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 #1 - 02-03-2008 23:32:31

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

une mouche et un xamion

Une énigme classique, mais que j'aime bien.wink

Les points A et B (un mur) sont distants de 9 kms.

Un camion roule d'un point A au point B à la vitesse de constante de 72 km/h.
Une mouche, qui part du point B vole à la vitesse constante de 216 km/h.
(C'est rapide pour une mouche, mais plausible.)

Dès qu'elle touche le camion, la mouche fait demi-tour jusqu'à son point de départ (le point B), repart vers le camion et ainsi de suite.

Questions:


1°) Quelle distance la mouche a-t-elle parcouru avant d'être écrasée sur le mur?

2°)Variante LaTex

Notre mouche est protégée par du Latex.
Il lui en coûte  une seconde à chaque choc pour faire demi-tour.

Quelle distance la mouche a-t-elle parcouru avant d'être écrasée sur le mur?

Spoiler :  Précisions
Pour la deuxième, elle avance à la vitesse du camion pendant la seconde où elle le cogne et n'avance pas pendant la seconde où elle cogne le mur.
Tous les calculs de distance sont entiers.
Le résultat est un nombre entier de mètres.


Evidemment OK pour la 1 pour tout le monde.



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 #2 - 03-03-2008 01:20:18

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

une mouche et ub camion

On suppose que le camion et le mouche partent en meme temps et que le camion s'ecrase volontairement sur le mur dans le but de tuer cette mouche infame.
Pour la premiere version la solution est assez simple (est bien connue):
Spoiler : [Afficher le message]
Comme ils partent en meme temps et s'arretent en meme temps. la mouche voyage 216/72 fois 9Km = 27Km.

Pour la 2eme c'est moins simple...
Je suppose que pendant la seconde ou elle rebondit sur le camion, elle voyage aussi a la vitesse du camion...Correct?
Dans ce cas, je dirais:
Spoiler : [Afficher le message]
La mouche voyage 26.153746Km mais elle ne vole que 26.150621 et est transportée par le camion pendant 3.125m.
Elle rebondit 7 fois sur le camion et 7 fois sur le mur.
Et elle est ecrasée pendant son 8eme rebondisement sur le camion (apres 0.15625 seconde apres avoir touché le camion pour la 8eme fois)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 03-03-2008 01:28:03

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

Un mouche et un camion

1/ Alors le camion met 9/72eme d'heure pour faire le trajet AB, durée pendant laquelle la mouche aura parcouru 216 * 9 / 72 soit 27km

A ce sujet, on raconte du mathématicien Von Neumann qu'après lui avoir posé un problème similaire, il dit au bout de quelques secondes: "C'est evident" et donna la bonne réponse. Lorsqu'on lui demanda comment il avait fait, il répondit :"J'ai juste calculé la somme d'une série" smile

Pour le 2/ d'ailleurs, je ne vois pas d'astuce de calcul, donc je crois bien qu'il faudra passer par là.
Alors: Edit: j'ai refait les calculs en m/s au lieu de km/h, c'est plus clair
On va d'abord supposer que l'epaisseur de la mouche est négligeable.
On va aussi supposer que quand la mouche rebondit sur le camion, celà lui prend une seconde pendant laquelle le camion avance et "pousse" la mouche, sur une distance qu'il faudra ajouter à la distance parcourue par la mouche (sinon c'est pas marrant ^^, et puis il n'est précisé nulle part qu'il s'agit de la distance totale parcourue par la mouche de son plein gré...)

La mouche est contre le mur, prête à partir, elle a déjà fait n aller-retours, le camion est à une distance [latex]D_n[/latex] du mur. La vitesse de la mouche est de 60m/s, le camion 20m/s, les distances sont en m et les temps en s

On notera [latex]d_i(D_n)[/latex] la distance parcourue par la mouche à l'étape i en fonction de la distance initiale et [latex]d'_i(D_n)[/latex] celle du camion.


Etape 1/ La mouche va vers le camion
Vitesse de la mouche vers le camion: 60+20 = 80m/s
Distance à parcourir: [latex]D_n[/latex]
Temps de l'étape: [latex]\frac{D_n}{80}[/latex]
Donc: [latex]d_1(D_n) = \frac{60.D_n}{80} = \frac{3.D_n}{4}[/latex]
et: [latex]d'_1(D_n) = \frac{20.D_n}{80} = \frac{D_n}{4}[/latex]

Etape 2/ La mouche rebondit, poussée par le camion
Temps de l'étape: 1s
Vitesse de la mouche et du camion: 20m/s
Donc: [latex]d_2(D_n) = 20[/latex]
et: [latex]d'_2(D_n) = 20[/latex]

