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 #1 - 05-12-2011 18:40:06

nodgim
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Arithmétiue Neuroticide...

Peut on toujours trouver parmi les multiples d'un nombre donné un nombre dont tous les chiffres voisins ont une parité alternée ?
j'ai bien deviné que c'était impossible pour les multiples de 20, et il semblerait que ce soit tjs possible pour les autres cas.....



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 #2 - 06-12-2011 08:48:55

scarta
Elite de Prise2Tete
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Arithméitque Neuroticide...

Ca ressemble à un des problèmes de ce mois ci de diophante smile
Ceci dit j'ai trouvé pareil que toi ^^

 #3 - 06-12-2011 10:48:51

masab
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rithmétique Neuroticide...

Je n'ai pas trouvé de contre-exemple !
Par contre avec le nombre n=100001, il faut beaucoup de patience pour trouver un multiple qui convienne...

Supposons qu'un nombre n soit divisible par 20.
Alors il est divisible par 4 et par 5 donc le nombre formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4 et 5, donc par 20. Par suite ce nombre est
20, 40, 60, 80, 00
Il est donc composé de 2 chiffres pairs.
Donc les multiples de 20 ne conviennent jamais.

 #4 - 06-12-2011 13:51:11

godisdead
Expert de Prise2Tete
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Arithmétique Neuuroticide...

Je crois que je n'ai pas compris la question.
Si je prends les multiples de 100, c'est pas gagné non plus smile

 #5 - 06-12-2011 13:51:48

halloduda
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Arithmétiqu Neuroticide...

Tiré du problème du mois de ce site.
http://www.diophante.fr/problemes-du-mo … dequilibre
Il est correct de citer la source.

 #6 - 06-12-2011 17:14:12

nodgim
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Arithmétique Neurotiide...

Oui j'aurais dû le citer, j'espère que Mr Diophante ne m'en voudra pas.
Si l'intuition semble partagée, le plus difficile reste à faire avec la preuve...

Pour Godistead: le 100 est inclus dans les multiples de 20.

 #7 - 07-12-2011 09:04:13

scarta
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Arithmétique Neurtoicide...

J'ai une démo qui montre que tout nombre premier avec 10 admet un tel multiple; et d'autre part j'ai aussi démontré que si toute puissance de 2 et toute puissance de 5 admet un tel multiple, alors c'est le cas de tout nombre.
Ca restreint un peu, sans être forcément plus simple...

 #8 - 07-12-2011 17:29:47

nodgim
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Arithmétique Neuroticide....

D'un autre coté, si ton nombre n'est pas premier avec 10, il s'écrit donc avec au moins 1 zéro. Si 1 seul zéro, alors il a les mêmes multiples si on le divise par 10, au zéro final près donc.

Moi j'ai seulement trouvé que c'est vrai pour les nb premiers. Comme ici la recherche est commune, je présente la démarche:

Soit le nombre 989898.....qu'on divise par notre nombre premier P. Soit au bout d'un moment on tombe sur un reste nul: c'est fini. Sinon, tous les nombres compris entre 1 et P-1 sortiront comme reste. Quand on aura un reste composé seulement de nombres pairs, alors il suffit d'ôter chiffre à chiffre à ...98989..la différence pour avoir un reste nul, et donc on aura trouvé un multiple avec chiffres à parité alternée.

 #9 - 07-12-2011 17:42:28

scarta
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Arithémtique Neuroticide...

Recherche commune sur un post à réponses cachées ? smile
Ma démo est un peu similaire à la tienne, je regarde les modulos d'une série (comme 89898989 par exemple) et grâce à Dirichlet je sais que j'en ai 2 identiques:  je soustrait mes 2 termes pour avoir 898989898989...898900...000 multiple de N.
Si N est premier avec 10, on peut barrer les zéros et on a 8989898989...89898989

 #10 - 07-12-2011 17:55:29

nodgim
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Arithmétiique Neuroticide...

Es tu sûr cependant que les 2 restes vont tomber sur le même final ? Le 1er reste pourrait être celui de la division de 9898....8 et le second 9898...9, auquel cas la soustraction ne donnerait pas des zéros.

 #11 - 08-12-2011 08:34:40

scarta
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Arithmétique Nueroticide...

Sauf que ma série c'est pas 9, 98, 989, 9898 etc... mais 98, 9898, 989898, 98989898, ....

 #12 - 08-12-2011 09:10:42

scarta
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Aithmétique Neuroticide...

Bon j'ai fini ma démo, je la mets au propre et je l'envoie d'ici ce soir (si j'ai le temps). En gros j'ai réussi à démontrer que toutes les puissances de 2 et de 5 admettent un multiple, combiné au résultat que j'avais déjà ça tombe tout seul

 #13 - 08-12-2011 17:31:05

nodgim
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Arithmétique Neuroticde...

