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 #1 - 13-12-2011 18:18:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâtea 49

J'ai encore fabriqué un curieux gâteau smile

Au départ ça devait être un hexagone régulier et disons que c'est un peu raté . Tout n'est quand même pas complètement perdu , si je trace n'importe quelle grande diagonale elle partage le gâteau en deux parts de même taille ( même aire ) . 
http://img195.imageshack.us/img195/5628/cacheblanc.jpg

J’ai ajouté un rond de Chantilly pour décorer .

Quelle curiosité cache cette couche de crème ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : désolé pour la première version que j’ai envoyée par mégarde et surtout pour le crime de lèse-majesté ( un gâteau 49 avant l'officielle 49ème du ch’Ef ) .



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 #2 - 13-12-2011 19:20:37

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2705
Lieu: Luxembourg

gâteay 49

Bonjour,
Sous la Chantilly sont cachées les
myrtilles restantes du gâteau 48.
Non, ce n'est pas ça ? big_smile
Bonne soirée.
Frank

 #3 - 13-12-2011 19:21:48

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

gâreau 49

pour que cela marche il faut que les diagonales de l'hexagone soient des diamètres du cercle
soit O centre du cercle [AA']; [BB'] et [CC'] 3 diamètres le symétrique du triangle ABO par rapport à O est A'B'O qui sont de meme aire propriete de la symetrie centrale de meme pour les triangle BCO et A'CO ceci est dans un sens
je regarderai la reciproque plus tard

 #4 - 13-12-2011 19:47:44

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 49

Je précise que c'est un rond blanc et pas un carré blanc , bref , des yeux chastes peuvent regarder sous le cache smile

Si , si , je vous connais lol

Vasimolo

 #5 - 13-12-2011 20:09:02

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâteau 4

Le rond blanc cache le centre de gravité ?

 #6 - 13-12-2011 22:31:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâeau 49

En effet Nodgim , plutôt expéditif smile

Vasimolo

 #7 - 14-12-2011 07:39:19

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3057
Lieu: Au sud du Nord

Gâteau 4

Je précise que c'est un rond blanc et pas un carré blanc , bref , des yeux chastes peuvent regarder sous le cache

ce n'est donc pas un classiX big_smile


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #8 - 14-12-2011 18:26:56

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

gâyeau 49

ça ne doit pas être très simple de fabriquer un irrégulier avec répartition égale des aires de part et d'autre des 3 diagonales....

 #9 - 14-12-2011 18:32:12

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteau 94

C'est très simple Nodgim , je te laisse y réfléchir un petit peu smile

Vasimolo

 #10 - 14-12-2011 20:45:27

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

hâteau 49

Je ne comprends pas la question lol


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #11 - 14-12-2011 23:00:51

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

GGâteau 49

Pour Azdod smile

A quoi peuvent bien jouer les trois diagonales sous le blanc-cache ( avec un "che" ) lol

Vasimolo

 #12 - 15-12-2011 07:42:59

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1743

Gâteu 49

Bonjour,

On devrait trouver sous la couche de crème que les trois diagonales sont concourantes ....

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato49.jpg

En partant de cette hypothèse,
si l'on nomme, a,b,c,d,e,f les aires des 6 parts triangulaires formées, qui ont donc un sommet commun (l'intersection des diagonales)

alors,
a+b+c = d+e+f
b+c+d = a+e+f
c+d+e = a+b+f

qui conduit à :
a=d
b=e
c=f


J'essaie un raisonnement plus robuste pour prouver la concourance.
Essayons par l'absurde :


Si les diagonales ne sont pas concourantes, alors il y a une surface triangulaire g formée par les trois points d'intersection O O' O"

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato49absurde.jpg

ou, représenté avec déformation de l'hexagone de l'énoncé :

http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-gato49absurde2.jpg


L'égalité des aires donnée dans l'énoncé se traduit alors selon le système suivant :

a+b+c     = d+e+f+g = S/2
b+c+d+g = a+e+f     = S/2
c+d+e     = a+b+f+g = S/2

avec S = a+b+c+d+e+f+g

qui se simplifie en

a = d+g
e = b+g
c  = f+g

Il faut arriver à prouver que g=0, c'est à dire qu'il n'y a donc pas de surface g sous la chantilly.
i.e : les points O, O' et O" sont confondus (en excuses...hmm)
i.e : Les diagonales sont concourantes
i.e : Les parts "diamètralement" opposées sont égales

AAaaaaah !, je suis (merci pour le MP) pensais être arrivé à bout d'un tes gâteaux, moi qui ne suis pas "sucré" !smile




Merci,
A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #13 - 15-12-2011 13:45:29

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

gâyeau 49

Pour que ce soit remarquable, les diagonales doivent être concourantes sous le cache.
Reste à le démontrer.

