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 #1 - 12-12-2011 14:52:50

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

nombres expo-nimériques

Cela fait longtemps que je n'ai plus rien proposé.
Voici un petit problème que j'ai trouvé dans le magazine Tangente de ce mois-ci lui-même repris d'un concours de jeux mathématiques.

Je l'ai trouvé amusant et accessible, je vous le propose donc:

Un nombre N est dit expo-numérique s'il existe (au moins) une puissance d'entier qui s'écrive avec exactement N chiffres en base 10.
Par exemple 3 est expo-numérique car [latex]5^3=125[/latex], 4 aussi car [latex]6^4=1296[/latex].

Quel est (s'il existe) le plus grand nombre expo-numérique?

Bon amusement.



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 #2 - 12-12-2011 15:07:47

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

Nombres expo-numérriques

Je dirais 21, car si 10^n-1 est le plus grand nombre à n chiffres, il faut s'assurer que 9^n fait bien n chiffres. C'est le cas jusqu'à 21, 9^22 ne fait que 21 chiffres, et pour tout k > 22, 9^k = 9^22 * 9^(k-22) < 10^21 * 10^(k-22) < 10^(k-1) et 10^(k-1) est le plus petit nombre à k chiffres

 #3 - 12-12-2011 15:28:05

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

nombres expo-numéeiques

Bonjour,
Si j'ai bien compris, pour que n soit expo-numérique, il faut
qu'un nombre a existe tel que:
10^(n-1) =< a^n < 10^n, soit: 10^(1-1/n) =< a < 10
Au pire, on devrait avoir a égal à 9 = 10^(1-1/n),
soit n = log 10 / (log 10 - log 9) = 21,85
Donc, je répondrai que le plus grand expo-numérique est 21
Bonne journée.
Frank

 #4 - 12-12-2011 15:38:06

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

nombres expo-numéruques

On notera tout d'abord que 10^N s'ecrit avec N+1 chiffres.
le plus grand entier est donc 9

9^N=X avec X entre [latex]10^{N-1}<X<10^N[/latex]
avec les log on obtient [latex]\frac{N-1}{N}<\frac{ln(10)}{ln(9)}[/latex]

ce qui donne N=21 plus grand nombre expo-numérique


The proof of the pudding is in the eating.

 #5 - 12-12-2011 16:55:45

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Nombres expo-numériquees

la puissance doit etre inferieure à 10 car 10^n à n+1 chiffres
donc on prend 9^n et avec un tableur j'ai vu que 9^21 avait 21 chiffres

donc je dirait 21 le plus grand

 #6 - 12-12-2011 18:01:07

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

nombrrs expo-numériques

On sait que 10^1=10 (nombre a deux chiffres)
De même, si p>0, p entier, alors 10^p aura p+1 chiffres

Au lieu de prendre 10, il suffit de prendre 9. On a alors : 9^2=81 (2 chiffres)
9^3=729 (3 chiffres)

Tant que ça marche, je poursuis :
9^9=387420489 (9 chiffres)

Continuons :
9^19=1350851717672992089 (19 chiffres)

La suite s'arrête avec 21 car 9^21=109418989131512359209 (il a 21 chiffres)

Ensuite, 9^22 n'a que 21 chiffres.
Le plus grand nombre expo-numérique serait-il 21...?

 #7 - 12-12-2011 18:36:26

godisdead
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 22
Messages : 639

Nombres expo-nmériques

Instintivement, j'imagine que c'est une puissance de 9, donc il faut que j'arrive à la limite ! => petite feuille excel smile

=> excel, je te hais, il n'arrive pas à ecrire les nombres trop grand smile
Mais bon, avec un poil d'astuce, je ressors le chiffre 21
9^21 = un nombre enorme à 21 chiffres

 #8 - 12-12-2011 18:46:43

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

nombres expo-numériqyes

Je trouve 21.
Bien entendu, pour un a^n, a<10 car sinon a^n aura + de n chiffres.

Il faut a^n<=10^(n-1)
......
n/(n-1)>=ln10/lna
.....
Max pour ln9.
n/(n-1)>=1.047
n<22.

 #9 - 12-12-2011 19:17:53

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Nombres expo-umériques

Je dirais que le plus grand nombre expo-numérique est le plus grand [latex]N[/latex] pour lequel [latex]9^N > 10^{N-1}[/latex] (pourquoi 9 ? parce que c'est le plus grand entier [latex]k[/latex] pour lequel le nombre de chiffres de [latex]k^N[/latex] sera inférieur ou égal à [latex]N[/latex], vu que [latex]10^N[/latex] compte toujours [latex]N+1[/latex] chiffres)

soit [latex]N \ln(9) > (N-1) \ln(10)[/latex]

ou encore [latex]N < \frac{1}{1 - \frac{\ln(9)}{\ln(10)}}[/latex].

21 semble donc être le plus grand nombre expo-numérique. Effectivement, [latex]9^k[/latex] compte [latex]k[/latex] chiffres pour tout [latex]k[/latex] compris entre 1 et 21, mais [latex]9^{22}[/latex] compte 21 chiffres, [latex]9^{23}[/latex] compte 22 chiffres, etc.


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 12-12-2011 19:29:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,464E+3

nomnres expo-numériques

21 car 9^21=109418989131512359209
Au delà, on a un écart qui ne sera pas comblé par une multiplication par 9.

