|
#1 - 07-02-2016 12:50:41
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
#2 - 07-02-2016 14:19:40
- dhrm77
- L'exilé
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3004
- Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali
gâreau 120
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#3 - 07-02-2016 15:54:37
- Ebichu
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 888
gâtezu 120
Soit c le côté du carré, on a donc m.n = c² feuilles dans le carré.
On pose c = Π pi, où les pi sont des nombres premiers (pas forcément distincts), et on pose m = Π pi^ai avec 0 <= ai <=2 : on a donc n = Π pi^(2-ai).
On peut découper le carré en n rectangles identiques de m feuilles, en prenant :
a = Π {i tel que ai=1 ou 2} pi
pour la longueur de chaque rectangle, et
b = Π {i tel que ai=2} pi
pour la largeur de chaque rectangle. En effet, a.b = m, et de plus, a et b divisent c.
#4 - 07-02-2016 17:32:01
- Franky1103
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3222
- Lieu: Luxembourg
Gâeau 120
A vrai dire, je n'ai pas bien compris cette énigme. Les parts ne peuvent-elles pas être rectangulaires ? Dans ce cas, cela fonctionne avec tout diviseur de 144 = 12².
#5 - 07-02-2016 17:45:39
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
GGâteau 120
@Dan : peut-être ben que oui , peut-être ben que non : il faut argumenter . @Ebichu : je crois qu'il y a un bug dans la définition de a et b ou j'ai raté quelque chose @Franky : les parts peuvent être rectangulaires mais pas nécessairement .
Vasimolo
#6 - 07-02-2016 18:24:39
- Ebichu
- Expert de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 888
Gâtteau 120
Je vais donner un exemple pour expliciter la définition. Si c=60=2.2.3.5, il y a 3600 feuilles dans le carré.
Si on a m=72=2^2.2^1.3^2.5^0, alors n=50=2^0.2^1.3^0.5^2.
2^1.2^1.3^1.5^1 = Π pi = c
2^2.2^1.3^2.5^0 = Π pi^ai = m 2^0.2^1.3^0.5^2 = Π pi^(2-ai) = n
On fabrique alors des rectangles de longueur a=2.2.3(.1)=12, et de largeur b=2(.1).3(.1)=6. C'est-à-dire que "a" est le produit des nombres premiers à une puissance non nulle dans m, et "b" le produit des nombres premiers à une puissance 2 dans m.
#7 - 07-02-2016 19:42:51
- dhrm77
- L'exilé
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 3004
- Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali
hâteau 120
Oui par ce que je ne trouve pas de contre-exemple.
Mais voici une demonstration: Divisons le probleme en 2 cas. 1) le coté du carré initial est un nombre premier 'p' (3, 5, 7, etc...). Dans ce cas, la seule facon de diviser le gateau est de 'p' groupes de 'p' carrés. (n=p et m=p). On divise simplement en rectangles paralleles. Donc il est aussi possible de d'inverser n et m, et on trouve la meme chose.
2) le coté du carré est un nombre composé (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15), que l'on factorise a*b. Donc la surface est a^2 * b^2. on peut toujours diviser: - en b^2 petits carrés de taille a^2 dont la solution inverse est la suivante - en a^2 petits carrés de taille b^2 dont la solution inverse est la précedente - en a*b petits rectangles de taille a*b (dont la solution inverse est elle-meme)
Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt
#8 - 07-02-2016 20:29:32
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 6,004E+3
Gâteau 20
En séparant verticalement ou horizontalement, je peux obtenir en rectangles chaque décomposition en facteurs premiers de L^2. Je ne vois pas où est la difficulté.
n . ( m x ) en est une , même si on donne une forme bizarre aux x formes. m . (n x ) en est une autre...
#9 - 08-02-2016 11:43:03
- portugal
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 22
- Messages : 382
Gââteau 120
Soit un découpage (m,n) d'un carré de coté x mn=x^2
Il existe trivialement a,b,c,d positifs tels que x=ab=cd m=ac n=bd
On peut donc diviser le carré en n rectangles de dimension (a,c) ce qui répond au problème.
#10 - 08-02-2016 11:46:07
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
Gâetau 120
@Ebichu : d'accord , plutôt malin @Dan : je ne comprends pas @Gwen : beaucoup d'affirmations . Un carré de côté 10 est-il pavable avec des rectangles 1X4 ?
Vasimolo
#11 - 08-02-2016 11:50:26
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 6,004E+3
âteau 120
Non, ce n'est pas ce que j'ai dit : 10*10 = 2*5*2*5 je peux donc le découper en 2*2.
Tout pavage proposable est convertible en rectangles sur le même principe.
