Soit c le côté du carré, on a donc m.n = c² feuilles dans le carré.

On pose c = Π pi, où les pi sont des nombres premiers (pas forcément distincts), et on pose m = Π pi^ai avec 0 <= ai <=2 : on a donc n = Π pi^(2-ai).

On peut découper le carré en n rectangles identiques de m feuilles, en prenant :

a = Π {i tel que ai=1 ou 2} pi

pour la longueur de chaque rectangle, et

b = Π {i tel que ai=2} pi

pour la largeur de chaque rectangle. En effet, a.b = m, et de plus, a et b divisent c.

@Dan : peut-être ben que oui , peut-être ben que non : il faut argumenter .
@Ebichu : je crois qu'il y a un bug dans la définition de a et b ou j'ai raté quelque chose
@Franky : les parts peuvent être rectangulaires mais pas nécessairement .

Vasimolo

Oui par ce que je ne trouve pas de contre-exemple.

Mais voici une demonstration:
Divisons le probleme en 2 cas.
1) le coté du carré initial est un nombre premier 'p' (3, 5, 7, etc...). Dans ce cas, la seule facon de diviser le gateau est de 'p' groupes de 'p' carrés. (n=p et m=p). On divise simplement en rectangles paralleles.  Donc il est aussi possible de d'inverser n et m, et on trouve la meme chose.

2) le coté du carré est un nombre composé (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15), que l'on factorise a*b. Donc la surface est a^2 * b^2. on peut toujours diviser:
- en b^2 petits carrés de taille a^2 dont la solution inverse est la suivante
- en a^2 petits carrés de taille b^2 dont la solution inverse est la précedente
- en a*b petits rectangles de taille a*b (dont la solution inverse est elle-meme)

Soit un découpage (m,n) d'un carré de coté x
  mn=x^2

Il existe trivialement a,b,c,d positifs tels que
  x=ab=cd  m=ac  n=bd

On peut donc diviser le carré en n rectangles de dimension (a,c) ce qui répond au problème.

Non, ce n'est pas ce que j'ai dit : 10*10 = 2*5*2*5 je peux donc le découper en 2*2.

Tout pavage proposable est convertible en rectangles sur le même principe.

Vu la manière dont le sujet etait posé la conclusion me semblait étonnante. Ton dernier message ne me conforte pas

Ma méthode est tellement "simpliste" qu'il ne devrait pas être trop dur de trouver mon erreur...Est ce dans l'existence des a,b,c,d ou dans la conclusion ?

Dans le cas de ton exemple
(2*6) * (4*3 ) = 12*12
On peut bien décomposer le carré en :
- 8  (2 en colonne, 4 en lignes ) rectangles de dimensions (6,3) 
- 18 (6 en colonne, 3 en lignes ) rectangles de dimensions (2,4)

PS : si ma méthode n'est pas claire, peut tu juste me dire si il est faux que l'on peut toujours faire un découpage rectangulaire quand un nombre de figure de découpe est atteignable ?

@Gwen : d'accord , bravo
@Portugal : oui c'est l'idée .

Vasimolo

Salut Vasimolo,

Un carré à cotés entiers, c'est un produit de facteurs premiers tous présents à une puissance paire. Pouvoir découper m fois une figure d'aire n, c'est extraire un diviseur de ce carré.  Or un diviseur peut toujours se mettre sous forme d'un rectangle: il suffit de mettre dans la longueur les facteurs premiers élevés à la partie entière supérieure de la moitié de la puissance, et en largeur les facteurs premiers élevés à la partie entière inférieure de la moitié de la puissance. Par exemple, si 2^5 est un diviseur de l'aire de la figure, on mettra 2^3 dans la longueur et 2² dans la largeur. Ce rectangle est bien entendu inscriptible dans le carré.

Exemple carré: 2^4 * 3^4 * 5^6.
et figure : 2^3 * 3 * 5²

Longueur du rectangle: 2² * 3 * 5
Largeur: .....................2 * .......5 
Inscription dans le carré:
On multiplie la largeur par 2*3 pour obtenir un carré de coté 2²*3*5.
Il ne reste plus qu'à compléter pour former le grand carré: multiplication largeur et longueur par les facteurs premiers manquants soit 5²*3.

Donc la réponse à la question est oui.

NB
Si un rectangle contient dans sa longueur un facteur premier élevé à plus de la moitié entière+ 1 de la puissance disponible dans le carré, ce rectangle ne pourra pas s'inscrire dans le carré.

Ex: rectangle L=2² et l=1 dans un carré de (2*5)²

Merci et bravo aux participants

L'idée que chacun a eu est qu'on peut associer a tout découpage en p parts d'aire a un découpage en p rectangles d'aire a et donc en a rectangles d'aire p .

Pour ceux que ça intéresse l'existence d'un pavage d'un rectangle mXn en rectangles aXb est donné par le théorème de Bruijn-Klarner .

Le pavage est possible si et seulement si :

La longueur et la largeur du rectangle peuvent être couverts .

Un des côtés du rectangle est divisible par a et un des côtés est divisible par b .

Vasimolo