Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

Déconnexion

Tu n'es pas identifié sur Prise2tete : s'identifier.

accueil Accueil forum Forum
[+]

 #1 - 14-08-2011 10:42:25

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Arithméétique modulaire

Bonjour à tous.

On écrit un nombre selon ses restes modulo p, premiers successifs.
Par exemple 23=1,2,3,2,1 qui sont les restes modulo 2,3,5,7,11.
Quel est le plus petit nombre qui s'écrit 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ?

Usage de l'informatique à éviter, mais calculette autorisée.....

Bon amusement



Annonces sponsorisées :
  • |
  • Répondre

#0 Pub

 #2 - 14-08-2011 12:14:04

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

Arithmétique modularie

On est bien sur quelque chose du genre :

x=2a+1 = 3b+2 = 5c+3 = 7d+4 = 11e+5 = 13f+6 = 17g+7 = 19h+8 = 23i+9

411 770 573 ???

 #3 - 14-08-2011 18:40:09

snapy
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 33

Artihmétique modulaire

Au pif : 188677703 ...

 #4 - 14-08-2011 19:23:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

arithmétisue modulaire

C'est une bonne réponse.
Du coup Gwen est tombé trop haut, il a donné le second nombre et non le premier...

 #5 - 14-08-2011 22:20:33

Bamby2
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 152

arithmétisue modulaire

en progressant petit a petit j'obtiens 188677703:

on recherche le plus petit nombre satisfaisant la 1ere équation, puis on les rajoute une a une, en faisant des calculs modulo, le début donne :

1 = 1 modulo 2, ok.
puisque 2 =2 modulo 3, et que l'on cherche a obtenir 2
on doit ajouter 2*2 a 1 pour obtenir 2: 5=2 modulo3.

5 = 0 modulo 5
2*3=6=1 modulo 5
on doit arriver a 3 on doit donc ajouter 3 fois 6pour arriver a 3
donc 3*6+5 = 23.

23 = 2 modulo 7
2*3*5=30=2modulo 7
je doit atteindre 4 donc je dois ajouter 1 fois 30.
1*30+23 = 53.

53 = 9 modulo 11
2*3*5*7=210=1modulo 11
je dois arriver a 5 donc je dois ajouter 7 fois 210
7*210 +53 = 1523

etc
etc
j'obtiens alors
29243
299513
4382593
puis
188677703.

 #6 - 15-08-2011 09:37:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Arithmétique moddulaire

C'est une bonne réponse et c'était aussi ma méthode.

 #7 - 15-08-2011 10:16:59

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

arithlétique modulaire

On va utiliser le petit théorème de Fermat. Soit [latex]A_j=\prod_{i\neq j}p_{i}^{p_j-1}j[/latex] et [latex]A=\prod_i p_i[/latex] alors le reste de [latex]\sum_j A_j[/latex] par [latex]A[/latex] est la réponse.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #8 - 15-08-2011 15:09:38

clement.boulonne
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 64

arithmérique modulaire

Bonjour,

Le premier nombre qui réalise ces conditions est : 188677703


Justification plus tard !

 #9 - 15-08-2011 15:15:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

ariyhmétique modulaire

J'avais oublié le modulo 2x3x5x7x11x13x17x19x23 ...roll

188677703

 #10 - 16-08-2011 08:31:15

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1432

arithmétique modukaire

Je dirais 188677703 (+/-223092870.k)
C'est un problème de restes chinois, mais on peut le traiter de manière différente.

Un nombre congru à 1 modulo 2 vaut 1+2k
1 est congru à 1 modulo 3, et 2 à 2: on regarde pour k=0, 1 ou 2 quelle valeur donne 1+2k modulo 3 = 2; on trouve k =2
Donc notre nombre est congru à 5 modulo 6

5 est congru à 0 modulo 5, 6 à 1; donc si 5+6k est congru à 3 modulo 5, k%5 = 3. Du coup, notre nombre vaut 23+30k

23 est congru à 2 modulo 4, et 30 à 2: pour k%7 = 1, on a 23+30k = 4 modulo 7; donc notre nombre vaut 53+210k

... et ainsi de suite

 #11 - 16-08-2011 11:57:23

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Arithmétique mdulaire

OK pour Scarta (résultat et méthode) et Clémentboulonne.

 #12 - 16-08-2011 13:41:34

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

arothmétique modulaire

Et moi Nodgim, c'est bon ?


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #13 - 16-08-2011 14:44:35

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Arithmétque modulaire

Yanyan, c'est peut être bon, je ne connais pas cette facette de Fermat. Applique le et dis moi ce que ça donne en résultat, mais il me semble que Aj donne un résultat très élevé, même pour une calculette.

