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 #1 - 10-11-2012 12:25:21

nodgim
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Combinaisons een progression arithmétique.

Bonjour à tous.
Existe t il 3 combinaisons successives C(m,n) C(m,n+1) C(m,n+2) en progression arithmétique ?
Et 4 combis successives ?

La notation C(m,n) vaut m!/(n!*(m-n)!)

Bon amusement



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 #2 - 10-11-2012 12:40:41

shadock
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Cmobinaisons en progression arithmétique.

Qu'entends tu par "progression arithmétique" ?

Shadock smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #3 - 10-11-2012 15:44:19

titoufred
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Cmobinaisons en progression arithmétique.

Est-ce qu'on a le droit à des coefficients binomiaux nuls ?

 #4 - 10-11-2012 16:49:23

gwen27
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Combinaisons en progrsesion arithmétique.

il y a au moins :
C(7,1) = 7 
C(7,2) = 21
C(7,3) = 35

Et donc idem avec 4, 5 et 6   Mais je n'en vois pas d'autre, et surtout pas à 4 termes.

 #5 - 10-11-2012 16:49:58

titoufred
Elite de Prise2Tete
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combonaisons en progression arithmétique.

3 coefficients en progression arithmétique :

Dans le cas où que des 0 sont autorisés :
On a {0, 0, 0}

Dans le cas où il n'y a pas que des 0 :

On pourra considérer par symétrie qu'on ne commence pas le triplet solution par un 0. En effet si {0, 1, 2} est une solution alors {2, 1, 0} aussi.

Pour la suite, on considère [latex]m[/latex] et [latex]n[/latex] deux entiers naturels avec [latex]m \leq n[/latex].

On a [latex]{n \choose m+1} = {n \choose m} \times \frac{n-m}{m+1}[/latex]

donc [latex]{n \choose m+1} - {n \choose m} = {n \choose m} \times \frac{n-2m-1}{m+1}[/latex]

Par conséquent,
[TeX]{n \choose m}, {n \choose m+1}[/latex] et [latex]{n \choose m+2}[/latex] sont en progression arithmétique

[latex]\Longleftrightarrow {n \choose m+2} - {n \choose m+1} = {n \choose m+1} - {n \choose m}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow {n \choose m+1} \times \frac{n-2m-3}{m+2} = {n \choose m} \times \frac{n-2m-1}{m+1}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow {n \choose m} \times \frac{n-m}{m+1} \times \frac{n-2m-3}{m+2} = {n \choose m} \times \frac{n-2m-1}{m+1}[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow (n-m)\times (n-2m-3) = (n-2m-1) \times (m+2)[/TeX][TeX]\Longleftrightarrow 4m^2+(8-4n)m + (n^2-5n+2) = 0[/TeX]
On obtient donc une équation du second degré en [latex]m[/latex] et dont les solutions sont
[TeX]m=\frac{n-2\pm\sqrt{n+2}}2[/TeX]
On voit donc qu'il faut (et qu'il suffit) que [latex]n+2[/latex] soit un carré pour avoir des solutions. On obtient donc une infinité de triplets solutions.

Par exemple on choisit un carré, disons 9, ce qui donne [latex]n=7[/latex] et [latex]m=1[/latex] pour le triplet {7, 21, 35} (ou [latex]m=4[/latex] pour le triplet symétrique {35, 21, 7}).


4 coefficients en progression arithmétique :

Dans le cas où que des 0 sont autorisés :
On a {0, 0, 0, 0}

Dans le cas où quelques 0 sont autorisés :

D'après l'étude précédente, il n'y a au plus que 2 triplets solutions pour une ligne donnée, et ces triplets ont des raisons opposées. Il n'y a donc pas de quadruplet solution.

 #6 - 10-11-2012 17:07:39

nodgim
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Combinaisons en progressio arithmétique.

Gwen, oui, mais il y en a d'autres.
Titoufred, oui, peux tu aller plus loin ?

 #7 - 10-11-2012 17:40:13

gwen27
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Cmobinaisons en progression arithmétique.

