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 #1 - 10-07-2015 00:24:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1001

Bonsoir à tous

Mon pâtissier a reconnu avoir un peu bâclé son 100ème gâteau et pour se faire pardonner il m'a offert une gigantesque pâte de fruits constituée de 100 blocs carrés avec 50 parfums ( chacun étant présent exactement deux fois ) .

Il a accolé les blocs au hasard smile

Quelle est la probabilité que je puisse récupérer tous les parfums en ne prélevant qu'une part entre deux carrés parfumés à l'identique ?

Une illustration où c'est possible avec 10 blocs :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau101.png

Amusez-vous bien lol

Vasimolo



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 #2 - 10-07-2015 10:50:25

enigmatus
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Messages : 400

gâtrau 101

Bonjour,
En passant en revue tous les cas possibles, je trouve une probabilité de 1 pour N=2, et de 2/3 pour N=4,6,8,10.
Je ne sais pas l'expliquer.

 #3 - 10-07-2015 16:53:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâteay 101

C'est la bonne réponse Enigmatus smile

Un résultat aussi élémentaire doit pouvoir se justifier simplement lol

Vasimolo

 #4 - 11-07-2015 23:12:50

kossi_tg
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âGteau 101

Pour N parfums différents et donc 2*N blocs carrés, la probabilité cherchée est de 1/N.

Dans le cas présent, N=50 (100 blocs carrés) donc la probabilité cherchée est 1/50=0.02

Entrain de chercher une démo assez simple smile

 #5 - 12-07-2015 12:28:02

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteua 101

Non Kossi , la probabilité est bien plus grande smile

Je précise que si la disposition des blocs est faite au hasard , j'ai toute liberté pour le choix de la couleur définissant ma part ( désignée par le mot coupe sur le dessin ) .

Une question très bête , si on a en plus le choix entre la partie centrale ou les chutes gauches et droites réunies ( en gardant les blocs de la couleur choisie ) : quelle est la probabilité de récupérer au moins un bloc de chaque couleur ?

Vasimolo

 #6 - 13-07-2015 07:53:49

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 400

gâyeau 101

Pour la "question très bête" en #5, en s'imposant de choisir uniquement la partie gauche, je trouve (au moins pour N=2,4,6,8,10,12) une probabilité de 100 % d'avoir au moins un bloc de chaque couleur (idem en choisissant la partie droite).

 #7 - 13-07-2015 09:15:41

Franky1103
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Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Gâteau 1101

Expérimentalement avec un tableur je trouvais aussi 2/3, mais j'étais également incapable de l'expliquer (avec en sus un doute sur ce résultat): à partir de 10, ça commence à être fastidieux. Et j'ai pensé à une récurrence (démo non finalisée).

 #8 - 13-07-2015 11:58:54

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâtrau 101

La réponse au problème initial est bien 2/3 pour un nombre quelconque de paires de parts .

Il y a une démonstration assez simple et non calculatoire que je vous laisse chercher encore un petit peu .

Pour la variante c'est encore plus bête smile

On imagine que le gâteau se referme pour former un cercle :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-circulaire101.png

Et on choisit deux parts ( en noir sur le premier cercle ) pour que l'arc bleu contienne le maximum de parfums différents . Si par hasard un parfum manquait à l'arc bleu , il existerait deux points du même parfum ( rouge ) dans l'arc vert et il suffirait de prolonger l'arc bleu jusqu'à ces deux points pour contredire la définition de l'arc bleu . Donc l'arc bleu contient tous les parfums . Il reste à redévelopper le gâteau et selon que la cassure se situe dans la partie verte ou bleue , la partie centrale ou la partie gauche+droite va contenir l'ensemble des parfums .

Merci aux participants .

Vasimolo

 #9 - 15-07-2015 06:50:04

enigmatus
Professionnel de Prise2Tete
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fâteau 101

Il semble que l'on puisse réussir à tous les coups si l'on s'impose de prendre la portion de gauche.

Je choisis 2 parts de couleurs identiques, et je me positionne sur celle de gauche :
- soit toutes les couleurs apparaissent parmi la part choisie et celles qui sont à sa gauche, et c'est bon.
- soit il existe, à droite de la part choisie, une paire de parts d'une couleur non encore représentée. Je me positionne alors sur celle de gauche.

Et je recommence le raisonnement.

Il va sans dire que le résultat est le même si l'on s'impose de prendre la portion de droite.

 #10 - 15-07-2015 08:26:32

Vasimolo
Le pâtissier
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fâteau 101

Il me semble qu'avec un gâteau de type JBJBRR on ne puisse pas récupérer tous les parfums en prenant une part à gauche ou au centre , non ?

Vasimolo

 #11 - 15-07-2015 09:10:05

enigmatus
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Gteau 101

Vasimolo #10 a écrit:

Il me semble qu'avec un gâteau de type JBJBRR on ne puisse pas récupérer tous les parfums en prenant une part à gauche ou au centre , non ?

Si on choisit R (JBJBRR) :
Gauche = JBJBR => C'est bon
Centre = RR
Droite = R

Si on choisit J (JBJBRR) :
Gauche = J
Centre = JBJ
Droite = JBRR => C'est bon

 #12 - 15-07-2015 10:32:39

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteeau 101

D'accord , je n'avais pas vu ça comme ça smile

En fait la stratégie à adopter si on décide de conserver la partie gauche est de choisir la paire dont l'élément à gauche est le plus à droite possible et ça fonctionne de façon évidente .

