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 #1 - 09-12-2011 21:07:56

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 8

Les fêtes approchent et il ne faut pas trop charger la bête , voici donc un petit gâteau léger smile

Je me suis fait un beau gâteau aux formes harmonieuses lol et pour le décorer j'ai posé au hasard quelques myrtilles . L'ensemble paraissant un peu terne , j'ai relié certaines d'entre elles avec un coulis de fraises .

http://img534.imageshack.us/img534/2061/pasdecoupe.jpg

J'ai voulu faire simple ( je ne sais pas ) , j'ai donc décidé de lier chaque graine à sa voisine la plus proche .

Sur mon gâteau il n'y a pas de croisement entre les lignes rouges .

Est-ce toujours vrai ???

On supposera que qu'on peut toujours joindre deux myrtilles sans sortir du gâteau ( le gâteau est convexe ) .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 09-12-2011 21:23:41

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: In this universe ... !!

Gâtau 48

Est-ce toujours vrai

je pense que Oui
Dans le cas d'intersection, on aura recours à un quadrilatère dont les 2 diamètre sont plus petits que tous les autres cotés ! ce qui est impossible !


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #3 - 09-12-2011 23:44:13

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

âteau 48

Prenons 2 myrtilles A et B, reliées (donc plus proches voisines l'une de l'autre).
Il n'y a donc aucune myrtilles dans les 2 disques de centre A (resp B) et de rayon AB et de centre A. Nous appelerons C et D les points d'intersections des 2 cercles.
Il est clair (formule à employer quand on ne veut pas faire une démo alambiqué d'un résultat qui saute aux yeux sur un dessin)... Il est clair donc que tout segment formé de 2 points en dehors des 2 disques qui coupe le segment AB a une longueur supérieur à la longueur CD = rac(3).
Donc il n'y a jamais 2 traits de coulis qui se croisent.

 #4 - 10-12-2011 00:16:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 4

Je précise que le fait que A soit le plus proche voisin de B n'implique pas que B soit le plus proche voisin de A .

Simple d'accord mais c'est quand même un gâteau smile

Vasimolo

 #5 - 10-12-2011 10:54:00

nicolas647
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 96

gâtezu 48

Supposons qu'il existe une intersection et intéressons-nous uniquement aux 4 points qui sont les extrémités des segments qui se croisent.

Nommons les points ainsi :
http://www.prise2tete.fr/upload/nicolas647-quadri.png

D'après le théorème du chemin le plus court de la géométrie euclidienne, on obtient les inégalités suivantes :
BC<CI+IB
AB<AI+IB
AD<AI+ID
CD<DI+IC

En additionnant les 4 inégalités on obtient :
BC+AB+AD+CD<2AC+2BD

Maintenant d'après l'énoncé, pour que A soit relié à C et que B soit relié à D, la figure doit vérifier les inégalités suivantes :
AC<AD
AC<AB
BD<BC
BD<CD

En additionnant les 4 inégalités on obtient :
2AC+2BD<BC+AB+AD+CD

On a là une contradiction qui rend impossible que deux lignes rouges se croisent.

 #6 - 10-12-2011 11:00:36

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteau 4

Bien joué Nicolas smile

Vasimolo

 #7 - 10-12-2011 11:50:45

nodgim
Elite de Prise2Tete
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Gteau 48

Soit un quadrilatère ABCD et ses diagonales AC et BD. Pour joindre AB, on peut passer par la diagonale AC jusqu'à l'intersection, puis prendre l'autre diagonale. Il est évident que le segment AB est plus court que la trajectoire par les demi diagonales. Raisonnement idem pour joindre CD, qui se fait sur les 2 autres demi diagonales. Du coup, il est évident que AB+CD <AC+BD.

1er cas, réseau non connexe, seule les diagonales existent:
L'existence des segments implique que pour l'un au moins des 2 pts reliés, cette liaison est unique. On suppose alors que A et D sont ceux là.   

Si AB<AC alors on s'est trompé en choisissant AC, car B est plus proche de A que C.
Si AB>AC alors CD<BD donc on s'est trompé en choisissant BD, car C est plus proche de D que B.
Dans tous les cas, on s'est trompé avec le croisement .
Le même raisonnement s'applique si on choisit comme pts isolés les autres couples.


2ème cas, réseau connexe, 3 segments relient les 4 points, avec un croisement, par exemple CA, AB, BD. C et D sont donc les pts isolés.
Alors la liaison connexe CB, BA, AD est plus courte car elle évite les détours par l'intersection des diagonales.

 #8 - 10-12-2011 12:08:38

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 48

D'accord Nodgim mais il faut conclure !

Vasimolo

 #9 - 10-12-2011 17:41:56

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteu 48

@Nodgim : il me semble que tu n'as pas remarqué une chose . On peut très bien avoir tracé le segment [AB] alors que le point le plus proche de A n'est pas B .

Vasimolo

 #10 - 10-12-2011 17:54:14

nodgim
Elite de Prise2Tete
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fâteau 48

Mais j'ai simplement décrit ce qui se passe quand il y a un croisement, c'est bien normal que j'isole seulement 4 points. Je crois que j'ai répondu à la question, non ? J'ai dit que s'il y avait un croisement alors, pour ce groupe de 4 pts, il y avait forcément une erreur. La démo est valable quel que soit le quadruplé pris parmi l'ensemble des points.
Qu'est ce qui te gêne encore ?