Effectivement, pour déterminer le nombre total et le nombre choisi, il semble qu'il faille suivre une suite (je ne sais pas comment elle s'appelle)

On fait +7 , +9, +11, +13 ..... pour le cardinal de l'ensemble
Et on fait : + 3 , +4 , +5 ... pour celui des éléments

On a donc une série de 3 pour C(7,1) et les deux qui suiventC(7,2)et C(7,3) 
(+ les symétriques 4 , 5 , 6))

La suivante à partir de C(14,4)
La suivante à partir de C(23,8)
La suivante à partir de C(34,13)
La suivante à partir de C(47,19)
La suivante à partir de C(62,26)
La suivante à partir de C(79,34)

....

 #8 - 10-11-2012 18:01:39

titoufred
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Combinaisons en progression arithmétiqque.

Aller plus loin dans quel sens ?

Les triplets solutions [latex]\left\{ {n \choose m}, {n \choose m+1}, {n \choose m+2} \right\}[/latex] sont ceux où
[TeX](n, m)=\left(x^2-2, \frac{x(x \pm 1)}2 -2\right)[/latex] avec [latex]x \geq 2[/TeX]
What else ?

 #9 - 10-11-2012 19:36:05

nodgim
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Combinaisons en progression arithmétiqu.e

Titou, y a un petit souci, c'est n, n+1 et n+2 éléments parmi m.

 #10 - 10-11-2012 19:39:48

nodgim
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Combinaisons en progression arithémtique.

Gwen, ces suites s'expriment très bien par une formule générale. Mais bon, si tu n'as pas encore vu ça dans ta scolarité, je t'en fais gràce.

 #11 - 10-11-2012 20:25:52

shadock
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combibaisons en progression arithmétique.

J'adore quant on réponds à mes questions ça fait toujours plaisir! mad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 11-11-2012 03:14:44

titoufred
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combinaisons en progredsion arithmétique.

Oui, j'ai juste inversé au niveau des notations le m et le n mais je réponds bien à la question. On reste sur la même ligne du triangle de Pascal et on y prend 3 coefficients successifs. Par exemple sur la ligne m=7 (avec tes notations) je prends n=1, ce qui donne les coeffs 7, 21 et 35. On est d'accord ?

 #13 - 11-11-2012 03:38:28

golgot59
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combinaisons en progression zrithmétique.

m!/(n!*(m-n)!)+R=m!/[(n+1)!*(m-n-1)!]
n+1+R(n+1)!(m-n)!/m!=m-n

R=(m-2n-1).m!/[(n+1)!(m-n)!]

Puis

m!/[(n+1)!*(m-n-1)!]+R=m!/[(n+2)!*(m-n-2)!]
n+2+R(n+2)!(m-n-1)!/m!=m-n-1

R=(m-2n-3).m!/[(n+2)!(m-n-1)!]

On rassemble : R=R
(m-2n-1).m!/[(n+1)!(m-n)!]=(m-2n-3).m!/[(n+2)!(m-n-1)!]
(m-2n-1)(n+2)=(m-2n-3)(m-n)
mn+2m-2n²-4n-n-2=m²-mn-2mn+2n²-3m+3n
4mn-4n²-m²+5m-8n-2=0

-4n²+n(4m-8)+(5m-m²-2)=0 équation (1) en n.

On pose m=3 au hasard et alors : -4n²+4n+4=0
Delta=16+64=80 mais on veut un carré parfait :

avec m=4 : -4n²+8n+2=0
Delta = 64+32=96

...

m=7 : -4n²+20n-16=0
Delta= 400-256=144=12² bingo !
n1=(-20-12)/(-8)=4
n2=(-20+12)/(-8)=1

Ça fonctionne donc :
Pour C(7,1)=7; C(7,2)=21; C(7,3)=35
Et pour C(7,4)=35; C(7,5)=21; C(7,6)=7

Ensuite m=8 : -4n²+24n-26=0
Delta=160

...

m=14 delta=256 bingo !
n1=8
n2=4
Ça fonctionne donc :
Pour C(14,4)=1001; C(14,5)=2002; C(14,6)=3003
Et pour le symétrique en démarrant de 8

...