Etape 3/ La mouche repart vers le mur
Vitesse de la mouche vers le mur: 60m/s
Vitesse du camion vers le mur: 20m/s
Distance à parcourir: c'est la distance parcourue par la mouche à l'aller, moins les 20m de l'étape 2: [latex]\frac{3.D_n}{4} - 20[/latex]
Temps de l'étape: [latex]\frac{\frac{3.D_n}{4} - 20}{60} = \frac{D_n}{80} - \frac{1}{3}[/latex]
Donc: [latex]d_3(D_n) = \frac{3.D_n}{4} - 20[/latex]
et: [latex]d'_3(D_n) = 20.(\frac{D_n}{80} - \frac{1}{3}) = \frac{D_n}{4} - \frac{20}{3}[/latex]

Etape 4/ La mouche rebondit sur le mur
Temps de l'étape: 1s
Vitesse de la mouche: 0m/s
Vitesse du camion: 20m/s
Donc: [latex]d_'(D_n) = 0[/latex]
et: [latex]d'_4(D_n) = 20[/latex]

Total après un aller retour:
[TeX]d(D_n) = \frac{3.D_n}{4} + 20 + \frac{3.D_n}{4} - 20 + 0 = \frac{3.D_n}{2}[/TeX]
et: [latex]d'(D_n) = \frac{D_n}{4} + 20 + \frac{D_n}{4} - \frac{20}{3} + 20 = \frac{D_n}{2} + \frac{100}{3}[/latex]
On a alors [latex]D_{n+1} = D_n - (\frac{D_n}{2} + \frac{100}{3}) = \frac{D_n}{2} - \frac{100}{3}[/latex]

On va chercher le terme général de la suite D. Pour celà on pose la suite V telle que:
[TeX]V_n = D_n + \frac{200}{3}[/TeX]
On a: [latex]V_{n+1} = D_{n+1} + \frac{200}{3} = \frac{D_n}{2} - \frac{100}{3} + \frac{200}{3} = \frac{D_n}{2} + \frac{100}{3} = \frac{V_n}{2}[/latex]
V est une suite géométrique, on a donc:
[TeX]V_n = \frac{V_0}{2^n}[/TeX]
et [latex]D_n = V_n - \frac{200}{3} = \frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3}[/latex]

On va combien d'aller-retour fera la mouche Pour celà on cherche la valeur maximale de n pour laquelle D est positive
[TeX]\frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3} = 0\\\frac{V_0}{2^n} = \frac{200}{3}\\\frac{3.V_0}{2^n} = 200\\\frac{3.D_0}{200} + 1 = 2^n\\ln(\frac{3.D_0}{200} + 1) = n.ln(2)\\n = log_2(\frac{3.D_0}{200} + 1)[/TeX]
Application numérique: n=7.08..., on ne comptera donc pas ce qu'il se passe après n=7, vu que la mouche sera déjà ecrasée.
On cherche donc la somme [latex]\sum_{n=0}^7d(D_n)[/latex]
[TeX]\sum_{n=0}^7d(D_n) \\= \sum_{n=0}^7\frac{3.D_n}{2} \\= \frac{3}{2}.\sum_{n=0}^7D_n \\= \frac{3}{2}.\sum_{n=0}^7(\frac{V_0}{2^n} - \frac{200}{3}) \\= \frac{3}{2}.(-\frac{1600}{3} + \sum_{n=0}^7\frac{V_0}{2^n}) \\= -800 + \frac{3.V_0}{2}.\sum_{n=0}^7\frac{1}{2^n} \\= -800 + \frac{3.V_0}{2}.\sum_{n=0}^7\frac{2^{7-n}}{2^7} \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.\sum_{n=0}^72^{7-n} \\[/TeX]
Petit changement de variable, n -> 7-n
[TeX]= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.\sum_{n=0}^72^n \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.(2^8-1) \\= -800 + \frac{3.V_0}{2^8}.(2^8-1) \\= 255.\frac{3.D_0 + 200}{256} - 800 \\= \frac{105175}{4}[/TeX]
On trouve donc: 105175/4, soit 26293,75m

Ouf!

 #4 - 03-03-2008 18:58:11

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1434

une mouche et un camoon

papiauche a écrit:

Le résultat est un nombre entier de mètres.

Hum...
J'ai revu mes calculs de A à Z sans trouver d'erreur.
J'ai fait une modélisation informatique du problème en prenant un pas temporel suffisamment petit (100 nano-secondes) pour que l'on puisse avoir un résultat approximatif mais relativement fiable: je trouve 26293.747868669456 mètres par ordinateur, et mon calcul donne quant à lui 26293.75 mètres

Conclusion: si le résultat est effectivement un nombre entier de mètres, ma modélisation doit être fausse.

 #5 - 03-03-2008 19:34:59

EfCeBa
Administrateur
Enigmes résolues : ∞+1
Messages : 22×32×173

une mouche et un camiin

Pour la première, 27km, je crois qu'une énigme au principe identique est déjà passée d'ailleurs.