 #14 - 15-12-2011 17:18:19

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Gâtaeu 49

Ah oui, c'est vrai, il suffit par exemple d'allonger une diagonale également de part et d'autre....

 #15 - 16-12-2011 00:42:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

fâteau 49

Un petit bilan :

@Gabriel : l'hexagone est quelconque donc pas circonscriptible à priori !
@Nicko : En effet il n'y a pas de zone G sous le cache mais pourquoi ? ( ce que je raconte n'est pas classé X )
@Halloduda : bonne intuition , le travail reste à faire .
@Nodgim : bravo , un peu au-dessus de la mêlée smile

Pour les autres , essayer , c'est assez digeste ( pour une fois )

Vasimolo

PS : j'ajoute un peu de temps smile

 #16 - 16-12-2011 07:41:50

TiLapiot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 16
Messages : 851
Lieu: au terrier ;^)

Gââteau 49

Bonjour Vasimolo,
C'est probablement une question incongrue, mais les six côtés ne semblent pas de longueur égale, ou est-ce la relative petite taille de ton image...?

 #17 - 16-12-2011 12:56:42

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gâteaau 49

@TiLapiot

L'hexagone n'est absolument pas régulier . Les côtés et les angles ne sont pas égaux et les sommets ne sont pas nécessairement sur un cercle smile

Vasimolo

 #18 - 16-12-2011 17:02:27

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 659
Lieu: Belgique

Gâteauu 49

Comme une grande diagonale coupe le gâteau en deux aires égales, cette droite passe par le centre de gravité du gâteau.
Ceci étant vrai pour les trois grandes diagonales, on en déduit qu'elles sont concourantes au centre de gravité.

 #19 - 16-12-2011 18:41:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

âteau 49

Bien vu looozer smile

Vasimolo

 #20 - 16-12-2011 21:20:23

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

gâreau 49

Un triangle équilatérale... hmm


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #21 - 17-12-2011 01:49:56

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Gâtea u49

Le centre de gravité du gâteau se trouve sur chacune des 3 diagonales qui se coupent donc en un seul point.

Soit O ce point, A, B, C, D, E et F les sommets décrits dans cette ordre.
Alors aire OAB = aire ODE
        aire OBC = aire OEF
et     aire OCD = aire OFA.

 #22 - 17-12-2011 08:41:28

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

gâreau 49

http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-gateau49.JPG

Imaginons un triangle au centre du gâteau....
Pour que la découpe partage le gâteau en 2 parts égales à chaque fois, il faut que, en terme de surface :

Z1 + Zx = Z4
Z3 + Zx = Z6
Z5 + Zx = Z2

a,b,c,d,e,f, x1 , x2 et x3 étant les longueurs des côtés indiqués, on a alors :

(a+x1)(b+x3) = ed
(d+x1)(c+x2) = af
(f+x2)(e+x3) = bc

On pose une petite multiplication de tout ce bazar :

(a+x1)(b+x3)(c+x2)(d+x1)(e+x3)(f+x2) = abcdef

Soit x1 = x2 = x3 = 0  Le triangle est réduit à un point.

La pastille cache donc un point de concourance.

 #23 - 17-12-2011 10:02:27

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gteau 49

Les bonnes réponses commencent à pleuvoir smile

[mode humour graveleux]Ceux qui on mis le doigt sur la solution on dû éprouver beaucoup de plaisir .[/mode humour graveleux]

Euh , en y regardant à deux fois , pas vraiment lollollol

Vasimolo

 #24 - 17-12-2011 22:41:42

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,466E+3

GGâteau 49

La démonstration de loozer est simple et efficace... Bravo ! !

 #25 - 17-12-2011 22:58:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Gtâeau 49

En effet , il fallait trouver le point G sous le fin voile blanc lol

Les trois diagonales passant par le centre de gravité sont nécessairement concourantes .

J'aime bien aussi la solution de gwen smile

Merci pour la participation !

Vasimolo

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