 #14 - 16-08-2011 15:24:34

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

aritgmétique modulaire

Cette utilsation du petit théorème de Fermat donne un inverse formellement simple de l'inverse, [latex]a^{p-1}=1[p][/latex] donc [latex]a^{p-2}[/latex] est l'inverse de [latex]a[/latex] de modulo p. Effectivement grand quand on le relève.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #15 - 16-08-2011 17:07:33

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Arithméttique modulaire

Bonjour,
A l'aide d'une calculette, je construis mon nombre "avec fur et avec mesure" (big_smile: et mon prof de français m'engueula):
- le plus petit nombre 1 est 1,
- le plus petit nombre 1,2 est 5,
- le plus petit nombre 1,2,3 est 23,
- le plus petit nombre 1,2,3,4 est 53,
- le plus petit nombre 1,2,3,4,5 est 1 523,
- le plus petit nombre 1,2,3,4,5,6 est 29 243,
- le plus petit nombre 1,2,3,4,5,6,7 est 299 513,
- le plus petit nombre 1,2,3,4,5,6,7,8 est 4 383 593,
- le plus petit nombre 1,2,3,4,5,6,7,8,9 est 188 677 703.
Bonne journée.
Frank

 #16 - 16-08-2011 17:27:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Artihmétique modulaire

On va faire ça à la main, alors smile

p=2 : reste 1
On cherche donc un nombre impair N de la forme 2k+1

p=3 : reste 2
2k+1 doit donner 2 modulo 3, donc 2k=1[3]. On a alors 2k=1+3(2n+1) (coefficient de 3 doit être impair car 2k est pair). Et finalement k=3n+2.
Le nombre N s'écrit alors 6n+5

p=5 : reste 3
6n+5 doit donner 3 modulo 5, donc n=3[5]. Finalement n=3+5k.
Le nombre N s'écrit alors 23+30k

p=7 : reste 4
23+30k doit donner 4 modulo 7, donc 2k+2=4[7], et k=1[7] : k=1+7n
Le nombre N s'écrit alors 53+210n

p=11 : reste 5
53+210n doit donner 5 modulo 11, donc 9+n=5[11], et n=7[11] : n=7+11k
Le nombre N s'écrit alors 1523+2310k

p=13 : reste 6
1523+2310k doit donner 6 modulo 13, donc 2+9k=6[13], 9k=4[13].
9k=4+13m est possible uniquement lorsque m=8+9n. On a alors k=12+13n.
Le nombre N s'écrit alors 29243+30030n

p=17 : reste 7
29243+30030n doit donner 7 modulo 17, donc 3+8n=7[17], soit 8n=4[17].
8n=4+17m n'est possible que lorsque m=4+8k. On a alors n=9+17k
Le nombre N s'écrit alors 299513+510510k

p=19 : reste 8
299513+510510k doit donner 8 modulo 19, donc 16+18k=8[19], soit 18k=11[19].
18k=11+19m n'est possible que lorsque m=7+18n. On a alors k=8+19n
Le nombre N s'écrit alors 4383593+9699690n

p=23 : reste 9
4383593+9699690n doit donner 9 modulo 23, donc 15n=9[23].
15n=9+23m n'est possible que lorsque m=12+15k. On a alors n=19+23k.
Le nombre N s'écrit alors 188677703+223092870k.

Le plus petit nombre cherché est alors N=188677703

 #17 - 17-08-2011 08:18:24

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Arithméttique modulaire

OK pour Looping et Franky.

 #18 - 17-08-2011 19:13:18

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Arithétique modulaire

Merci aux participants.
Pas grand chose à ajouter, les réponses données suffisent.
Pas non plus donc de truc très efficace pour arriver plus vite au résultat.

 #19 - 18-08-2011 10:28:21

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

Aithmétique modulaire

Bonjour,
J'ai aussi cherché, en vain, un "truc" pour trouver le résultat plus rapidement, comme par exemple, construire la suite des nombres successifs. Mais j'ai dû me résigner, apparemment comme tout le monde, à procéder étape par étape.
La méthode de Yanyan semblait plus rapide, mais a t-elle abouti au résultat ?
Frank

 #20 - 18-08-2011 10:33:11

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

aruthmétique modulaire

Pour l'instant non, il faudrait que Yanyan nous en dise un peu plus. Je n'arrive d'ailleurs pas à appliquer sa solution concrètement.

 #21 - 18-08-2011 11:22:47

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

arithmétique modilaire

Ma formule est plutôt théorique mais implique l'existence d'entiers [latex]k_j[/latex] tels que [latex]\sum_j(1+k_jp_j)j[/latex] soit la solution. Le problème est de déterminer ces entiers.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
 

Réponse rapide

Rédige ton message
| | | | Upload | Aide
:) :| :( :D :o ;) :/ :P :lol: :mad: :rolleyes: :cool:
Sécurité

Répondez (numériquement) à la petite énigme suivante : 

Un berger a 30 moutons, ils meurent tous sauf 15, combien en reste-t-il ?

Sujets similaires

Pied de page des forums

P2T basé sur PunBB
Screenshots par Robothumb

© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson

Prise2Tete Forum Statistiques Liste des membres Hall of Fame Contact
© Prise2tete - Site d'énigmes et de réflexion.
Un jeu où seules la réflexion, la logique et la déduction permettent de trouver la solution.

Flux RSS de Prise2Tete Forum Jeux & Prise2Tete Test & Prise2Tete Partenariat et Publicité sur Prise2Tete