Après réflexion ça marche bien en effet.
Et on peut énoncer ce fait assez hallucinant:
Tout nombre composé de 2 chiffres différents écrit alternativement (ababa..) selon une suite finie est multiple de tout nombre impair qui ne se termine pas par 5.

 #14 - 08-12-2011 17:55:22

scarta
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rAithmétique Neuroticide...

Plus fort encore smile
- Tout nombre premier avec 10 admet un multiple qui ne comporte que des 1.
- Tout nombre tout court admet un multiple constitué  d'une suite de 1 suivie d'une suite de 0
(C'est pareil)

 #15 - 08-12-2011 18:43:24

nodgim
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Arithmétique Neuoticide...

J'ai aussi envie de dire que pour une séquence de n chiffres consécutifs ou plus ça marche aussi. Mais je ne sais pas trop dire combien de zéros il faut éviter dans cette séquence...

 #16 - 13-12-2011 08:53:20

scarta
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Arithmétique Nuroticide...

Alors, la démo du bidule:
1. Une puissance de 5 admet un tel multiple: on l'obtient avec l'algo suivant
On numérote les chiffres à partir de la droite en commençant par 0.
Soit N=5^n, et M=N
On regarde quel est le premier chiffre de M de même parité que le chiffre à sa droite, c'est le ième. Tant que i<n, on ajoute N.10^i (autrement dit on change la parité du ième chiffre en y ajoutant 5); et on recommence.
Quand i >=n, alors on ne garde que les n derniers chiffres de M (on enlève les autres, multiples de 10^n et donc de 5^n)

2. Une puissance de 2 admet un tel multiple: on l'obtient avec l'algo suivant

On numérote les chiffres à partir de la droite en commençant par 0.
Soit N=2^n, et M=N. On définit Q tel que:
- Q=N si les chiffres des dizaines et des unités de N n'ont pas la même parité
- Q=6N si N finit par 2
- Q=3N si N finit par 4
- Q=2N sinon
(Q est alors un multiple de N dont le chiffre des dizaines est impair)
On regarde quel est le premier chiffre de M de même parité que le chiffre à sa droite, c'est le ième. Tant que i<n, on ajoute Q.10^(i-1) (autrement dit on change la parité du ième chiffre en y ajoutant un chiffre impair et pas celle du i-1ème puisqu'on y ajoute un chiffre pair); et on recommence.
Dans le cas où ça ne changerait pas la parité du ième chiffre (ex: 18 + 36 = 54 à cause de la retenue); c'est pas grave étant donné qu'en répétant l'opération au plus 5 fois, il y a forcément une fois où il n'y aura pas de retenue (le dernier chiffre de Q est au plus 8, et 8*5=40 donc seulement 4 dizaines de plus, donc 4 retenues, sur 5 opérations).
Quand i >=n, alors on ne garde que les n derniers chiffres de M (on enlève les autres, multiples de 10^n et donc de 5^n)

3. Tout nombre non divisible par 20 admet un tel multiple:
Cas 1. N impair non multiple de 5: on a vu qu'on peut construire un multiple de N qui répète une séquence: on n'a qu'à prendre 1010101...010101
Cas 2. N impair multiple de 5: N=a*5^b, on regarde quel est le multiple M qui marche pour 5^b, et on cherche un multiple de a qui s'écrit uniquement avec M pour séquence (NB. si N commence par un chiffre impair, on intercalera des 0 entre chaque)
Cas 3. N pair non multiple de 5: N=a*2^b, pareil que précédemment
Cas 4. N multiple de 2 et de 5: N=10*k, avec k impair sinon N multiple de 20. Le cas 1 (ou 2) nous donne un multiple de k qui se termine par un chiffre impair, on y ajoute un 0

 #17 - 13-12-2011 20:13:49

nodgim
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arithmétique neurpticide...

J'avoue ne pas bien comprendre ton algo. Comment fais tu par exemple pour 5^10=9765625 ?
Merci d'avance.

 #18 - 14-12-2011 08:51:18

scarta
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Arithmétique Neuroticiide...

9765625
Je lis de droite à gauche en numérotant le chiffre des unités '0'.
5 2 6 STOP 6 et 2 sont de même parité, j'ajoute 976562500

986328125
5 2 1 8 2 STOP, j'ajoute 97656250000

98642578125
5 2 1 8 7 5 STOP, j'ajoute 976562500000

1075205078125
5 2 1 8 7 0 5 0 2 STOP, j'ajoute 976562500000000

977637705078125
5 2 1 8 7 0 5 0 7 7 STOP, j'ajoute 9765625000000000

10743262705078125
5 2 1 8 7 0 5 0 7 2 => dix derniers chiffres ok, pas la peine d'aller plus loin.

