Enigmes

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 #1 - 24-08-2011 20:13:55

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

E nage ?

J'ai l’habitude de pratiquer les gorges du Fier aussi bien en canoë qu’à la nage entre le méandre de Lovagny et le viaduc des Cailles. Je mets le même temps pour faire cinq allers et retours en canoë et deux allers et retours à la nage. Lors de ma dernière sortie, parti du méandre j'ai mis une heure en canoë pour remonter les gorges. Arrivé au viaduc, j'ai décidé de revenir au méandre à la nage et j'ai laissé emporter mon canoë par le courant. Mon embarcation est arrivée à son point de départ deux heures après moi.
Quel temps aurais-je gagné en revenant à bord de mon canoë ?

nb : on suppose que le courant du Fier est régulier sur tout le parcours et qu’en l’absence de courant, mes vitesses à la nage et en canoë sont des constantes.



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 #2 - 24-08-2011 20:45:41

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

En nage

25 minutes et 45 secondes ?
Je me balade avec un [latex]\sqrt{29}[/latex], j'avoue que je n'en suis pas convaincu ...

 #3 - 24-08-2011 20:49:59

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

En nag ?

T'es pas loin, mais... je ne suis pas convaincu non plus. wink


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 #4 - 25-08-2011 00:14:56

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

en bage ?

Après avoir refait mes calculs, je trouve une version complètement différente (en heures) : [latex]7-\sqrt{17}[/latex]

Ce qui fait environ 2h52m37s ...

Je m'apprête à ce que tu me dises de recommencer big_smile

 #5 - 25-08-2011 10:56:15

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

En nagee ?

Bonjour,

Tout d'abord, il est évident que le courant va dans le sens du viaduc des Cailles vers le méandre de Lovagny, sinon mon canoë n'aurait pas pu revenir tout seul.
Soient maintenant vc et vn les vitesses par rapport à l'eau respectivement du canoë ("actif" = en pagayant) et de moi (en nageant) et soit ve la vitesse de l'eau (ou celle du canoë "passif").

La première contrainte se traduit par:
5d / (vc-ve) + 5d (vc+ve) = 2d / (vn-ve) + 2d / (vn+ve) qui se simplifie en:
5vc (vn²-ve²) = 2vn (vc²-ve²) pour donner:
ve² = vc vn (2vc-5vn) / (2vn-5vc)
La deuxième contrainte se traduit en:
1h = d / (vc-ve) et 2h = d / ve - d / (vn+ve) qui se simplifie en:
vn / (vn+ve) = 2ve / (vc-ve) pour donner:
2 ve² + 3 vn ve - vn vc = 0
Et je cherche en fait le temps gagné x:
x = d / (vn+ve) - d / (vc+ve) soit x / d = 1 / (vn+ve) - 1 / (vc+ve)

La deuxième contrainte est une équation du second degré en ve de discrimant D:
D = 9 vn² + 8 vn vc donc: ve = (-3 vn + VD) / 4 (j'élimine le solution négative)
que je réinjecte dans la première contrainte en isolant VD (mon objectif est de s'affranchir de la racine carrée, génante pour la suite).
Je trouve 3 VD = 9 vn + 4 vc - 8 vc (2vc-5vn) / (2vn-5vc)
Je vous fais grâce des triturages d'équations (j'ai recommencé trois fois !!!)
Et je trouve finalement l'équation du troisième degré suivante:
10 vc vn³ - 13 vc² vn² - 14 vc³ vn + 9 vc² ² = 0
(vc² ² est vc puissance 4 que je ne sais pas écrire ici)
Par chance, je repère deux racines évidentes (une aurait suffi) en vn: - vc et vc / 2
Mon équation se simplifie donc en: (vn + vc) (2 vn - vc) (5 vn - 9 vc) = 0
J'élimine la solution vn = - vc car vn et vc sont de même signe.
J'élimine aussi la solution vn = 9/5 vc car elle conduit à ve < 0, ce qui n'est pas possible compte tenu du sens du courant.

