1/ Alors le camion met 9/72eme d'heure pour faire le trajet AB, durée pendant laquelle la mouche aura parcouru 216 * 9 / 72 soit 27km
A ce sujet, on raconte du mathématicien Von Neumann qu'après lui avoir posé un problème similaire, il dit au bout de quelques secondes: "C'est evident" et donna la bonne réponse. Lorsqu'on lui demanda comment il avait fait, il répondit :"J'ai juste calculé la somme d'une série" 
Pour le 2/ d'ailleurs, je ne vois pas d'astuce de calcul, donc je crois bien qu'il faudra passer par là.
Alors: Edit: j'ai refait les calculs en m/s au lieu de km/h, c'est plus clair
On va d'abord supposer que l'epaisseur de la mouche est négligeable.
On va aussi supposer que quand la mouche rebondit sur le camion, celà lui prend une seconde pendant laquelle le camion avance et "pousse" la mouche, sur une distance qu'il faudra ajouter à la distance parcourue par la mouche (sinon c'est pas marrant ^^, et puis il n'est précisé nulle part qu'il s'agit de la distance totale parcourue par la mouche de son plein gré...)
La mouche est contre le mur, prête à partir, elle a déjà fait n aller-retours, le camion est à une distance [latex]D_n[/latex] du mur. La vitesse de la mouche est de 60m/s, le camion 20m/s, les distances sont en m et les temps en s
On notera [latex]d_i(D_n)[/latex] la distance parcourue par la mouche à l'étape i en fonction de la distance initiale et [latex]d'_i(D_n)[/latex] celle du camion.
Etape 1/ La mouche va vers le camion
Vitesse de la mouche vers le camion: 60+20 = 80m/s
Distance à parcourir: [latex]D_n[/latex]
Temps de l'étape: [latex]\frac{D_n}{80}[/latex]
Donc: [latex]d_1(D_n) = \frac{60.D_n}{80} = \frac{3.D_n}{4}[/latex]
et: [latex]d'_1(D_n) = \frac{20.D_n}{80} = \frac{D_n}{4}[/latex]
Etape 2/ La mouche rebondit, poussée par le camion
Temps de l'étape: 1s
Vitesse de la mouche et du camion: 20m/s
Donc: [latex]d_2(D_n) = 20[/latex]
et: [latex]d'_2(D_n) = 20[/latex]
Etape 3/ La mouche repart vers le mur
Vitesse de la mouche vers le mur: 60m/s
Vitesse du camion vers le mur: 20m/s
Distance à parcourir: c'est la distance parcourue par la mouche à l'aller, moins les 20m de l'étape 2: [latex]\frac{3.D_n}{4} - 20[/latex]
Temps de l'étape: [latex]\frac{\frac{3.D_n}{4} - 20}{60} = \frac{D_n}{80} - \frac{1}{3}[/latex]
Donc: [latex]d_3(D_n) = \frac{3.D_n}{4} - 20[/latex]
et: [latex]d'_3(D_n) = 20.(\frac{D_n}{80} - \frac{1}{3}) = \frac{D_n}{4} - \frac{20}{3}[/latex]
Etape 4/ La mouche rebondit sur le mur
Temps de l'étape: 1s
Vitesse de la mouche: 0m/s
Vitesse du camion: 20m/s
Donc: [latex]d_'(D_n) = 0[/latex]
et: [latex]d'_4(D_n) = 20[/latex]
Total après un aller retour:
[TeX]d(D_n) = \frac{3.D_n}{4} + 20 + \frac{3.D_n}{4} - 20 + 0 = \frac{3.D_n}{2}[/TeX]
et: [latex]d'(D_n) = \frac{D_n}{4} + 20 + \frac{D_n}{4} - \frac{20}{3} + 20 = \frac{D_n}{2} + \frac{100}{3}[/latex]
On a alors [latex]D_{n+1} = D_n - (\frac{D_n}{2} + \frac{100}{3}) = \frac{D_n}{2} - \frac{100}{3}[/latex]
On va chercher le terme général de la suite D. Pour celà on pose la suite V telle que:
[TeX]V_n = D_n + \frac{200}{3}[/TeX]
On a: [latex]V_{n+1} = D_{n+1} + \frac{200}{3} = \frac{D_n}{2} - \frac{100}{3} + \frac{200}{3} = \frac{D_n}{2} + \frac{100}{3} = \frac{V_n}{2}[/latex]
V est une suite géométrique, on a donc:
[TeX]V_n = \frac{V_0}{2^n}[/TeX]
et [latex]D_n = V_n - \frac{200}{3} = \frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3}[/latex]
On va combien d'aller-retour fera la mouche Pour celà on cherche la valeur maximale de n pour laquelle D est positive
[TeX]\frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3} = 0\\\frac{V_0}{2^n} = \frac{200}{3}\\\frac{3.V_0}{2^n} = 200\\\frac{3.D_0}{200} + 1 = 2^n\\ln(\frac{3.D_0}{200} + 1) = n.ln(2)\\n = log_2(\frac{3.D_0}{200} + 1)[/TeX]
Application numérique: n=7.08..., on ne comptera donc pas ce qu'il se passe après n=7, vu que la mouche sera déjà ecrasée.
On cherche donc la somme [latex]\sum_{n=0}^7d(D_n)[/latex]
[TeX]\sum_{n=0}^7d(D_n) \\= \sum_{n=0}^7\frac{3.D_n}{2} \\= \frac{3}{2}.\sum_{n=0}^7D_n \\= \frac{3}{2}.\sum_{n=0}^7(\frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3}) \\= \frac{3}{2}.(-\frac{1600}{3} + \sum_{n=0}^7\frac{V_0}{2^n}) \\= -800 + \frac{3.V_0}{2}.\sum_{n=0}^7\frac{1}{2^n} \\= -800 + \frac{3.V_0}{2}.\sum_{n=0}^7\frac{2^{7-n}}{2^7} \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.\sum_{n=0}^72^{7-n} \\[/TeX]
Petit changement de variable, n -> 7-n
[TeX]= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.\sum_{n=0}^72^n \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.(2^8-1) \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.(2^8-1) \\= 255.\frac{3.D_0 + 200}{256} - 800 \\= \frac{105175}{4}[/TeX]
On trouve donc: 105175/4, soit 26293,75m
Ouf!
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