil
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conception dz balance

@Rivas:
He bien moi non plus je ne comprend pas ta réponse à ma réponse,  je persiste à croire que tu t’égares ou que tu ne cherches pas à répondre au même problème que nous ! :p

Lorsqu'il y a une masse restante,  personne a dit quelle était gâchée, elle fera partie de nos masselottes.
Par conséquent le poids le plus élevé qu'on peut peser avec nos masselottes c'est lorsqu'on les met toutes du même coté de la balance Y compris la masse restante qui est une masse comme une autres, et que donc de l'autre coté l'objet qu'on pèse à un poids égal au total de nos masselottes, c'est a dire par définition à la masse total disponibles de métal dans laquelle elles ont été fondues.  ET je ne vois toujours pas comment en divisant autrement tu pourrais peser d'avantage, si on te donne 1kg de métal tu auras beau utiliser tes puissances de 2 que tu ne pourras pas peser au dela de 1Kg !

Et sinon avec 1 2 5 10 si on peut tout peser jusqu’à 18!
Ie: Pour peser 4 tu met la masse a peser d'un coté avec une masselotte de 1 et la masselotte 5 de l'autre coté.
pour 9 pareil avec 10-1 etc...

Si tu n'es toujours pas d'accord alors application numérique avec 100g tu verras que c'est totalement similaire:
-100 fois 1g,
ou
-1 3 9 27 60
ou
-1 2 4 8 16 32 37
ou
-n'importe quoi sans trou.

On fait tout les poids jusqu’à 100g puisqu'on a 100g de masselottes et qu'on  s'est assuré pas de "trou"!

Les vendeurs n'utilisent pas les puissance de 3 parce que c'est plus difficile, tout simplement.

Peut être que ce n'est pas volontaire mais ils ont raisons de proposer leur jeu usuel de masselottes vu que leur masse par jeu est fixée on fait ce qu'on veut du moment qu'il n'y a pas de trou et on pourra tout peser jusqu’à la masse total du jeu de masselottes! Ça revient au même.

 

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