Enigmes

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 #1 - 05-04-2010 01:16:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

gâteai 1

Un début de série sur les gâteaux que je le poursuivrais si certains y prennent goût smile

http://img24.imageshack.us/img24/8762/gteau1f.jpg

Un gâteau a une forme de triangle équilatéral . Comment le séparer en deux parts égales ( de même aire ) avec une coupe de longueur minimale ?

Amusez-vous bien big_smile

Vasimolo



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 #2 - 05-04-2010 01:47:50

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

GGâteau 1

l'aire d'un triangle équilatéral ABC de côté a est [latex]{\sqrt3\over2}a^2[/latex].
Pour qu'il y ait une coupe minimale il faut que le coup de couteau soit parallèle à un des côtés

On trace alors la hauteur [AA'] du triangle issue de A où A' est le pied de la hauteur c'est à dire le milieu du segment [BC]. On place M sur [AA'] tel que AM=x et on trace la parallèle au côté (BC) passant par M. Elle coupe les côtés [AB] et [AC] en P et Q. On a M milieu de [PQ] d'après le théorème de la droite des milieux.

Il faut donc trouver oùplacer le point M pour que les aires du triangle APQ et le trapèze PQCB soit les memes

D'après le théorème de thalès on a [latex]{AM\over AA'}={MP\over A'B}[/latex] c'est à dire [latex]{2x\over \sqrt3}={2MP\over a} [/latex] d'où [latex]MP={ax\over\sqrt3}[/latex] et donc l'aire du triangle APQ[latex]={{a\over {2\sqrt3}} x^2[/latex] et l'aire du trapèze PQCB=[latex]{\sqrt3\over2}a^2-{{a\over {2\sqrt3}} x^2[/latex] d'où en égalisant on arrive à [latex]x^2={3\over 2}a[/latex] d'où [latex]x=\sqrt{{3\over 2}a}[/latex] en excluant la valeur négative

 #3 - 05-04-2010 04:40:18

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gâtaeu 1

Comme beaucoup, je ne réponds pas, ce qui n'empêche pas que je lis la solution avec grand intérêt.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #4 - 05-04-2010 06:44:07

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3070
Lieu: Au sud du Nord

Gâteu 1

moi je coupe suivant la médiane,car c'est la coupe minimale en effort


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #5 - 05-04-2010 10:38:47

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 663
Lieu: Belgique

Gâteau

Je choisis 1 comme longueur du côté du triangle.

Je pars du principe que le plus petit périmètre pour une aire donnée est fourni par le cercle. Une coupe en arc de cercle semble donc être plus optimale qu'une coupe rectiligne (qui, parallèle à un des côté, mesurerait [latex]\frac{sqrt2}{2}[/latex])
La hauteur du triangle vaut [latex]\frac{sqrt3}{2}[/latex] et son aire [latex]\frac{sqrt3}{4}[/latex]
Je cherche un secteur circulaire d'angle [latex]\frac{\pi}{3}[/latex] dont l'aire vaut [latex]\frac{sqrt3}{8}[/latex].
[TeX]\frac{\pi r^2}{6}=\frac{sqrt3}{8}[/TeX]
donc [latex]r=sqrt{\frac{3sqrt3}{4\pi}}[/latex]
et une longueur de coupe de [latex]\frac{\pi}{3}sqrt{\frac{3sqrt3}{4\pi}}[/latex] soit environ 0,673387 (qui est effectivement plus court que [latex]\frac{sqrt2}{2}[/latex] qui vaut environ 0,707107)

Voilà ce que j'ai trouvé de mieux smile

 #6 - 05-04-2010 15:02:11

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

GGâteau 1

En traçant un arc de cercle centré sur un des sommets et de rayon: (a/2)*sqrt ((3*sqrt (3))/pi). cela me fait un arc de longueur  0,68862344485975824627615052990329* a,  si on appelle "a" le côté du triangle équilatéral. Ce qui est plus court que le segment de droite parallèle à un des côtés, et qui me donnerait: 0,70710678118654752440084436210485*a   
Si je ne me suis pas trompée dans mes calculs!!

 #7 - 05-04-2010 23:05:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Gâtaeu 1

Un petit indice visuel pour ceux qui cherchent encore ( deux bonnes réponses malgré une valeur approchée un peu douteuse de la part de yogolo smile )

http://img717.imageshack.us/img717/8628/triangleendeux.jpg

Vasimolo

 #8 - 06-04-2010 02:24:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3002
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

âteau 1

J'aurais dis qu'il fallais couper d'un trait droit parallele a un bord a une distance de 0.707 (sqrt(2)/2) fois h (la hauteur du triangle) a partir du sommet opposé.

Mais vu l'indice, il semblerait qu'il faille faire un arc de cercle dont je calculerais le rayon si j'ai le temps....


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 06-04-2010 02:34:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteau 11

Grâce à ta figure, le tilt, l'ampoule qui s'allume dans ma tête (et le désormais classique "mon Dieu, c'était tout bête !" qui me vient à l'esprit chaque fois que je comprends une de tes énigmes, c'est-à-dire, presque toujours, une fois que j'en lu-is une solution complète lol).

