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 #1 - 24-09-2017 10:54:34

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

âGteau 144

Bonjour à tous smile

En voulant remplir un cube d'arête 6 avec des pâtes de fruit 4X1X1 , mon pâtissier s'est rapidement rendu compte qu'il s'était donné une mission impossible .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau144.png

Un peu chagriné il s'est tout de même fait une raison sad

A défaut , peut-il quand même disposer ses pâtes de façon à ce que les six faces soient complètement recouvertes ?

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 24-09-2017 13:15:55

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,810E+3

Gâtea u144

Oui.
big_smile

 #3 - 24-09-2017 15:07:19

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Gâtaeu 144

Bonjour,
Problème classique, en coloriant le cube de 4 couleurs, de manière à ce que chaque pâte recouvrir une case de chaque couleur, on obtient sur les faces des couleurs de cardinalité (on trouve 2 couleurs de cardinalité 39 et 2 de cardinalité 37) ce qui prouve l'impossibilité de réaliser ça.

 #4 - 24-09-2017 18:30:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâeau 144

@Gwen : le meilleur des gâteaux est dans l'image ( j'ai la mienne mais bon smile ) .
@Caduk : relis bien le problème smile

Vasimolo

 #5 - 24-09-2017 20:39:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,810E+3

gâtrau 144

Une des façons de le faire, parmi d'autres sûrement :
http://www.prise2tete.fr/upload/gwen27-g144PNG.png

 #6 - 24-09-2017 22:02:20

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Gteau 144

Salut Vasimolo,

si on numérote chaque petit cube jaune avec les chiffres 1, 2, 3 et 4, en progressant circulairement 1-->2-->3-->4-->1 quand on se déplace dans une des trois directions Gauche-->Droite ou Bas-->Haut ou Avant-->Arrière, on obtient qu'il y a 37, 37, 39 et 39 petits cubes de chaque sorte. Or chaque pâte de fruits recouvre exactement un petit cube de chaque type 1, 2, 3, 4, donc il ne pourra pas résoudre son problème avec un nombre minimal de pâtes de fruits.

Après, s'il a le droit d'utiliser plus de 38 pâtes de fruits, oui, c'est possible, j'ai une disposition sous le coude si tu veux.

 #7 - 24-09-2017 22:30:48

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâetau 144

@Gwen : je vais cacher mon illustration sous le tapis lollollol
@Ebichu : je ne suis pas sûr de comprendre , il n'y a pas de limite dans le nombre de pâtes de fruits utilisées , tant qu'elles tiennent dans la boîte .

Vasimolo

 #8 - 24-09-2017 22:50:04

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 741

Gâteau 414

Il vaut donc mieux que j'explicite mon recouvrement.

J'ai (presque) rempli mon cube avec des pâtes de fruits. Puis je l'ai coupé en 6 tranches parallèles et d'égale épaisseur.

Les pâtes de fruits intactes sont blanches. Celles qui sont coupées en 4 morceaux sont rouges. En vert, l'espace restant libre à l'intérieur du grand cube.

http://www.prise2tete.fr/upload/Ebichu-gateau144.png

De cette manière les 6 faces sont recouvertes.

 #9 - 24-09-2017 23:07:30

enigmatus
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 502

Gâtaeu 144

Bonsoir,
On repère chaque petit cube dans le grand cube par 3 coordonnées (i,j,k), chacune comprise entre 0 et 5 (limites incluses).
On affecte à chaque petit cube un nombre égal à (i+j+k) modulo 4.
Une pâte de fruit va obligatoirement occuper 4 petits cubes de numéros différents.

Pour le cube complet, on dénombre :
53 petits cubes de numéro 0 ou 3
55 petits cubes de numéro 1 ou 2
d'où l'impossibilité.

Pour la partie extérieure, on dénombre :
37 petits cubes de numéro 0 ou 3
39 petits cubes de numéro 1 ou 2
d'où l'impossibilité.

On aurait aussi pu utiliser 4 couleurs différentes, en partant d'un coin, et en coloriant successivement les plans perpendiculaires à la grande diagonale partant de ce coin.

Le principe est le même que pour montrer l'impossibilité de recouvrir avec des dominos un échiquier amputé de 2 coins opposés.

Édité :
L'impossibilité de remplir le grand cube implique celle de remplir les faces externes, car si on pouvait le faire, il ne resterait au centre qu'un cube 4×4×4 que l'on saurait remplir.

J'ai un doute : la question était peut-être d'obtenir un remplissage des faces externes, avec un remplissage partiel de l'intérieur, et là je ne trouve pas de démonstration…

 #10 - 25-09-2017 11:10:32

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteau 414

@Ebichu : oui smile
@Enigmatus : le but est bien de recouvrir les faces avec possibilité de laisser des "trous" à l'intérieur du cube .

Vasimolo

 #11 - 25-09-2017 16:51:27

caduk
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 45
Messages : 241

Gââteau 144

Effectivement, j'ai surinterprété le problème, c'est donc possible de le faire:
vite fait mal fait, en attendant mon diplôme de graphiste....
http://www.prise2tete.fr/upload/caduk-cube.png

La partie de droite se retourne et se pose sur l'autre.
J'ai un peu foiré mon dessin, pour la partie verte, l'épaisseur de l'anneau est de taille 2x2

 #12 - 25-09-2017 17:27:09

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

gâtezu 144

Oui Caduk et j'espère que tu rougiras de honte quand tu verras les autres illustrations lol

Vasimolo

 #13 - 27-09-2017 19:08:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,165E+3

Gâteua 144

Ben oui , pour une fois c'était possible smile

Pour le remplissage complet du cube on aurait pu envisager un découpage en 27 petits cubes alternativement noirs et blancs . Chaque pâte de fruit étant parfaitement équilibrée en couleurs on ne pourrait pas mettre plus de 52 pâtes et il resterait alors 8 petits trous .

Merci aux participants et aux illustrateurs lol

Vasimolo

 #14 - 28-09-2017 17:38:27

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 3500

gâtezu 144

Magnifique dessin de Gwen qui dispense de tout commentaire !

 

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