2705078125 = 5^10 * 277 avec une parité alternée pour chacun des chiffres

 #19 - 14-12-2011 18:13:18

nodgim
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Arithmétique Neeuroticide...

C'est bien ce que je pensais. Mais comment sais tu que ton algo va se terminer ? Pourquoi ne serais tu pas à la poursuite infinie de cette alternance ?

 #20 - 14-12-2011 18:28:44

scarta
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Arithmétique Neuroticide..

Parce que je stoppe après n chiffres corrects (et pas tout le nombre), et donc il me faudra au maximum n-1 étapes (chaque étape me fait forcément progresser d'au moins un chiffre).

 #21 - 15-12-2011 17:23:58

nodgim
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Arithmétique Neurooticide...

J'ai compris, et en effet ça marche très bien, la séparation du nombre intervient alors avec 2 nombres qui sont aussi divisibles par 5^10.
Du coup tout le reste tombe naturellement, compte tenu de ce qu'on sait déja par ailleurs.
Eh bien, je peux dire que j'aurai appris beaucoup de choses sur ce simple problème...
Question: l'arithmétique est elle enseignée dans les études supérieures de mathématiques et si oui représente t elle une part importante ?

 #22 - 16-12-2011 09:19:53

scarta
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arithmétiqur neuroticide...

D'après mes souvenirs, il y a de l'arithmétique en prépa, mais la plus grande partie des maths c'est essentiellement de l'algèbre et de l'analyse. Mais oui, il y en a.

Parmi les plus sympas, tu trouveras:
- le petit théorème de Fermat: si p est premier et a n'est pas un multiple de p, alors a^p - a est divisible par p
- le théorème de la progression arithmétique de Dirichlet: si a et b sont premiers entre eux et a<b; il existe une infinité de nombres premiers congrus à a modulo b
- le théorème des restes chinois: si n%a=x, n%b=y, n%c=z, etc... quelles sont les valeurs de n
- les résidus quadratiques et le critère d'Euler: un résidu quadratique modulo N est un nombre a tel qu'il existe b avec b²=a modulo N. Par exemple  4 est un résidu quadratique de 5 (parce que 3*3 = 9 = 4 modulo 5), mais pas 3. Le critère d'Euler dit que si N est premier impair, alors a^((N-1)/2) vaut 1 si a est un résidu quadratique de N et -1 sinon; dans l'exemple 3^2 = 9 = -1 modulo 5, et 4^2 = 16 = 1 modulo 5
- réciprocité quadratique: si p et q sont premiers, différents et congrus à 3 modulo 4, alors p est un résidu quadratique de q si et seulement si q n'est pas un résidu quadratique de p; et si p et/ou q est congru à 1 modulo 4 alors p est un résidu quadratique de q si et seulement si q est un résidu quadratique de p


Il y en a plein d'autres, mais c'est ceux qui m'ont vraiment marqués

 #23 - 16-12-2011 11:09:35

rivas
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Arithmétiquee Neuroticide...

Je crois qu'il y a maintenant de l'arithmétique élémentaire au lycée aussi.
A noter que cet exercice ne faisait appel qu'à de l'arithmétique très élémentaire smile

L'arithmétique est un domaine incroyablement riche utilisant à la base des objets et des idées que l'on croit très bien connaitre (les nombres entiers) mais que lorsqu'on creuse, on s'paerçoit que c'est beaucoup plus profond que la surface que l'on voit de prime abord, voire même magique parfois.

scarta a fait une liste des sujets les plus "classiques" et aussi les plus abordables.
J'aimerai y rajouter:
-La conjecture de Syracuse
-L'indicatrice d'Euler et les sujets s'y rapportant
-La fonction Zeta de Riemann (mais là ça devient moins abordable)
-Les équations diophantiennes

Ce sont vraiment des domaines de recherche très intéressants...

 #24 - 16-12-2011 11:34:17

scarta
Elite de Prise2Tete
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Arithmétique Neuroticidee...

J'y avais pensé, mais la conjecture de Syracuse n'est pas "enseignée" dans le programme de prépa (à la rigueur mentionnée des fois), et les équations diophantiennes sont enseignées au lycée.
Et la fonction Zeta est très liée à l'arithmétique mais elle est quand même enseignée en analyse à la base puisqu'on l'approche sous sa forme de série.

Par contre la fonction indicatrice est très riche en effet !!
Je lisais d'ailleurs récemment un très bon papier sur la manière de résoudre l'équation en X phi(X) = N (autrement dit comment calculer les inverses de la fonction)
http://www.dli.gov.in/rawdataupload/upl … a81_22.pdf

 #25 - 16-12-2011 18:33:50

nodgim
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Arithmétique Neuorticide...

C'est drôle cette indicatrice d'Euler, que je connais un tout petit peu, je ne me rends pas bien compte de son importance. Sert elle à résoudre des problèmes difficiles ?

 

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