m=23 delta=400
n1=13
n2=8
Ça fonctionne donc :
Pour C(23,8)=490 314; C(23,9)=817 190; C(23,10)=1 144 066
Et pour le symétrique en démarrant de 13

...

m=34 delta=576
n1=13
n2=19
Ça fonctionne donc :
Pour C(34,13); C(34,14); C(34,15)
Et pour le symétrique en démarrant de 19

Je remarque que :
Delta=(4m-8)²-4*(-4)*(5m-m²-2)
=4²[(m-2)²+(5m-m²-2)]
=4²(m+2)

J'ai besoin d'un carré parfait, donc que m+2 soit un carré parfait, ce qui est le cas pour m+2=3², donc m=7
m=4²-2=14
m=5²-2=23

Je retombe bien sur mes valeurs précédentes !

La règle est donc de prendre m=a²-2 quelque soit a entier >2.

Du coup, mon équation (1) : -4n²+n(4m-8)+(5m-m²-2)=0 devient :
-4n²+n[4(a²-2)-8]+[5(a²-2)-(a²-2)²-2]=0
-4n²+4n[a²-4]+(-a^4+9a²-16)=0
delta=16(a²-4)²-4*(-4)*(-a^4+9a²-16)=16(a^4-8a²+16-a^4+9a²-16)=16a²
racine(delta)=4a
n1=[-4(a²-4)-4a]/-8=(a²-4-a)/2
n2=(a²-4+a)/2

Finalement : On choisi a>3 tel que a est entier, et on a alors :
C(a²-2,a²/2-a/2-2); C(a²-2,a²/2-a/2-1) et C(a²-2,a²/2-a/2) en progression arithmétique, ainsi que :
C(a²-2,a²/2+a/2-2); C(a²-2,a²/2+a/2-1) et C(a²-2,a²/2+a/2)


Désolé pour le pavé !

 #14 - 11-11-2012 09:37:31

nodgim
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combinaispns en progression arithmétique.

Pardon Shadock, je t'avais complètement oublié.
3 nombres A B C sont en progression arithmétique si B=A+R et C=B+R.
C'est à dire même écart entre A et B d'une part, et entre B et C d'autre part.

 #15 - 11-11-2012 09:39:32

nodgim
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Combinaison sen progression arithmétique.

Golgot ça semble bon.
Pourrais tu reformuler avec un "a" qui commence à 1 ? Ce serait parfait.

 #16 - 11-11-2012 09:41:26

nodgim
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Combinaisons en progreession arithmétique.

Titou, oui d'accord. C'est parfait.

 #17 - 11-11-2012 10:29:07

golgot59
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combunaisons en progression arithmétique.

Si je veux démarrer à 1, il faut que je choisisse un a'=a+2 qui démarre à 1, c'est juste un décalage !

La règle est alors de prendre m=(a+2)²-2=a²+4a+2 quelque soit a entier.

Du coup, on trouve : racine(delta)=4(a+2)
n1=(a²-4-a)/2=(a²+4a+4-4-a-2)/2=(a²+3a-2)/2
n2=(a²-4+a)/2=(a²+4a+4-4+a+2)/2=(a²+5a+2)/2

Finalement : On choisi a entier, et on a alors :
C(a²+4a+2,a²/2+3a/2-1); C(a²+4a+2,a²/2+3a/2) et C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+1) en progression arithmétique, ainsi que :
C(a²+4a+2,a²/2+5a/2+1); C(a²+4a+2,a²/2+5a/2+2) et C(a²+4a+2,a²/2+5a/2+3)

Et voilà !

 #18 - 11-11-2012 11:24:12

golgot59
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Combinaisons en progression arthmétique.

Pour une itération de plus, je sais que je dois déjà avoir les 3 premiers qui se suivent, et donc que ma conclusion précédente soit vraie, c'est à dire que mes 3 premiers nombres s'écrivent :
C(a²+4a+2,a²/2+3a/2-1); C(a²+4a+2,a²/2+3a/2) et C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+1).

