Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 03-12-2011 23:35:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtteau 47

Il est passé aux trapèzes et malgré tous ses efforts mon pâtissier ne parvient pas à composer un gâteau donnant des parts latérales globalement plus grosses que les parts nord-sud .

http://img542.imageshack.us/img542/2286/trapze.jpg

Bref peut-il trouver un trapèze tel que l'aire blanche soit supérieure à l'aire jaune ?

Comme toujours , il ne s'agît pas de sortir l'artillerie lourde mais de chercher une approche originale smile

Bon courage !

Vasimolo



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 04-12-2011 08:46:31

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteauu 47

Le déficit de blanc est un trapèze identique au trapèze original mais de proportion plus petite dans un rapport proportionnel au rapport grande base/petite base.
Je n'ai pas encore quantifié ce rapport...

On trace une parallèle aux bases qui passe par l'intersection des diagonales et une autre qui passe par le milieu de la hauteur, et une 3ème qui est la symétrique de la 1ère par rapport à la seconde (donc bien 3 parallèles aux bases)
On trace par ailleurs un rectangle grande base/ hauteur du trapèze.
Le déficit de blanc est la portion de ce rectangle comprise entre les 1eres et 3èmes parallèles auquel on ôte la partie comprise dans le trapèze. Cette partie résiduelle est un trapèze identique à l'original mais en modèle réduit.

Si d est le décalage de l'intersection des diagonales par rapport à la mi hauteur du trapèze, et B et b les grande et petite base, la surface de ce trapèze vaut sauf erreur:
S=d(B-b).

Comme d=(h/2)(B-b)/(B+b)
alors S vaut h(B-b)²/(2B+2b).

J'ajouterai que le rapport entre le déficit de la surface blanche et la surface du trapèze est le carré du rapport entre la différence B-b sur la somme B+b.
Autrement dit, le petit trapèze déficit est le modèle réduit de l'original dans le proportion (B-b)/(B+b).

 #3 - 04-12-2011 11:50:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gteau 47

Oui Nodgim smile

Vasimolo

 #4 - 04-12-2011 20:40:06

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Gâteaau 47

On peut prouver que non, temps que les faces qui sont paralleles sont horizontales, les triangles jaunes sont superieurs ou egaux aux triangles blancs.Mais je n'ai pas le temps de chercher une preuve.
(Ils sont egaux dans le cas d'un rectangle)


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #5 - 04-12-2011 22:53:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtzau 47

@Dan : Un parallélogramme suffira smile

Vasimolo

 #6 - 05-12-2011 15:25:10

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâteaau 47

Bonjour,
Soient a et b les bases supérieure et inférieure du trapèze
Soient h1 et h2 les hauteurs des triangles inférieur et supérieur
On aura: S1=ah1/2, S2=bh2/2 et St=(a+b)(h1+h2)/4
On veut que: S1+S2<St soit 2ah1+2bh2<ah1+ah2+bh1+bh2
ou encore a(h1-h2)<b(h1-h2) avec 2 possibilités:
soit h1<h2 ce qui donne a>b, soit h1>h2 ce qui donne a<b
Or h1<h2 (resp. h1>h2) est équivalent à a<b (resp. a>b)
Comme a ne peut pas être à la fois <b et >b, on en déduit que
l'aire blanche est toujours inférieure ou égale à l'aire jaune
L'égalité des aires n'est obtenue que pour un parallélogramme (a=b)
Bonne journée.
Frank
Remarque: ma solution est HS car un peu artillerie lourde quand même

 #7 - 05-12-2011 17:43:18

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 47

Oui Frank c'est un peu la même idée que celle de Nodgim . C'est aussi celle que j'ai eu dans un premier temps .

J'ai trouvé une preuve du genre "sans un mot et sans calcul" .

Vasimolo

 #8 - 05-12-2011 18:17:52

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

hâteau 47

Par pliage j'imagine, selon une parallèle aux bases et passant par l'intersection ?
C'est en effet immédiat!

 #9 - 05-12-2011 18:44:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,468E+3

Gâtea 47

En prenant des paraléllogrammes dans lesquels l'aire blanche = l'aire jaune, il reste à comparer A et B.
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau47.JPG
B-A est clairement positif donc l'aire jaune sera toujours plus grande.

 #10 - 05-12-2011 19:09:44

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Gâtea 47

Pfff, avec ce gâteau 47, tu me poses un lapin big_smile big_smile

Comme toujours , il ne s'agît pas de sortir l'artillerie lourde mais de chercher une approche originale

Raaah mince alors, ce n'est donc pas pour le lapin http://www.world-tchat.be/html/uploads/thumbs/119.gif

Soit dit en passant, j'admire beaucoup les raccourcis de certaines précédentes solutions matheuses de certains, aussi expéditives que rusées.
Bon, par contre, j'M moins quand c'est si concis que cela en devient inaccessible à ma paire de neurones léporidesques lol

 #11 - 05-12-2011 20:10:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâreau 47

@Nodgim : je ne comprends pas ton pliage !!!
@gwen : pas mal , ce n'est pas loin de ce que j'ai fait smile

Allez TiLapiot , on creuse lol

Vasimolo

 #12 - 05-12-2011 22:14:50

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâtaeu 47

Re-bonjour,
Voici un nouveau raisonnement "sans calcul" et presque "sans mot" big_smile. D'abord, je remarque que faire "glisser" la base supérieure du trapèze par rapport à la base inférieure ne change rien aux surfaces. Je place donc ces bases de façon à ce les diagonales soient perpendiculaires. Puis, je plie mon trapèze suivant une des diagonales et je m'apercois alors que ce qui reste de surface jaune sera toujours supérieur à ce qui reste de surface blanche. Il en est de même avec les surfaces de départ.
Bonne soirée.
Frank

 #13 - 05-12-2011 23:11:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâtrau 47

Oui Frank ça marche aussi smile

C'est amusant de voir le nombre d'approches différentes pour un exercice aussi élémentaire , surtout si on refuse le calcul . C'est ce qui fait la beauté de la géométrie .

Vasimolo

 #14 - 06-12-2011 17:21:50

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gââteau 47

Oublie ce pliage, c'est n'importe quoi...

 #15 - 06-12-2011 22:46:45

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 47

Voilà la solution que j'avais trouvée , j'espère qu'elle peut se passer de commentaire .

http://img97.imageshack.us/img97/3718/solutionpf.jpg

J'ai tendance à préférer celles de Gwen et Frank , sans doute parce que je n'y avais pas pensé .

Merci pour la participation smile

Vasimolo

 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez à la devinette suivante : 

Le père de toto a trois fils : Riri, Fifi et ?

Sujets similaires

Sujet Date Forum
P2T
Gâteau 77 par Vasimolo
01-05-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 73 par Vasimolo
27-02-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 81 par Vasimolo
12-10-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 82 par Vasimolo
24-10-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 126 par Vasimolo
01-09-2016 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 48 par Vasimolo
09-12-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 114 par Vasimolo
15-12-2015 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 80 par Vasimolo
02-07-2014 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 35 par Vasimolo
12-02-2011 Enigmes Mathématiques
P2T
Gâteau 109 par Vasimolo
25-10-2015 Enigmes Mathématiques

Mots clés des moteurs de recherche

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete