Enigmes

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 #1 - 07-02-2016 12:50:41

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 1200

Mon pâtissier m'a carrément posé une colle sad

Il m'a montré un gâteau carré nappé de carrés de pâte d'amande ( comme un échiquier ) . Il sait découper ce gâteau en m parts identiques de n feuilles . Est-il assuré de pouvoir découper ce même gâteau en n parts identiques de m feuilles ?

Un exemple avec 8 parts de 18 feuilles et son pendant avec 18 parts de 8 feuilles .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-Gateau120.png

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 07-02-2016 14:19:40

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Gâteaau 120

oui.


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 #3 - 07-02-2016 15:54:37

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

gâteay 120

Soit c le côté du carré, on a donc m.n = c² feuilles dans le carré.

On pose c = Π pi, où les pi sont des nombres premiers (pas forcément distincts), et on pose m = Π pi^ai avec 0 <= ai <=2 : on a donc n = Π pi^(2-ai).

On peut découper le carré en n rectangles identiques de m feuilles, en prenant :

a = Π {i tel que ai=1 ou 2} pi

pour la longueur de chaque rectangle, et

b = Π {i tel que ai=2} pi

pour la largeur de chaque rectangle. En effet, a.b = m, et de plus, a et b divisent c.

 #4 - 07-02-2016 17:32:01

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Gâteaau 120

A vrai dire, je n'ai pas bien compris cette énigme. Les parts ne peuvent-elles pas être rectangulaires ? Dans ce cas, cela fonctionne avec tout diviseur de 144 = 12².

 #5 - 07-02-2016 17:45:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gteau 120

@Dan : peut-être ben que oui , peut-être ben que non : il faut argumenter .
@Ebichu : je crois qu'il y a un bug dans la définition de a et b ou j'ai raté quelque chose smile
@Franky : les parts peuvent être rectangulaires mais pas nécessairement .

Vasimolo

 #6 - 07-02-2016 18:24:39

Ebichu
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 303

Gâtteau 120

Je vais donner un exemple pour expliciter la définition. Si c=60=2.2.3.5, il y a 3600 feuilles dans le carré.

Si on a m=72=2^2.2^1.3^2.5^0, alors n=50=2^0.2^1.3^0.5^2.

2^1.2^1.3^1.5^1 = Π pi = c

2^2.2^1.3^2.5^0 = Π pi^ai = m
2^0.2^1.3^0.5^2 = Π pi^(2-ai) = n

On fabrique alors des rectangles de longueur a=2.2.3(.1)=12, et de largeur b=2(.1).3(.1)=6. C'est-à-dire que "a" est le produit des nombres premiers à une puissance non nulle dans m, et "b" le produit des nombres premiers à une puissance 2 dans m.

 #7 - 07-02-2016 19:42:51

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

GGâteau 120

Oui par ce que je ne trouve pas de contre-exemple.

Mais voici une demonstration:
Divisons le probleme en 2 cas.
1) le coté du carré initial est un nombre premier 'p' (3, 5, 7, etc...). Dans ce cas, la seule facon de diviser le gateau est de 'p' groupes de 'p' carrés. (n=p et m=p). On divise simplement en rectangles paralleles.  Donc il est aussi possible de d'inverser n et m, et on trouve la meme chose.

2) le coté du carré est un nombre composé (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15), que l'on factorise a*b. Donc la surface est a^2 * b^2. on peut toujours diviser:
- en b^2 petits carrés de taille a^2 dont la solution inverse est la suivante
- en a^2 petits carrés de taille b^2 dont la solution inverse est la précedente
- en a*b petits rectangles de taille a*b (dont la solution inverse est elle-meme)


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 #8 - 07-02-2016 20:29:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

âteau 120

En séparant verticalement ou horizontalement, je peux obtenir en rectangles chaque décomposition en facteurs premiers de L^2. Je ne vois pas où est la difficulté.

n . ( m x ) en est une , même si on donne une forme bizarre aux x formes.
m . (n x ) en est une autre...

 #9 - 08-02-2016 11:43:03

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâteua 120

Soit un découpage (m,n) d'un carré de coté x
  mn=x^2

Il existe trivialement a,b,c,d positifs tels que
  x=ab=cd  m=ac  n=bd

On peut donc diviser le carré en n rectangles de dimension (a,c) ce qui répond au problème.

 #10 - 08-02-2016 11:46:07

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

gâreau 120

@Ebichu : d'accord , plutôt malin smile
@Dan : je ne comprends pas sad
@Gwen : beaucoup d'affirmations . Un carré de côté 10 est-il pavable avec des  rectangles 1X4 ?

