Bonjour,
En passant en revue tous les cas possibles, je trouve une probabilité de 1 pour N=2, et de 2/3 pour N=4,6,8,10.
Je ne sais pas l'expliquer.

Pour N parfums différents et donc 2*N blocs carrés, la probabilité cherchée est de 1/N.

Dans le cas présent, N=50 (100 blocs carrés) donc la probabilité cherchée est 1/50=0.02

Entrain de chercher une démo assez simple

Pour la "question très bête" en #5, en s'imposant de choisir uniquement la partie gauche, je trouve (au moins pour N=2,4,6,8,10,12) une probabilité de 100 % d'avoir au moins un bloc de chaque couleur (idem en choisissant la partie droite).

La réponse au problème initial est bien 2/3 pour un nombre quelconque de paires de parts .

Il y a une démonstration assez simple et non calculatoire que je vous laisse chercher encore un petit peu .

Pour la variante c'est encore plus bête

On imagine que le gâteau se referme pour former un cercle :



Et on choisit deux parts ( en noir sur le premier cercle ) pour que l'arc bleu contienne le maximum de parfums différents . Si par hasard un parfum manquait à l'arc bleu , il existerait deux points du même parfum ( rouge ) dans l'arc vert et il suffirait de prolonger l'arc bleu jusqu'à ces deux points pour contredire la définition de l'arc bleu . Donc l'arc bleu contient tous les parfums . Il reste à redévelopper le gâteau et selon que la cassure se situe dans la partie verte ou bleue , la partie centrale ou la partie gauche+droite va contenir l'ensemble des parfums .

Merci aux participants .

Vasimolo

Il me semble qu'avec un gâteau de type JBJBRR on ne puisse pas récupérer tous les parfums en prenant une part à gauche ou au centre , non ?

Vasimolo

D'accord , je n'avais pas vu ça comme ça

En fait la stratégie à adopter si on décide de conserver la partie gauche est de choisir la paire dont l'élément à gauche est le plus à droite possible et ça fonctionne de façon évidente .

Reste le problème initial

Vasimolo

Qui est Z ?

Vasimolo

Bon, ça reste à peaufiner pour les config avec plusieurs intervalles gagnants: il faut trouver des triplets indépendants.

On recherche le 1er couple A dont la 2ème couleur (à partir de la G) est la plus proche de la gauche. On fait pareil à partir de la droite (couple B). Les 2 configs possibles sont:
(...A1......A2....B2....B1..) ou (..A1.......B2....A2.....B1...)
de sorte qu'il n'y a pas de couple entre un bord et A ou B le plus proche.

On recherche s'il existe un couple C qui enjambe A et B. S'il y en a plusieurs, on choisit pour C le plus enjambant (CD........DC), mais s'ils sont imbriqués (CD.........CD), le choix importe peu, on peut arbitrairement prendre pour C le couple le plus à G.

On définit maintenant un triplet ordonné formé d'un couple et d'un isolé. Les 3 permutations possibles donneront 2 solutions gagnantes et 1 solution perdante.
-Si C n'existe pas: (A1A2B1)
-Si C existe: C1C2B1.

Ainsi, toutes les configurations possibles sont classées en 3 groupes distincts dont 2 contiennent ttes les solutions gagnantes et l'autre ttes les solutions perdantes. Il y a donc 2/3 de solutions gagnantes.

Peu de réactions , je donne ma solution avant de l’oublier

L’idée est de numéroter les parts en deux couleurs en partant du centre . La première part à gauche du milieu est numérotée 1 et sa jumelle 1 . Il y a ensuite deux cas de figures selon que 1 est à droite ou à gauche de la flèche . Dans le premier cas on choisit la première part non numérotée immédiatement à gauche de la flèche et dans le deuxième cas on choisira la première part non numérotée à droite . Dans les deux cas on attribuera le numéro 2 à cette part et le numéro 2 à sa sœur jumelle . On continue comme ça en essayant de conserver un équilibre relatif entre les parts numérotées à gauche et à droite en choisissant préférentiellement la gauche en cas d’équilibre . On arrête la machine lorsqu’il ne reste que quatre parts non numérotées a , b , c , d ( de gauche à droite ) . Là encore deux cas de figures : a est seul à gauche ou bien il est accompagné de b .





Il est important de remarquer qu’à aucun moment nous n’avons utilisé le parfum des cases a , b , c , d qui peuvent donc prendre équiprobablement deux à deux les deux parfums restants . Il faut aussi noter qu’entre a et c , il y a toutes les parts numérotées en rouge . Après c’est facile car si la jumelle de a est b c’est raté sinon entre a et sa jumelle il y a tous les numéros rouges plus b ayant le parfum manquant : le compte est bon

Merci aux participants

Vasimolo