On ramène le problème, en collant six fois la même part de gâteau comme tu l'as fait pour former un hexagone régulier, à cette question-ci (grosso modo) : trouver une surface d'aire donnée (la moitié de l'aire de l'hexagone) et de périmètre minimal. Ce problème-ci a la même solution qu'un problème qu'on se pose depuis bien plus longtemps : trouver une surface de périmètre donné et d'aire maximal (si cette surface S est de périmètre P et d'aire A, toutes les autres surfaces de périmètre P auront une aire A inférieure ; cela est en particulier vrai si S a comme aire celle que l'on cherche, et donc d'autres surfaces d'aire A auront un périmètre supérieur à P, et voilà, bonne nuit les petits, ou alors c'est que ma logique est vraiment nulle, ce que je n'espère pas). En un mot comme en cent : il faut tailler un disque.

...instinctivement, en ne voyant que la part de gâteau, j'eus coupé tout droit et parallèle au côté opposé. Comme quoi, l'instinct ne marche que si on l'a entraîné (mais n'aurions-nous pas déjà eu une discussion à ce sujet, d'ailleurs ? smile)

Le calcul du rayon de coupe ne doit pas être très dur... Soit [latex]R[/latex] la longueur de chaque côté du triangle équilatéral. Six d'entre eux collés les uns aux autres donnent une aire de [latex]6 \times ( R^2 \sqrt{3} / 4 ) = 3 \sqrt{3} R^2 / 2[/latex]. On veut donc un cercle de rayon [latex]r[/latex] et d'aire [latex]A = 3 \sqrt{3} R^2 / 4 = \pi r^2[/latex] donc
[TeX]r = \sqrt{\frac{3 \sqrt{3}}{4 \pi}} R \simeq 0,643 R[/TeX]
Instinctivement, ça me paraît beaucoup (...quand même trois quarts de la hauteur du triangle...) mais le calcul a l'air bon. Je reviendrai demain, plus frais que maintenant, pour me relire lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 06-04-2010 14:37:46

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

fâteau 1

En assemblant les 6 parts de gateaux comme dans l'indice, on doit definir une surface fermée de taille connue (1/2 de la surface des 6 parts).
L'inégalité iso-périmétrique dit aussi qu'a surface constante la ligne la plus courte englobant une telle surface est circulaire. Et cette surface doit etre partagée entre les 6 parts donc centree sur le centre de l'hexagone.
Soit R le rayon du cercle circonscrit a l'hexagone defini par les 6 triangles. C'est aussi le cote du triangle equilateral.
La surface du triangle est V3.R^2/4.
La surface de l'hexagone: 3V3.R^2/2.
La surface du disque qui fournit la moitié de chaque part de gateau: 3V3.R^2/4 mais c'est aussi PI.R'^2 (ou R' est le rayon de ce disque).
D'ou R'^2=R^2.3V3/(4.PI).
D'ou R' ~ 0.64R

Pour couper une part en deux parts egales avec une coupe la plus petite possible, il faut tracer un arc de cercle de rayon R' comme defini ci-dessus.

 #11 - 06-04-2010 19:39:13

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3327

âteau 1

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes!tongue et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur. Je ne pense pas que la coupe soit minimale mais je n'est pas envie de faire des maths pour couper un gâteau du moins je n'en n'est jamais eu l'utilité. smile Je pense en revanche que ton topic cache quelque chose qui peut-être excellent et je ne te cache pas que si tu continues je viendrai avec plaisir y répondre wink .


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 08-04-2010 16:22:19

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gâteau

shadock a écrit:

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes! et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur.

C'est sûr que couper une tarte selon l'épaisseur, cela donne 2 parts égales !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 08-04-2010 17:31:26

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteau 11

lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 08-04-2010 17:39:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4773

Gâtteau 1

Bonnes réponses de looozer , yogolo , dan , Mathias et rivas smile

L'explication est dans l'indice en utilisant l'inégalité isopérimétrique : à périmètre fixé la plus grande surface est donnée par le disque . Ca marche aussi avec un triangle quelconque mais c'est bien moins drôle smile

Bravo à ceux qui ont trouvé  !!!

Vasimolo

 #15 - 09-04-2010 09:51:07

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

âGteau 1

kosmogol a écrit:

shadock a écrit:

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes! et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur.

C'est sûr que couper une tarte selon l'épaisseur, cela donne 2 parts égales !