Le suivant sera donc C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+2), et il me faut :

C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+2)-C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+1)=C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+1)-C(a²+4a+2,a²/2+3a/2) (1)

avec : C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+2)=(a²+4a+2)!/[(a²/2+3a/2+2)!(a²/2+5a/2)!]
C(a²+4a+2,a²/2+3a/2+1)=(a²+4a+2)!/[(a²/2+3a/2+1)!(a²/2+5a/2+1)!]
C(a²+4a+2,a²/2+3a/2)=(a²+4a+2)!/[(a²/2+3a/2)!(a²/2+5a/2+2)!]

(1) donne (a²+4a+2)!/[(a²/2+3a/2+2)!(a²/2+5a/2)!]+(a²+4a+2)!/[(a²/2+3a/2)!(a²/2+5a/2+2)!]=2*(a²+4a+2)!/[(a²/2+3a/2+1)!(a²/2+5a/2+1)!]

(a²/2+5a/2+1)(a²/2+5a/2+2)+(a²/2+3a/2+1)(a²/2+3a/2+2)=2(a²/2+5a/2+2)(a²/2+3a/2+2)
(a²+5a+2)(a²+5a+4)+(a²+3a+2)(a²+3a+4)=2(a²+5a+4)(a²+3a+4)

c'est pas long du tout.

a^4+5a^3+4a²+5a^3+25a²+20a+2a²+10a+8+a^4+3a^3+4a²+3a^3+9a²+12a+2a²+6a+8=2(a^4+3a^3+4a²+5a^3+15a²+20a+4a²+12a+16)

Quand je disais que c'était pas long.

2a^4+16a^3+46a²+48a+16=2a^4+16a^3+46a²+64a+32
16a+16=0
a=-1, impossible !

Il n'y a donc pas de solution (sauf erreur de ma part, et alors la prise de tête sera de la retrouver dans ce mic-mac)

 #19 - 11-11-2012 12:38:48

nodgim
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Combinaisnos en progression arithmétique.

C'est OK Golgot.
J'ai une démo plus courte pour 4. Pourtant c'est la même démarche, mais j'ai simplifié au maximum.

 #20 - 11-11-2012 19:20:41

Franky1103
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Combinaisons en progresssion arithmétique.

Pour trois combinaisons successives en progression arithmétique, on aura:
C(m,n+2) - C(m,n+1) = C(m,n+1) - C(m,n)
==> 2.C(m,n+1) = C(m,n) + C(m,n+2)
==> 2/[(n+1)!.(m-n-1)!] = 1/[(n)!.(m-n)!] + 1/[(n+2)!.(m-n-2)!]
==> 2.(n+2).(m-n) = (n+1).(n+2) + (m-n-1).(m-n)
==> 4n² + m² - 4mn - 5m + 8n + 2 = 0
Cette équation du second degré en m (ou en n) me donne:
m de la forme: m = k² + 2k - 1, soit m: = 2; 7; 14; 23; 34; 47; 62; 79 ...
et n de la forme: n = (k² + 3k - 2)/2, soit: n = 1; 4; 8; 13; 19; 26; 34 ...
Les couples (m;n) seront: (2;1), (7;1), (7;4), (14;4), (14;8), (23;8), (23;13), (34;13), (34;19), (47;19), (47;26), (62;26), (62;34), (79;34), (79;43) ...
Les valeurs de m fonctionnent pour deux valeurs successives de n et pareil pour n.
Pour quatre combinaisons, je n'ai pas regardé.

 #21 - 13-11-2012 00:05:38

elpafio
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combinaisons en progressiob arithmétique.

Quelques réponses pour trois combinaisons successives:

C(7,1) =  7     C(7,2) = 21     C(7,3) = 35
Progression arithmétique de 14

C(7,4) = 35     C(7,5) = 21     C(7,6) =  7
Progression arithmétique de -14
On remarque que 1 + 6 = 7

C(23,8) = 490314      C(23,9) = 817190     C(23,10) = 1144066
Progression arithmétique de 326876

C(23,13) = 1144066      C(23,14) = 817190     C(23,15) = 490314
Progression arithmétique de -326876
On remarque que 8 + 15 = 23

