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 #1 - 09-11-2011 18:54:43

maths²
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

Une grenouille doit monter un escalier de 13 amrches. mais plus compl.

Une grenouille doit monter un escalier de 13 marches. Elle ne peut monter , qu'une marche, ou deux marches, ou "3" marches, ou "4" marches, ou "5" marches, ou "6" marches, ou "7" marches, ou "8" marches, ou "9" marches, ou "10" marches, ou "11" marches, ou "12" marches, ou "13"  à la fois.

Combien de possibilités différentes a-t-elle de monter cet escalier ?



difficulté 90/100
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 #2 - 09-11-2011 19:13:31

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Un egrenouille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Là comme ça je dirai [latex]13!=6 227 020 800[/latex].
Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 09-11-2011 19:39:40

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3549

une grenouille doit monter un escalizr de 13 marches. mais plus compl.

Un certain Ramanujan associé à Hardy ont sorti uen formule à coucher dehors, un mélange hétéroclite invraisemblable. Sinon, pour 13 on arrive assez bien à s'en sortir par récurrence.

 #4 - 09-11-2011 19:51:08

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

une grebouille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

F(n) = f(n+1) + .... + f(12) +1 non ?  (n étant la marche atteinte)

f12 = 1
f11=2
f10=4
f9=8
f8=16
f7=32
f6=64
f5=128
f4=256
f3=512
f2=1024
f1=2048
f0 (du rez de chaussée) = 4096

Je dirais 4096 possibilités

 #5 - 09-11-2011 20:45:16

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3549

Unee grenouille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

C'est vrai que la formule de Ramanujan ne tient pas compte de l'ordre....

 #6 - 09-11-2011 21:36:40

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

Une grenouille doit monter un escalier dee 13 marches. mais plus compl.

Je ne connais pas cette formule... Mais il est bon ou pas mon 2^(n-1) ?

 #7 - 09-11-2011 22:27:38

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Une grenouille doit monter un escalier de 13 marchees. mais plus compl.

Pour le 2^(n-1) je ne pense pas. Si on prend 5 comme sur wiki il y a 7 partition de 5 (à moins que je n'ai pas compris la signification de ton 2^(n-1)

Sinon tu peux regarder là mais prend un efferalgan si ça ne va pas ^^
http://fr.wikipedia.org/wiki/Partition_ … Rademacher

Juste pour m'amuser en LaTeX :
[TeX]p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^{\infty}A_k(n)\sqrt{k}\frac{d}{dn}\Biggl(\frac{sinh\biggl(\frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}(n-\frac{1}{24}} \biggr) }{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\Biggr)[/TeX]
Avec [latex]A_k(n)=\sum_{0<h<k,(h,k)=1} e^{\pi*i*s(h,k)-2\pi inh/k}[/latex]
et [latex]s(h,k)[/latex] la somme de Dedekind lol


Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #8 - 09-11-2011 22:35:45

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

Une grenouille doit monter un escalie rde 13 marches. mais plus compl.

pour 5 , je tombe pourtant bien sur 16 possibilités = 2^(5-1)

11111
1112-
112-1
113--
12-11
12-2-
13--1
14---
2-111
2-12-
2-2-1
2-3--
3--11
3--2-
4---1
5----

Il y a 7 partitions différentes 11111 1112 122 113 23 14 5 mais elles ne tiennent pas compte de l'ordre...

 #9 - 09-11-2011 22:51:58

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2886
Lieu: Luxembourg

Une grennouille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Pour info, je viens de me taper le nombre suivant et pour 6, je trouve bien 32 possibilités, soit 2^(6-1), les 11 partitions de Ramanujan ne comptant en effet pas compte de l'ordre. Gwen aurait-il raison ?

 #10 - 09-11-2011 22:53:41

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Une grenouille doit monter un escalier de 13 marches. mais pplus compl.

Reste plus qu'à le démontrer pour tout [latex]n \in \mathbb{N}[/latex] ^^
Bon moi je vais me laver les dents ------------------->[] roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #11 - 09-11-2011 22:54:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

une grenouille doit monter un escaliee de 13 marches. mais plus compl.

Je vais simplifier outre mesure:

si je franchis autant de marches que je veux , je suis libre de faire ou de ne pas faire chacune des marches ou toutes...

Au bilan c'est 0 ou 1 soit du simple binaire = 2^n  (-1) pour la première (pas dernière) marche)

 #12 - 09-11-2011 23:01:55

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2886
Lieu: Luxembourg

Une grenouille doit monteer un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Ton raisonnement se tient. Ce qui est surprenant, c'est qu'en tenant compte de l'ordre possible dans les partitions de Ramanujan (dont la formule sans ordre est imbuvable), on tombe sur un bête 2^(n-1). Mais pourquoi pas ?

 #13 - 09-11-2011 23:05:23

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Une grenouille doit monter un escalier de 13 marches. mias plus compl.

Oui , poser le pied sur une marche ou pas il y a 12 pas possible ( le 13 ème est obligé ) ...

Vasimolo

 #14 - 09-11-2011 23:06:42

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

Une grenouille doit monter un escalier de 13 marchees. mais plus compl.

