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 #1 - 04-11-2011 00:55:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

A voous de payer - fin (1/10 ... 5/6)

Suite a cette énigme  et  cette énigme je vous propose une derniere dans la meme série:

2 mathematiciens (A et B) jouent au probleme suivant:
A choisit mentalement un nombre X dans l'ensembre {1,....,1000000000}.
B qui cherche à découvrir X, peut choisir un sous-ensemble E de  {1,....,1000000000} et demander si X appartient à E ou non.

Cette fois ci le premier mathematicien propose 5 options au jeu.
a) tu payes 10 si la réponse est oui, et 1 si la réponse est non,
b) 9 pour oui, et 2 pour non
c) 8 pour oui, et 3 pour non
d) 7 pour oui, et 4 pour non
e) 6 pour oui, et 5 pour non

Bien sur, comme dans les jeux précédents,  vous voulez depenser le moins
d'argent possible.
Est-ce les 5 options sont équivalentes?
Si, non, quelle option choisiriez-vous?

Quel est la somme minimale nécessaire que B doit posséder au départ pour être assuré de trouver X avec chaque option (si elles sont differentes)?

Et bien sur, donnez quelques explications.



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 #2 - 04-11-2011 01:16:17

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

A vouus de payer - fin (1/10 ... 5/6)

Très jolie variante dhrm77 smile
je vais essayer de la résoudre ( avec la contrainte du temps )
merci pour ces énigmes


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #3 - 04-11-2011 09:35:32

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

A vuos de payer - fin (1/10 ... 5/6)

Résultat minimal en fonction des options:
- 1/10: 121
- 2/9: 143
- 3/8: 157
- 4/7: 164
- 5/6: 167

Il vaut donc mieux jouer avec la première option.

Résultats trouvés avec le même algo que l'énigme précédente (je posterai peut-être quelque chose sur l'autre topic au sujet de l'algo lui même quand je l'aurai mis au propre)

 #4 - 04-11-2011 10:38:17

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

a cous de payer - fin (1/10 ... 5/6)

J'ai fait tourner mon programme de l'énigme précédente :

Code:

find_u(1000000000, 10, 1)
> 121
find_u(1000000000, 9, 2)
> 143
find_u(1000000000, 8, 3)
> 157
find_u(1000000000, 7, 4)
> 164
find_u(1000000000, 6, 5)
> 167

Il faut donc choisir 10 et 1

 #5 - 04-11-2011 10:57:30

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

A vous de payerr - fin (1/10 ... 5/6)

Bonnes réponses de Scarta et Nicouj.


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 #6 - 04-11-2011 18:29:48

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 96

A vous de payer - fin (1/110 ... 5/6)

La méthode de résolution des différents cas est la même que pour les énigmes précédentes donc je vais me contenter de donner les résultats :

a) 121
b) 143
c) 157
d) 164
e) 167

Ça peut paraître étonnant, mais on observe que moins la répartition est équilibrée, moins ça coûte cher. On peut le comprendre en comparant les rapports efficacité/coût pour les cas a) et e) quand les ensembles sont encore grands:

a) On prend une fraction x de l'ensemble.
Si la réponse est oui, on a un coût de 10 pour une réduction d'un facteur 1/x : r=log(1/x)/10
Si la réponse est non, on a un coût de 1 pour une réduction d'un facteur 1/(1-x) : r=log(1/(1-x))
On chercher à maximiser r dans le pire cas donc à que les 2 r soient équivalents :
log(1/x)/10=log(1/(1-x))
log(x)/10=log(x-1)
[TeX]\sqrt[10]{x}=x-1[/TeX][TeX]x\approx0,164921[/TeX]
[TeX]r\approx0,078272[/TeX]
Vous allez me demander pourquoi j'utilise le log, hé bien c'est parce qu'on a besoin que l'efficacité d'une réduction d'un facteur 100 soit le double de celle d'une réduction d'un facteur 10. Propriété vérifiée par le log : log(100)=2log(10)

e) On prend une fraction x de l'ensemble.
Si la réponse est oui, on a un coût de 6 pour une réduction d'un facteur 1/x : r=log(1/x)/6
Si la réponse est non, on a un coût de 5 pour une réduction d'un facteur 1/(1-x) : r=log(1/(1-x))/5
On chercher à maximiser r dans le pire cas donc à que les 2 r soient équivalents :
log(1/x)/6=log(1/(1-x))/5
log(x)/6=log(x-1)/5
[TeX]\sqrt[6]{x}=\sqrt[5]{x-1}[/TeX][TeX]x\approx0,468445[/TeX]
[TeX]r\approx0,05489[/TeX]

 #7 - 05-11-2011 00:58:55

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2988
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

A vous de payer - fin (1/10 .. 5/6)

Et bonne réponses de Nicolas.


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