Vasimolo

 #11 - 08-02-2016 11:50:26

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,470E+3

Gâteau 102

Non, ce n'est pas ce que j'ai dit : 10*10 = 2*5*2*5 je peux donc le découper en 2*2.

Tout pavage proposable est convertible en rectangles sur le même principe.

 #12 - 08-02-2016 12:30:53

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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gâtezu 120

@Portugal : tu en es sûr ?
@Gwen : rien n'est plus facile que de démolir un contre-exemple avec une méthode qui n'est pas exposée smile

Vasimolo

 #13 - 08-02-2016 12:40:43

portugal
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 374

Gâteau 20

Vu la manière dont le sujet etait posé la conclusion me semblait étonnante. Ton dernier message ne me conforte pas lol

Ma méthode est tellement "simpliste" qu'il ne devrait pas être trop dur de trouver mon erreur...Est ce dans l'existence des a,b,c,d ou dans la conclusion ?

Dans le cas de ton exemple
(2*6) * (4*3 ) = 12*12
On peut bien décomposer le carré en :
- 8  (2 en colonne, 4 en lignes ) rectangles de dimensions (6,3) 
- 18 (6 en colonne, 3 en lignes ) rectangles de dimensions (2,4)

PS : si ma méthode n'est pas claire, peut tu juste me dire si il est faux que l'on peut toujours faire un découpage rectangulaire quand un nombre de figure de découpe est atteignable ?

 #14 - 08-02-2016 13:01:10

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Gâteau 10

Je te l'ai exposée, mais ça semble se passer de démonstration :

Un carré de dimension a x b x c x d x e x f.... etc peut être découpé en parts dont les tailles sont uniquement des diviseurs de (abcdef)(abcdef).

Si tu veux des parts de taille abdf x ab ,
je découpe en (ce) parts sur un côté  et (cdef )parts de l'autre.

Un découpage est donc toujours possible avec des rectangles, pas obligatoirement dans toutes les dimensions pour une taille voulue, c'est tout.

(abcdef)(abcdef).

 #15 - 09-02-2016 08:14:44

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtea 120

@Gwen : d'accord , bravo smile
@Portugal : oui c'est l'idée .

Vasimolo

 #16 - 09-02-2016 11:30:44

portugal
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Messages : 374

gâteai 120

cad ? La solution du message  9 est elle juste ou fausse ?

 #17 - 10-02-2016 08:10:58

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 102

Salut Vasimolo,

Un carré à cotés entiers, c'est un produit de facteurs premiers tous présents à une puissance paire. Pouvoir découper m fois une figure d'aire n, c'est extraire un diviseur de ce carré.  Or un diviseur peut toujours se mettre sous forme d'un rectangle: il suffit de mettre dans la longueur les facteurs premiers élevés à la partie entière supérieure de la moitié de la puissance, et en largeur les facteurs premiers élevés à la partie entière inférieure de la moitié de la puissance. Par exemple, si 2^5 est un diviseur de l'aire de la figure, on mettra 2^3 dans la longueur et 2² dans la largeur. Ce rectangle est bien entendu inscriptible dans le carré.

Exemple carré: 2^4 * 3^4 * 5^6.
et figure : 2^3 * 3 * 5²

Longueur du rectangle: 2² * 3 * 5
Largeur: .....................2 * .......5 
Inscription dans le carré:
On multiplie la largeur par 2*3 pour obtenir un carré de coté 2²*3*5.
Il ne reste plus qu'à compléter pour former le grand carré: multiplication largeur et longueur par les facteurs premiers manquants soit 5²*3.

Donc la réponse à la question est oui.

NB
Si un rectangle contient dans sa longueur un facteur premier élevé à plus de la moitié entière+ 1 de la puissance disponible dans le carré, ce rectangle ne pourra pas s'inscrire dans le carré.

Ex: rectangle L=2² et l=1 dans un carré de (2*5)²

 #18 - 10-02-2016 10:29:02

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 4733

Gâteeau 120

@Portugal : c'est ça , disons qu'on peut expliciter la construction de a,b,c,d .
@Nogim : c'est bon .

Vasimolo

 #19 - 14-02-2016 11:23:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea u120

Merci et bravo aux participants smile

L'idée que chacun a eu est qu'on peut associer a tout découpage en p parts d'aire a un découpage en p rectangles d'aire a et donc en a rectangles d'aire p .

Pour ceux que ça intéresse l'existence d'un pavage d'un rectangle mXn en rectangles aXb est donné par le théorème de Bruijn-Klarner .

Le pavage est possible si et seulement si :

La longueur et la largeur du rectangle peuvent être couverts .

Un des côtés du rectangle est divisible par a et un des côtés est divisible par b .

Vasimolo

 

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