Et pour 6 tes combinaisons te codent les marches empruntées en binaire de 0 à 31 , non ?

 #15 - 09-11-2011 23:23:33

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Une grenouille doit moonter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Si on n'est pas trop binaire on peut aussi remarquer que tout cela revient à choisir un ensemble de marche entre la première et la douzième sur lesquelles on va poser le pied et il est bien connu que le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de n-1 éléments est [latex]2^{n-1}[/latex]

Vasimolo

 #16 - 10-11-2011 07:10:46

maths²
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2

une grenouille doit monter un escalier de 13 marches. maiq plus compl.

restez consentré sur les donné !

 #17 - 10-11-2011 10:21:23

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2886
Lieu: Luxembourg

une grenpuille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Pour 6, on a 11 partitions initiales: 111111, 11112, 1122, 1113, 222, 123, 33, 411, 42, 51, 6 qui donnent en tenant compte de l'ordre:
111111
11112-
1112-1
112-11
12-111
112-2-
12-12-
12-2-1
1113--
113--1
13--11
12-3--
13--2-
114---
14---1
15----
2-1111
2-112-
2-12-1
2-2-11
2-2-2-
2-13--
2-3--1
2-4---
3--111
3--12-
3--2-1
3--3--
4---11
4---2-
5----1
6-----
donc au final 32 possibilités (codées en binaire).
On pourrait conclure (pas de ce cas particulier, mais en généralisant) que la réponse à l'énigme est 2^12=4096 possibilités (puisqu'on doit rester concentrés sur les données big_smile).

 #18 - 10-11-2011 10:45:02

Clydevil
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 883
Lieu: Seahaven island

une grenouilme doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Hello,
Il me semble clair qu'une marche peut être "sautée" (on ne posera pas le pied dessus) ou "non sautée" (on pose le pied dessus).
Si on indique cette propriété pour chaque marche on définit clairement une seule manière de monter l'escalier.
Et à l'inverse pour une manière de monter l'escalier on peut la décrire de manière unique en donnant cette propriété pour chaque marche.
On a donc 2 états possible par marche, ce qui fait donc 2^n ou 2^(n-1) en fonction de la convention qu'on aura prise pour compter les marches.

 #19 - 10-11-2011 12:01:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2886
Lieu: Luxembourg

Une grenouille doit monter un escalier dee 13 marches. mais plus compl.

Ben ... on est tous d'accord. Qu'en dit maths² ?

 #20 - 10-11-2011 12:56:52

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Une grenouille doit monter un escalier de 13 marches. mai plus compl.

Il en dit :

maths² a écrit:

restez consentré sur les donné !

Lui-même est tellement concentré sur les données qu'il en oublie les règles élémentaires de la langue de Lagaf. Euh, de Molière, pardon.

Ce que j'en pense, c'est que cette énigme n'est pas de lui, et qu'il ne connait pas la réponse. Ce "difficulté 90%" m'intrigue quelque peu...


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #21 - 10-11-2011 14:57:46

esereth
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 175

une grenouille doit monter un escalier de 13 marches. maos plus compl.

Tout à fait d'accord avec Mathias, d'autant que la démonstration de Vasimolo est aussi concise qu'imparable.

 #22 - 10-11-2011 18:42:55

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3549

nUe grenouille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

esereth a écrit:

Tout à fait d'accord avec Mathias, d'autant que la démonstration de Vasimolo est aussi concise qu'imparable.

Oui c'est net et précis: Si on fait un code binaire à 12 chiffres binaires, chacun des nombres possibles correspond à une combinaison pour l'escalade de la grenouille.

 #23 - 10-11-2011 21:13:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2886
Lieu: Luxembourg

Une grenouille doit monter un eescalier de 13 marches. mais plus compl.

Effectivement, la démonstration de Vasimolo est l'exemple même du déclic mathématique à la Martin Gardner. Une autre solution aurait sans doute été de se lancer dans de lourds calculs de dénombrements avec l'appui de récurrences, pour finir par trouver (si on ne se plante pas dans les calculs) une grosse formule (qui devrait se simplifier en 2^n). C'est pour moi un des charmes des mathématiques: il y a les solutions lourdes (comme je sais les pondre big_smile) et les solutions déclic (de Vasimolo et d'autres auteurs smile). Bravo et merci à tous pour ces agréables moments.

 #24 - 10-11-2011 22:21:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,814E+3

Une grenouille doit monter un ecsalier de 13 marches. mais plus compl.

Mais que fait-on de la logique et de l'arithmétique dans l'enseignement dit "moderne" ?

 #25 - 10-11-2011 22:59:43

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

une gtenouille doit monter un escalier de 13 marches. mais plus compl.

Je ne sais pas si c'est l'enseignement ou si c'est l'époque qui veut ça ( je penche pour la deuxième solution ) . Incités par l'informatique et autres outils , on fait tout à toute vitesse et on oublie de chercher le squelette ou l'âme d'un problème . Pourquoi se fatiguer si la solution est à portée de clic ?

Vasimolo

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