Le reste vient tout seul: vc = 2 vn qui donne ve = vn / 2 et finalement:
x/d = (4/15) / vn avec d/vn = 3/2 (grâce aux équations du départ)
Finalement x = 6/15 d'heure soit x = 24 mn

Bonne journée.
Frank

Edit: Je suis revenu terminer cette difficile énigme qui m'a demandé beaucoup de triturages d'équations (j'ai recommencé trois fois !!!) et j'espère que je ne me suis pas planté.

 #6 - 25-08-2011 15:14:39

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

En nge ?

Bah oui L00ping, à la première réponse, je t'ai dit que tu n'étais pas loin !
Alors que là...


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 #7 - 25-08-2011 15:37:36

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

Enn nage ?

La réponse est 2h24min si on compte le temps d'arrivée du canoë, 24min sinon :-)
Par contre j'ai des calculs horribles !

Tu nages 2 fois plus vite que le courant, et rame 4 fois plus vite que le courant.

 #8 - 25-08-2011 15:40:14

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

En nge ?

C'est la bonne réponse, L00ping. Pas trop en nage avec tous ces horribles calculs ?  wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #9 - 25-08-2011 17:26:25

fabb54
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 37

en nahe ?

Dur dur !

Je montre mon raisonnement en éspérant que l'on puisse m'aider à progresser :

notons [latex]d [/latex]la distance du méandre au viaduc, un aller-retour vaut donc [latex]2d[/latex] ;

notons [latex]v_c , v_n , v_f[/latex] les vitesses respectives (constantes) du sportif en canoé, à la nage , et du fleuve.

Si l'on fait 5 aller retour  en canoé dans le même temps que 2 à la nage, alors :
[TeX]5(\frac{1}{v_c+v_f} + \frac{1}{v_c-v_f}) = 2(\frac{1}{v_n+v_f} + \frac{1}{v_n-v_f})[/TeX]
ce qui équivaut à :
[TeX]\frac{5 v_c}{(v_c+v_f)(v_c-v_f)}= \frac{2 v_n}{(v_n+v_f)(v_n-v_f)}[/TeX]
Le sportif a mis une heure pour remonter les gorges en canoé :
[TeX]d=(v_c-v_f)[/TeX]
Le canoé, seul est arrivé deux heures après le sportif à la nage :
[TeX]2+ \frac{d}{v_n+v_f} = \frac{d}{v_f}[/TeX]
donc
[TeX]2+ \frac{v_c-v_f}{v_n+v_f} = \frac{v_c-v_f}{v_f}[/TeX]
Or, on nous demande de calculer le temps que le sportif aurait pu gagner en descendant en canoé plutôt qu'à la nage, c'est à dire la valeur suivante :
[TeX](\frac{d}{v_f+v_n}-\frac{d}{v_f+v_c})[/TeX]
c'est à dire :
[TeX](\frac{v_c-v_f}{v_f+v_n}-\frac{v_c-v_f}{v_f+v_c})[/TeX]
Et là, j'ai beau combiner tout ça dans tous les sens, je n'arrive pas à arranger les choses pour qu'elles puissent m'aider à déterminer l'intérêt d'acheter un canoé lorsque l'on est pressé !

 #10 - 27-08-2011 01:14:13

lybbels
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 1

En nag e?

bonjour !

je pense à 4,5 fois moins de temps

 #11 - 27-08-2011 17:51:20

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

en nagr ?

Bonjour,
Ma réponse est donnée dans l'édit ci-dessus.
J'espère que je ne me suis pas planté.
Frank

 #12 - 28-08-2011 15:49:22

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

nE nage ?

L00ping007 a écrit:

La réponse est 2h24min si on compte le temps d'arrivée du canoë, 24min sinon :-)
Par contre j'ai des calculs horribles !

Tu nages 2 fois plus vite que le courant, et rame 4 fois plus vite que le courant.