 #11 - 10-12-2011 18:08:21

gwen27
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Gâteau 488

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau48.JPG

Ah si C est sur le cercle bleu, il est dans la partie violette et CD <CB ou ça ne se croise plus non plus.

 #12 - 10-12-2011 18:23:30

Vasimolo
Le pâtissier
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Gtâeau 48

@Nodgim : J'ai bien compris que tu prenais 4 points ABCD mais tu peux avoir tracé [AC] alors que AB<AC ( A serait le point le plus proche de C ) .

Vasimolo

 #13 - 10-12-2011 19:25:49

nodgim
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Gâteeau 48

Comprends pas. As tu lu à fond ma démo ? car j'ai bien prévu le cas AB>AC

 #14 - 10-12-2011 19:40:12

Vasimolo
Le pâtissier
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gâteay 48

@Nodgim : je crois que c'est toi qui ne me lis pas car je répète la même chose depuis le début .

Citation : "Si AB<AC alors on s'est trompé en choisissant AC, car B est plus proche de A que C" .

On peut très bien avoir tracé [AC] parce que A est le plus proche voisin de C smile

Vasimolo

 #15 - 10-12-2011 19:56:46

nodgim
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Gâteu 48

D'accord mais en dessous j'écris:
"Si AB>AC alors CD<BD donc on s'est trompé en choisissant BD, car C est plus proche de D que B"
Ce qui à nouveau supprime le croisement.

 #16 - 10-12-2011 20:02:57

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteua 48

@Nodgim : c'est un deuxième cas et je ne vois pas en quoi il rend le premier plus crédible ?

Vasimolo

 #17 - 10-12-2011 20:37:16

nodgim
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gâtzau 48

Ben non, ce 2ème cas évoqué est justement le cas de C qui est le plus proche voisin de A. Cette diagonale AC est effectivement plus courte que AB, mais dans ce cas l'autre diagonale BD est forcément plus longue que la non diagonale CD.

En fait, les 2 diagonales ne peuvent être  toutes les deux en même temps les distances les plus courtes depuis les points A et D vers les points B et C.

 #18 - 10-12-2011 22:37:48

Vasimolo
Le pâtissier
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gâreau 48

Je renonce , c'est trop tordu pour moi smile

Vasimolo

 #19 - 11-12-2011 16:25:38

franck9525
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Messages : 1922
Lieu: UK

gâreau 48

Soit deux myrtilles M1 et M2 distantes de R.
Pour qu'il y est croisement, il faut couper le segment M1,M2 sans deposer de baies dans les cercles. Or la distance pour y parvenir est au minimum de R*rac(3)

http://www.prise2tete.fr/upload/franck9525-gato48.jpg

PS:
La myrtille n'est pas une graine mais l'organe végétal protégeant les graines qui s'y trouvent. tongue


The proof of the pudding is in the eating.

 #20 - 11-12-2011 18:20:31

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâtteau 48

J'ai l'impression de perdre la tête sur ce fil mais comme tout le monde a l'air d'accord j'ai sûrement raté quelque chose d'élémentaire .

Je rappelle que cette configuration est possible smile

http://img267.imageshack.us/img267/5622/exempled.jpg

Vasimolo

 #21 - 12-12-2011 22:20:09

Vasimolo
Le pâtissier
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GGâteau 48

Maintenant que les réponses sont visibles par tous j'aimerais bien qu'on précise les démonstrations avec les deux disques et la racine de trois .

Je dois admettre que je fais un blocage et seule la démonstration de Nicolas ( que j'avais aussi ) m'a convaincu pour le moment .

Vasimolo

 #22 - 13-12-2011 17:27:55

nodgim
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Gâteau 4

La démo que j'ai développée est une variante de celle de Nicolas qui ne fait intervenir que 2 segments extérieurs et 2 diagonales au lieu des 4 segments extérieurs. Je n'y vois pas de différence fondamentale.

 #23 - 13-12-2011 18:50:05

Vasimolo
Le pâtissier
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hâteau 48

Le problème est que tu laisses des blancs énormes dans tes explications et les combler c'est résoudre l'énigme à ta place .

La somme de deux côtés opposés d'un quadrilatère convexe est inférieure à la somme des diagonales ; c'est tout à fait convaincant :

nodgim a écrit:

Si AB<AC alors on s'est trompé en choisissant AC, car B est plus proche de A que C.

Pour moi c'est faux sans autre élément d'explication smile

Ajouter d'autres cas non explicités à chaque nouvelle question ne clarifie rien , au contraire . Tu donnes un schéma détaillé de ta logique ou tu reconnais  que ta démo n'est pas complète .

Vasimolo

 #24 - 13-12-2011 20:05:54

nodgim
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Gâeau 48

La phrase que tu as extraite est on ne peut plus claire. Je ne vois pas où est la faille.....

 #25 - 13-12-2011 20:37:43

Vasimolo
Le pâtissier
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Gâteeau 48

Ah bon !!!!!!!!!

Vasimolo

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