C(34,13) = 927983760   C(34,14) = 1391975640     C(34,15) = 1855967520
Progression arithmétique de 463991880

C(34,19) = 1855967520   C(34,20) = 1391975640     C(34,21) = 927983760
Progression arithmétique de -463991880
On remarque que 13 + 21 = 34

D'autres:
C(47,19)    C(47,20)    C(47,21)

C(47,26)    C(47,27)    C(47,28)

19 + 28 = 47

Il doit y avoir quelque chose à démontrer sur le sujet... hmm
Je laisse ça aux vrais matheux wink


Rendez les choses aussi simples que possible, mais pas plus simples. Albert Einstein

 #22 - 13-11-2012 11:54:59

papiauche
Sa Sainteté
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Combinaisonss en progression arithmétique.

Pour ne pas alourdir les calculs, je substitue n à n+1.
On cherche à résoudre:
C(m,n+1)-C(m,n)=C(m,n)-C(m,n-1)

Dans l'expression avec les factorielles on divise par m! et on réduit au même dénominateur (n+1)!(m-n+1)!

(m-n)(m-n+1)-(n+1)(m-n+1)=(n+1)(m-n+1)-n(n+1)

m^2-m(4n+1)+4n^2-2 = 0

Le discriminant vaut 8n+9

On pose n = (p^2-p-2)/2 strictement positif pour abs(p)>=3
le discriminant devient (2p-1)^2

Il vient
m= p^2-2
et donc n=(p^2-p-2)/2 .

Application numérique:
p=3  --> m = 7  n=2 (1,2,3) dans les conventions de l'énoncé
p=4  --> m = 14 n= 5 (4,5,6) dans les conventions de l'énoncé
p=5  --> m= 23 n = 9 (8,9,10) dans les conventions de l'énoncé
etc..

NB on trouve les symétriques dans le triangle de Pascal avec p=-3,p=-4 etc.

Pour une suite de 4 on devrait avoir n=n+1 puisque m ne bouge pas, ce qui est impossible.


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

 #23 - 13-11-2012 18:24:15

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Combinaisons en prrogression arithmétique.

Merci à tous les participants qui, par leur approche personnelle, ont tous donné la solution complète ou une partie d'entre elle.
Je voudrais juste montrer une remarquable propriété de l'ensemble des solutions.
Soit le triplet solution (A, A*x, Ax*y). Si on s'intéresse uniquement au couple (x,y) et qu'on les prenne dans l'ordre croissant des solutions , voici ce que ça donne, après bien sûr simplification partielle des fractions:
(3/1)(5/3)
(4/2)(6/4)
(5/3)(7/5)
(6/4)(8/6)
(7/5)(9/7)
(8/6)(10/8)
.....
Etonnant, non ?

Et en faisant le produit x*y:
(5/1)
(6/2)
(7/3)
(8/4)
(9/5)
....

 #24 - 13-11-2012 19:04:42

Franky1103
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Combinaisons en prorgession arithmétique.

En effet, si les 3 combinaisons sont respectivement: C; C+R et C+2R; en reprenant
ta notation, on aura: x = 1+R/C et xy = 1+2R/C;
il en découle: xy - 2x + 1 = 0; d'où: y = 2 - 1/x (ce qui est valable pour toute pro- gression arithmétique).
Si de plus x est de la forme: x = (n+2)/n (spécifique à cette énigme), alors y et xy seront de la forme: y = (n+4)/(n+2) et xy = (n+4)/n.
Mais j'en conviens: c'est étonnant et joli.
Et merci pour cette énigme.

 #25 - 13-11-2012 19:26:55

papiauche
Sa Sainteté
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Messages : 2124

Combinaisons en prrogression arithmétique.

De mon temps, avec n l'ensemble et p la partie on notait:
[TeX]p \choose n[/TeX]
Maintenant les modernes écrivent:
[TeX]n \choose p[/TeX]
Il y a sûrement une bonne raison - que j'ignore- hmm

Avec une énigme pleine de n,m,p c'est troublant pour la lecture d'un vieux dans mon genre. wink


"Je ne lis jamais un livre dont je dois faire la critique. On se laisse tellement influencer." O. Wilde

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