Pour la seconde :

Soit D = AB = 9km.

Etape 1 : La mouche se déplace en direction du camion à Vm = 216 km/h, le camion qui va a Vc = 72km/h dans l'autre sens a parcouru une distance D1 à l'impact, tel que : (D-D1)/Vm=D1/Vc <=> D1 = (D×Vc)/(Vc+Vm) (D1 = 2.25 km)
* Pendant cette étape, la mouche a parcourue D-D1 km (= 6750m) et le camion D1 (= 2250m)

Etape 2 : La mouche est poussée par le camion elle va a une vitesse Vc pendant 1 sec, elle parcourt donc : Vc/3600 = 20 mètres.
* Pendant cette étape, la mouche a parcourue Vc/3600 (= 20m) et le camion autant.

Etape 3 : La mouche se déplace en direction du mur a une vitesse Vm, le camion qui va à la vitesse Vc dans l'autre sens a parcouru une distance supplémentaire D2 à l'impact (pendant cette étape), tel que : (D-D1-Vc/3600)/Vm=D2/Vc <=> D2 = (D-D1-Vc/3600)Vc/Vm
* Pendant cette étape, la mouche a parcourue D-D1 - Vc/3600 (=6730m) et le camion D2 = 673/0.3 m = 2243+1/3 m

Etape 4 : La mouche reste 1 seconde sur le mur, la camion parcours 20m pendant ce temps.
* Pendant cette étape, la mouche a parcourue 0 m.

Sur la première itération, la mouche a parcouru :
D-D1+Vc/3600+D-D1-Vc/3600 = 2(D-D1) = 2[D-(D×Vc)/(Vc+Vm)]
= 13500 m
Alors que le camion a parcouru : (D×Vc)/(Vc+Vm)+2*Vc/3600+(D-(D×Vc)/(Vc+Vm)-Vc/3600)Vc/Vm
= 68000/15 m = 4533+1/3 m

Maintenant faut que je trouve le temps de faire l'itération 2 roll

Edit : c'est la même chose en remplaçant D par D-68/15
Sur la seconde itération, la mouche a parcouru : 6700 m
Alors que le camion a parcouru : 34000/15 m = 2266 + 2/3 m

On remplace D par D-34/15
Sur la troisième itération, la mouche a parcouru : 3300 m
Alors que le camion a parcouru : 17000/15 m = 1133 + 1/3 m

On remplace D par D-17/15
Sur la quatrième itération, la mouche a parcouru : 1600 m
Alors que le camion a parcouru : 17000/30 m = 566 + 2/3 m

On remplace D par D-17/30
Sur la cinquième itération, la mouche a parcouru : 750 m
Alors que le camion a parcouru : 17000/60 m = 283 + 1/3 m

On remplace D par D-17/60
Sur la sixième itération, la mouche a parcouru : 325 m
Alors que le camion a parcouru : 17000/120 m = 141 + 2/3 m

On remplace D par D-17/120
Sur la septième itération, la mouche a parcouru : 112.5 m
Alors que le camion a parcouru : 17000/240 m = 70.5 + 1/3 m

Il reste alors 3.5+2/3 m à parcourir pour le camion... suspense...
On remplace D par D-17/240
La mouche parcourt D-D1 = D-(D×Vc)/(Vc+Vm) = 3.125 m, percute le camion qui a avancé de 0.375+2/3 m une dernière fois et la mouche reste sur le camion jusqu'à se faire écraser (la mouche parcours une dernière fois les 3.125 m).

Au final la mouche a parcouru 3.125+3.125+112.5+325+750+1600+3300+6700+13500 = 26293.75 m

C'est mon dernier mot, même si ce n'est pas la bonne réponse... ca doit pas être loin !

 #6 - 06-03-2008 00:06:48

papiauche
Sa Sainteté
Enigmes résolues : 49
Messages : 2126

Un mouche et un camion

Au départ, je ne pensais faire trop calculatoire:

Le temps de trajet est certain : 450 secondes.
On établit sans trop de difficultés (encore que...) que la mouche fait 7 allers et retours avant d'être écrasée.
Donc 7 secondes contre le mur D=0 m,
7 secondes poussée par le camion D= 7*20= 140 m
436 secondes à vitesse de mouche: 436*60= 26 160m
Total 26 300 m.

Mais Scarta puis EfCeBa (tels Zorro) sont arrivés et ont établi que dans la fraction de seconde précédant son agonie, la mouche infâme était poussée par le camion et sur une distance de 3,125m. Pour ce laps de temps, j'avais compté à tort une vitesse de mouche donc  2*3,125= 6,25 m de trop.
Au final, la bonne réponse se révèle sans conteste être 26300-6,25= 26293,75m.

Peut-être un calcul plus habile des proportions de départ aurait-il permis de concilier les deux approches en limitant des calculs trop fastidieux. 
En tous cas, bravo!


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde
 

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