#12 - 08-02-2016 12:30:53
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
gâtrau 120
@Portugal : tu en es sûr ? @Gwen : rien n'est plus facile que de démolir un contre-exemple avec une méthode qui n'est pas exposée
Vasimolo
#13 - 08-02-2016 12:40:43
- portugal
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 22
- Messages : 382
GGâteau 120
Vu la manière dont le sujet etait posé la conclusion me semblait étonnante. Ton dernier message ne me conforte pas
Ma méthode est tellement "simpliste" qu'il ne devrait pas être trop dur de trouver mon erreur...Est ce dans l'existence des a,b,c,d ou dans la conclusion ?
Dans le cas de ton exemple (2*6) * (4*3 ) = 12*12 On peut bien décomposer le carré en : - 8 (2 en colonne, 4 en lignes ) rectangles de dimensions (6,3) - 18 (6 en colonne, 3 en lignes ) rectangles de dimensions (2,4)
PS : si ma méthode n'est pas claire, peut tu juste me dire si il est faux que l'on peut toujours faire un découpage rectangulaire quand un nombre de figure de découpe est atteignable ?
#14 - 08-02-2016 13:01:10
- gwen27
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 6,004E+3
Gâteeau 120
Je te l'ai exposée, mais ça semble se passer de démonstration :
Un carré de dimension a x b x c x d x e x f.... etc peut être découpé en parts dont les tailles sont uniquement des diviseurs de (abcdef)(abcdef).
Si tu veux des parts de taille abdf x ab , je découpe en (ce) parts sur un côté et (cdef )parts de l'autre.
Un découpage est donc toujours possible avec des rectangles, pas obligatoirement dans toutes les dimensions pour une taille voulue, c'est tout.
(abcdef)(abcdef).
#15 - 09-02-2016 08:14:44
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
Gâeau 120
@Gwen : d'accord , bravo @Portugal : oui c'est l'idée .
Vasimolo
#16 - 09-02-2016 11:30:44
- portugal
- Professionnel de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 22
- Messages : 382
gâtezu 120
cad ? La solution du message 9 est elle juste ou fausse ?
#17 - 10-02-2016 08:10:58
- nodgim
- Elite de Prise2Tete
- Enigmes résolues : 0
- Messages : 3802
Gteau 120
Salut Vasimolo,
Un carré à cotés entiers, c'est un produit de facteurs premiers tous présents à une puissance paire. Pouvoir découper m fois une figure d'aire n, c'est extraire un diviseur de ce carré. Or un diviseur peut toujours se mettre sous forme d'un rectangle: il suffit de mettre dans la longueur les facteurs premiers élevés à la partie entière supérieure de la moitié de la puissance, et en largeur les facteurs premiers élevés à la partie entière inférieure de la moitié de la puissance. Par exemple, si 2^5 est un diviseur de l'aire de la figure, on mettra 2^3 dans la longueur et 2² dans la largeur. Ce rectangle est bien entendu inscriptible dans le carré.
Exemple carré: 2^4 * 3^4 * 5^6. et figure : 2^3 * 3 * 5²
Longueur du rectangle: 2² * 3 * 5 Largeur: .....................2 * .......5 Inscription dans le carré: On multiplie la largeur par 2*3 pour obtenir un carré de coté 2²*3*5. Il ne reste plus qu'à compléter pour former le grand carré: multiplication largeur et longueur par les facteurs premiers manquants soit 5²*3.
Donc la réponse à la question est oui.
NB Si un rectangle contient dans sa longueur un facteur premier élevé à plus de la moitié entière+ 1 de la puissance disponible dans le carré, ce rectangle ne pourra pas s'inscrire dans le carré.
Ex: rectangle L=2² et l=1 dans un carré de (2*5)²
#18 - 10-02-2016 10:29:02
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
Gâteeau 120
@Portugal : c'est ça , disons qu'on peut expliciter la construction de a,b,c,d . @Nogim : c'est bon .
Vasimolo
#19 - 14-02-2016 11:23:12
- Vasimolo
- Le pâtissier
- Enigmes résolues : 49
- Messages : 5,426E+3
Gââteau 120
Merci et bravo aux participants
L'idée que chacun a eu est qu'on peut associer a tout découpage en p parts d'aire a un découpage en p rectangles d'aire a et donc en a rectangles d'aire p .
Pour ceux que ça intéresse l'existence d'un pavage d'un rectangle mXn en rectangles aXb est donné par le théorème de Bruijn-Klarner .
Le pavage est possible si et seulement si :
La longueur et la largeur du rectangle peuvent être couverts .
Un des côtés du rectangle est divisible par a et un des côtés est divisible par b .
Vasimolo
|
|