C'est vrai que ces calculs sont fastidieux: pour ma part, j'ai isolé la racine carrée du discriminant pour pouvoir m'en débarrasser en élevant le tout au carré.
Mais dis-moi, L00ping007, comment connais tu le résultat apparemment correct (24 mn après arrivée du canoë) sans avoir mené les calculs jusqu'au bout ?

 #13 - 28-08-2011 15:53:47

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1987
Lieu: Paris

En nge ?

J'ai bien mené mes calculs jusqu'au bout, ce qui n'empêche que je les ai trouvés fastidieux. Mais j'ai dû mal me débrouiller, car je me retrouver avec une équation de degré 3, à 3 racines évidentes, dont la valeur que je cherchais (les autres étant négatives).
Et j'ai surtout dû m'y reprendre à 3 fois big_smile

Je n'ai pas posté de réponse car je me sentais pas de poser tous mes calculs en Latex, grosse flemme smile

 #14 - 28-08-2011 18:47:48

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

En ngae ?

Moi aussi, j'ai dû m'y reprendre à plusieurs fois (à chaque fois je trouvais autre chose). Je m'attendais également que quelqu'un ait un déclic (du type Ha-ha) pour trouver le résultat en une demie-ligne, mais ces fastidieux calculs étaient - semble t-il - un passage obligé.
Bonne soirée.
Frank

 #15 - 30-08-2011 19:05:15

SaintPierre
Banni
Enigmes résolues : 42
Messages : 2063
Lieu: Annecy

EEn nage ?

Je vois que celle-ci vous a fait suer...

Soit u la vitesse en canoë, v la vitesse à la nage, c celle du courant, et x le temps
d’un retour en canoë (vitesse u+c), y celui d’un aller à la nage (vitesse v-c), t celui du retour du canoë au fil du courant (vitesse c) : puisque le temps de l’aller en canoë est d’une heure (vitesse u-c) et celui du retour à la nage est t-2 (vitesse v+c), nous avons donc :

u-c=x(u+c)=y(v-c)=(t-2)(v+c)=ct.

Ces relations sont homogènes en u, v et c, et nous pouvons prendre comme unité la vitesse du courant c=1.

On tire alors u=t+1, x=t/(t+2), v=2/(t-2), y=t(t-2)/(4-t).

On a de plus la relation 5(x+1)=2(y+t-2) qui donne 5(t+1)(4-t)=4(t²-4), ou 9t²-15t-36=0 qui a pour solution t=3, d’où x=0,6, et t-2-x=0,4.

J'aurais donc gagné 0,4 h, soit 24 mn en rentrant en canoë.

Pas vraiment de calculs fastidieux les amis ! wink


C'est à l'intelligence d'achever l'oeuvre de l'intuition.

 #16 - 30-08-2011 22:41:19

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3314

En ngae ?

C'est bizarre quand je vois les équations je pourrais allègrement en donner l’énoncé lol mais le contraire j'ai eu du mal et puis ça n'a rien donné. sad


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 30-08-2011 22:52:45

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

En nage

Eh oui, j'ai les boules d'avoir passé autant de temps à triturer des équations dans tous les sens. Quand on voit la solution, on se dit "Ah mais oui mais c'est bien sur !", un vrai déclic du type "Ha-ha" (cf. Martin Gardner).

 #18 - 31-08-2011 10:37:06

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

rn nage ?

Très élégante solution de Saint-Pierre. Chapeau bas.

 #19 - 31-08-2011 14:08:36

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

en nahe ?

Pas mal, mais le "Ces relations sont homogènes en u, v et c, et nous pouvons prendre comme unité la vitesse du courant c=1." m'intrigue, je comprends mais je ne vois pas ce que cela signifie mathématiquement.
Si quelqu'un pouvais m'éclairer.
Merci.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!

 #20 - 31-08-2011 14:12:37

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

En nage ??

Je dirais que cela revient à tout diviser par 'c' puisque c est présent partout.

 #21 - 31-08-2011 14:13:39

Yanyan
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 29
Messages : 509
Lieu: Lille si j'y suis

En nag ?

Ah oui, merci Rivas.


Un mathématicien complet est topologiquement fermé!
 

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