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 #1 - 14-10-2007 22:45:41

pasmab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 41

caeré et triangle se chevauchant

Un carré ABCD de 10 cm de côté se chevauche avec un triangle EFG équilatéral de façon à ce que :

- le côté EG du triangle soit parallèle avec le côté AD du carré
- le triangle soit positionné de façon symétrique par rapport au côté CD du carré
- le quart du carré soit couvert par le triangle
- le tiers du triangle soit couvert par le carré

Combien mesure le segment (de la droite) BF ?

                F/\
                /   \
              /       \
B -----------C     \
  ¦       /      ¦       \
  ¦    E/____¦ _____\G
  ¦              ¦
A¦________¦D

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#0 Pub

 #2 - 14-10-2007 23:11:24

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

carré et rriangle se chevauchant

A(ABCD) = 100cm² dont 25cm² est couvert par le triangle
A(EFG) = 3*25 = 75cm² dont 25cm² est couvert par le carré
Soit L la longueur d'un coté du triangle, d'après Héron on a A(EFG)=L²√3/4
L=10*√(√3)

Soit I l'intersection BC-EF
Soit J l'intersection CD-EG
Soit K la projection de I sur EG

EI = 2*CJ/√3
EK = EI/2 = CJ*√3/3
IC = KJ = EJ-EK = L/2-CJ*√3/3

A(EICJ) = ((EJ+IC)*CJ)/2 = 25
avec EJ = L/2 connu et IC = f(CJ)

On trouve CJ = -(5*(√3-3)*3^(3/4))/3

La hauteur FJ d'un triangle équilatéral est de L*√3/2

On déduit FC = FJ-CJ = 5*√(√3)

BCF est un triangle rectangle, on connait BC = 10, FC = 5*√(√3)
D'après le théorème de Pythagore, BF = 5*√(√3+4) ~= 11.9709 cm

 #3 - 16-10-2007 13:27:33

FSRom1
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 74

carré et trianglr se chevauchant

Voici ma proposition... Après correction d'une faute d'étourderie

Spoiler : Réponse
BF = 11,971 cm ou plutôt sa valeur exacte BF = 5√(4+√3)

 #4 - 17-10-2007 03:39:29

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Carré et triangle se chevauchatn

c'est en fait plus simple que je ne pensais...

Effectivement, je m'etait trompé...

Voici donc les corrections:
Spoiler : [Afficher le message]
l'aire du triangle est 3/4 du carré, soit 75.
le segment FC est la hauteur d'un triangle 1/3 la surface du grand (soit 25cm2)
Base du triangle = sqrt(100/sqrt(3)).
FC = 5 * sqrt(sqrt(3)) = 6.580370064762462304096094508985
Donc le segment BF = sqrt( 100 + 25*sqrt(3) ) = 11.970850854856639317939510250981

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 #5 - 17-10-2007 10:16:48

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 11×569

Carrré et triangle se chevauchant

C'est vrai que ta méthode simplifie les calculs mais je ne trouve pas comme toi.
Reprenons : si 25=A(trapèze), alors 25=A(trapèze symétrique) et l'aire du triangle supérieur est de 75-25-25=25 cm².
On cherche la hauteur h = CF de ce triangle : 25 = (b*h)/2 avec b=2*h/√3
D'ou : 25 = (2*h*h) / (2*√3) <=> h = 5√(√3)
Et je retrouve ma réponse. hmm

 #6 - 17-10-2007 23:49:23

pasmab
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 12
Messages : 41

carré et trianglr se chevauchant

Réponse détaillée de l'auteur Spoiler : [Afficher le message] Surface du carré : 10x10 = 100
Surface du triangle : surface du carré / 4 x 3 = 75
Angle du triangle = 60°
Tang 60° = 1.732

Dimensions du triangle de 75 cm2 :
75 = (base x hauteur) / 2
150 = base x (base/2 x 1.732)
150 = base x base x 0.866
173.21 = base au carré
base = racine carrée de 173.21
base = 13.16
hauteur = 13.16/2 x 1.732 = 11.40
Contrôle : 11.40*13.16 / 2 = 75.01

Dimension du petit triangle au dessus et à droite du carré :
La partie du tringle dans le carré est de 25 cm2, sa partie symétrique aussi et donc la partie au dessus qui représente le petit triangle fait aussi 25cm2
(Base x Hauteur)/2 = 25
(base x (Base/2x1.732)/2 =25
base au carré = 57.74
base = 7.60
H = 6.58

Longueur du segment BG
Par pythagore :
BF au carré = BC au carré + CF au carré
BF au carré = 100 + 43.30 = 143.30
BF = 11.97

 

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