Et il n'est pas utile de tester les puissances pour un nombre supérieur ou égal à 10

 #11 - 13-12-2011 09:39:06

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

nombrrs expo-numériques

On peut écrire, pour [latex]x^N[/latex] compris entre [latex]10^{N-1}[/latex] et [latex]10^N[/latex] :
N-1 ≤ N.log(x) < N
soit (N-1)/N ≤ log(x) < 1.
On cherche N le plus grand possible, donc x le plus grand possible.
La plus grande valeur possible pour x est 9.
(N-1)/N ≤ log(9) = 0.954...
d'où 1/N > 0.0457...
et N < 21.8 d'où N max = 21

Vérification :
9^21=109 418 989 131 512 359 209 compte bien 21 chiffres.

(9^22=984 770 902 183 611 232 881 ne compte que 21 hiffres et ne convient pas)

 #12 - 13-12-2011 11:25:54

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Nombres exop-numériques

Que de bonnes réponses jusqu'à présent. Merci pour votre participation.

Il y a une petite faille de "raisonnement" dans certaines réponses que je souhaite signaler dans un but pédagogique essentiellement pour ceux qui liront les réponses, leurs auteurs étant largement assez compétents pour ne pas en avoir besoin, je pense que c'est plus un oubli qu'une vraie erreur de raisonnement.

Lorsque l'on travaille par condition nécessaire (=>, il faut que), il est nécessaire de vérifier à la fin que la condition que l'on a trouvée est aussi suffisante. En particulier, lorsque l'on a trouvé le candidat plus grand nombre, il reste à vérifier que c'est bien lui, ce que certains ont très bien fait.

Ce n'est pas que de la "gestion des mouches" smile, il arrive assez fréquemment que la ou les conditions nécessaires que l'on utilise soit trop forte(s) et que le résultat ne soit pas suffisant. On pourrait dans ce problème majorer par condition nécessaire par 1000 par exemple ce qui serait vrai sans pour autant que 999 soit solution (pour exagérer).

Bonne continuation à ceux qui n'ont pas encore répondu.

 #13 - 13-12-2011 11:39:47

Zindy
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 50

nombres expo-nimériques

Tout d'abord 10^N s'écrit 1 suivi de N zéros, donc sur N+1 chiffres.
Ainsi, toute puissance N d'un entier supérieur à 10 occupera plus de N chiffres, donc si un nombre est expo-numérique, il l'est car une puissance d'entier s'écrit sur N chiffres et cet entier est forcément inférieur à 10.

Cette constatation permet de se limiter au calcul des puissances de tous les entiers entre 2 et 9, et on trouve que le dernier entier "convenable" est 21, avec 9^21 qui fait 21 chiffres.A partir de l'exposant 22, les puissances sont toujours constituées de plus de chiffres que l'exposant. 

Je propose 21 comme plus grand nombre expo-numérique.

 #14 - 13-12-2011 15:44:32

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Nombres expo-nnumériques

Soit un nombre n expo-numérique.
Il existe un entier k tel que k^n ait n chiffres en base 10.

Supposons k>=10, alors k^n>=10^n donc k^n a au moins n+1 chiffres, ce qui est contradictoire. Par suite on a k<=9. De plus
n <= 1 + ln(9^n)/ln(10)
n<= 1/(1-ln(9)/ln(10))
n<=21.854...
n<= 21

Par ailleurs on a
n=1 expo-numérique : 1^1=1
n=2 expo-numérique : 4^2=16
n=3 expo-numérique : 5^3=125
n=4 expo-numérique : 6^4=1296
n=5 expo-numérique : 7^5=16807
n=6 expo-numérique : 7^6=117649
n=7 expo-numérique : 8^7=2097152
n=8 expo-numérique : 8^8=16777216
n=9 expo-numérique : 8^9=134217728
n=10 expo-numérique : 8^10=1073741824
n=11 expo-numérique : 9^11=31381059609
n=12 expo-numérique : 9^12=282429536481
n=13 expo-numérique : 9^13=2541865828329
n=14 expo-numérique : 9^14=22876792454961
n=15 expo-numérique : 9^15=205891132094649
n=16 expo-numérique : 9^16=1853020188851841
n=17 expo-numérique : 9^17=16677181699666569
n=18 expo-numérique : 9^18=150094635296999121
n=19 expo-numérique : 9^19=1350851717672992089
n=20 expo-numérique : 9^20=12157665459056928801
n=21 expo-numérique : 9^21=109418989131512359209

Finalement 21 est le plus grand nombre expo-numérique.

 #15 - 14-12-2011 08:20:11

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1739

Nombres expo-numériqes

Bonjour,


On sait que 10^n s'écrit 1 suivi de n zéros, soit un nombre écrit avec (n+1) chiffres

Donc, on peut commencer par étudier le nombre de chiffres de 9^n

Jusqu'à 21, 9^N est écrit avec N chiffres.

Mon ami Wolfram donne le résultat du calcul
9^21 = 109 418 989 131 512 359 209

Or

9^22 s'écrit aussi avec 21 chiffres et vaut : 984 770 902 183 611 232 881

et pour cause, 9 x 109 < 999 ...., donc le phénomène "décroche"

10^21 s'écrit avec 22 chiffres, donc l'élévation à la puissance 21 de tout entier supérieur à 10 comportera au moins 22 chiffres ...

Aussi je dirais que le plus grand nombre "expo-numérique" est 21 ...

A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #16 - 14-12-2011 14:49:50

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Nombres expo-nummériques

Encore que des bonnes réponses. Bravo.
(Les démonstrations sont parfois un peu intuitives smile).

 

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