Reste le problème initial smile

Vasimolo

 #13 - 15-07-2015 18:53:17

nodgim
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Gâteau 1101

On part par exemple de l'extrême gauche:
A........A........est NOK
On recherche à l'intérieur de l'intervalle AA s'il existe un autre couple(tjs à partir de la gauche)
A...B.....B....A......
On recherche à l'intérieur de l'intervalle BB si un autre couple existe, et si oui, on continue jusqu'à refus.
Soit KK ce couple. Si Z est la couleur à l'extrême droite, le triplet ordonné KKZ a 2 solutions gagnantes et une solution perdante.

Si A.....A....est OK, alors AAZ (couleur extrême droite) est ce triplet.

 #14 - 15-07-2015 19:06:05

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteai 101

Qui est Z ?

Vasimolo

 #15 - 15-07-2015 19:39:44

nodgim
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Gâteau 110

Les lettres sont les couleurs. Z est, comme écrit, à l'extrême droite.

 #16 - 15-07-2015 19:55:31

nodgim
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Gâtaeu 101

Bon, ça reste à peaufiner pour les config avec plusieurs intervalles gagnants: il faut trouver des triplets indépendants.

 #17 - 16-07-2015 00:05:45

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteu 101

Je te laisse continuer sur cette voie , j'étais parti du centre mais à chacun son feeling smile

Vasimolo

 #18 - 17-07-2015 07:04:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
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gâtezu 101

On recherche le 1er couple A dont la 2ème couleur (à partir de la G) est la plus proche de la gauche. On fait pareil à partir de la droite (couple B). Les 2 configs possibles sont:
(...A1......A2....B2....B1..) ou (..A1.......B2....A2.....B1...)
de sorte qu'il n'y a pas de couple entre un bord et A ou B le plus proche.

On recherche s'il existe un couple C qui enjambe A et B. S'il y en a plusieurs, on choisit pour C le plus enjambant (CD........DC), mais s'ils sont imbriqués (CD.........CD), le choix importe peu, on peut arbitrairement prendre pour C le couple le plus à G.

On définit maintenant un triplet ordonné formé d'un couple et d'un isolé. Les 3 permutations possibles donneront 2 solutions gagnantes et 1 solution perdante.
-Si C n'existe pas: (A1A2B1)
-Si C existe: C1C2B1.

Ainsi, toutes les configurations possibles sont classées en 3 groupes distincts dont 2 contiennent ttes les solutions gagnantes et l'autre ttes les solutions perdantes. Il y a donc 2/3 de solutions gagnantes.

 #19 - 17-07-2015 10:31:23

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 11

On recherche le 1er couple A dont la 2ème couleur (à partir de la G) est la plus proche de la gauche. On fait pareil à partir de la droite (couple B). Les 2 configs possibles sont:
(...A1......A2....B2....B1..) ou (..A1.......B2....A2.....B1...)
de sorte qu'il n'y a pas de couple entre un bord et A ou B le plus proche.

On recherche s'il existe un couple C qui enjambe A et B. S'il y en a plusieurs, on choisit pour C le plus enjambant (CD........DC), mais s'ils sont imbriqués (CD.........CD), le choix importe peu, on peut arbitrairement prendre pour C le couple le plus à G.

Jusqu'ici ça va smile

On définit maintenant un triplet ordonné formé d'un couple et d'un isolé. Les 3 permutations possibles donneront 2 solutions gagnantes et 1 solution perdante.
-Si C n'existe pas: (A1A2B1)
-Si C existe: C1C2B1.

Ainsi, toutes les configurations possibles sont classées en 3 groupes distincts dont 2 contiennent ttes les solutions gagnantes et l'autre ttes les solutions perdantes. Il y a donc 2/3 de solutions gagnantes.

La je ne comprends plus sad

Vasimolo

 #20 - 19-07-2015 10:51:15

Vasimolo
Le pâtissier
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gâtzau 101

Peu de réactions , je donne ma solution avant de l’oublier smile

L’idée est de numéroter les parts en deux couleurs en partant du centre . La première part à gauche du milieu est numérotée 1 et sa jumelle 1 . Il y a ensuite deux cas de figures selon que 1 est à droite ou à gauche de la flèche . Dans le premier cas on choisit la première part non numérotée immédiatement à gauche de la flèche et dans le deuxième cas on choisira la première part non numérotée à droite . Dans les deux cas on attribuera le numéro 2 à cette part et le numéro 2 à sa sœur jumelle . On continue comme ça en essayant de conserver un équilibre relatif entre les parts numérotées à gauche et à droite en choisissant préférentiellement la gauche en cas d’équilibre . On arrête la machine lorsqu’il ne reste que quatre parts non numérotées a , b , c , d ( de gauche à droite ) . Là encore deux cas de figures : a est seul à gauche ou bien il est accompagné de b .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Solution1011.png

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Solution1012.png

Il est important de remarquer qu’à aucun moment nous n’avons utilisé le parfum des cases a , b , c , d qui peuvent donc prendre équiprobablement deux à deux les deux parfums restants . Il faut aussi noter qu’entre a et c , il y a toutes les parts numérotées en rouge . Après c’est facile car si la jumelle de a est b c’est raté sinon entre a et sa jumelle il y a tous les numéros rouges plus b ayant le parfum manquant : le compte est bon smile

Merci aux participants smile

Vasimolo

 

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