Cela me fait penser à ce classique :
Le volume d'une pizza de rayon z et d'épaisseur a est : Spoiler : [Afficher le message] Pi.z.z.a


http://enigmusique.blogspot.com/

 #16 - 10-04-2010 13:41:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3327

Gâtteau 1

Et kosmo tant a d'autre des comme ça! roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 11-04-2010 17:28:08

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

gâtezu 1

Me semblait bien que j'avais cafouillé dans mes calculs.   roll

 

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(1) — Cercle coupe en 8 en 3 lignes (1) — Couper un disque en deux parties egales avec un arc de cerlce (1) — Faire 8 parts dans un gateau avec 3 traits (1) — Quelle est la surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume??? (1) — Devinette gateau (1) — Coment trancher une tarte en huit avec trois ligne (1) — Partage ce drole de gateau en 3 parts egale et de meme forme(solution) (1) — Couper le gateau en trois parts de meme forme et de meme aire (1) — Gateau separer en part egale (1) — 9 part de pizza en 3 trait (1) — Comment couper un cercle en 8 avec 3 coups de couteau (1) — Couper cercle 8 parties 3 traits solution (1) — Sommet et indice triangle (1) — Enigme rayon et volume (1) — Pizza 8 parts avec 3 trais (1) — Comment couper un gateau en 12 parts? (1) — Partage ce drole de gateau (1) — Quelle est la surface ou l?on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Comment faire 6 parties egaux arc de cercle (1) — Calculer la surface d une part de gateau (1) — Mouton enigme liasse prix du couteau (1) — Comment couper un hexagone en 4 coup de couteau (1) — Coupe piza avec deux disques (1) — : surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Couper un cercle en 4 (1) — Partage ce drole de gateau en 3 part egale ayant la meme forme solution (1) — Separer en 6 triangle un triangle equilateral (1) — Comment couper une part de pizza en 6 parts egales avec deux coups de couteau (1) — Chercher rayon pour trouver le volume (1) — Comment calculer la surface d une par de gateau (1) — G?teau (1) — Calcul d une part de gateau circulaire (1) — Calculer la surface d un gateau de 15 personnes (1) — Gateau a faire dans un cercle (1) — Enigme 5 cordes 4 aires egales (1) — Gateau triangulaure enigme (1) — Solution enigme gateau triangle (1) — Partage ce drole de gateau en 3 parts egales (1) — Gateau avec trois coup de couteau et sept part (1) — Le diametre d un gateau 12 personnes (1) — Enigmes triangle (1) — Carre decoupe cercle en 4 cordes de longueurs egales a la moitie du cote du carre (1) — Quelle est la surface o? l on cherche le rayon pour trouver le volume ??? (1) — Triangle decoupe en 6 part egal (1) — Comment partage une tarte de 5 part pour 6 personnes? (1) — Gateau 11 parts en 4 traits (1) — Comment calculer le volume d un cercle a gateau (1) — Decoupe rectiligne de triangles (1) — Demi cercle trois traits enigme (1) — Le volume d?une pizza de rayon z et d?epaisseur a est : (1) — Comment couper un cercle en 4 (1) — Volume de la solution egale (1) — On cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Comment calculer le cercle depuis l hexagone (1) — Partage ce drole de gateau en 3 parts egale et de meme forme (1) — Quel diametre pour un gateau 12parts (1) — Deux segments se coupent en un point a en dehors du cadre (1) — Decouper disque parts egales (1) — Enigme surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Astuce couper le gateau en 2 disque (1) — Couper une tarte en 12 (1) — Couper gateau thales (1) — Formules de math part d un gateau (1) — Triangle equilateral coupe en 2 parts egales et parallelea 1 cote (1) — Quelle est la surface ou on cherhe le rayon pour trouver le volume (1) — Comment couper un gateau en 12 parts (1) — Comment decouper demi cercle en 3 (1) — Comment partage un demi cercle en 10 parts (1) — Comment couper une tarte en 6 parts (1) — Partager un gateaux pour 5 parts calcul (1) — Reponse enigme pizza forme triangle equilateral (1) — Disque coup?n 8 parts ?les (1) — Enigme avec des cercles de 10m de rayon (1) — Jeu de mots surface ou l on cherche le rayon por trouver volume (1) — Comment couper un gateau en deux part egales (1) — Volume d un cake (1) — Pizza coupe en 7 3 coup de couteau (1) — Partager ce drole de gateau (1) — Aire d une part de cercle (1) — Comment couper gateau en triangle (1) — Conseil pour couper gateau dans l epaisseur (1) — Comment couper un demi cercle en 7 part (1) — Ligne minimale qui coupe un triangle equilaterale (1) — Couper gateau en 10 parts egales en 6 fois (1) — Quelle est la surface ou l?on cherche le rayon pour trouver le volume.? (1) — 8 parts egales (1) — Comment decouper un disque en 6 parts egales (1) — E volumle d une pizza de rayon z et d epaisseur a est : pi.z.z.a (1) — Disque coupe gateau (1) — Diviser en 4 parts egale une part de gateau isocele en 2 cout (1) — Comment appelle-t-on une tarte coupee en 10 parts egales (1) — Calcul volume part gateau (1) — Trouversurface rond (1) — Couper 8 parts de gateaux avec le moins de coup possible (1) — Calcul d un cercle pour former un hexagone (1) — Surfaceou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Partage ce drole de gateau en 3 (1) — Couper 1 gateau triangulaire en 3 (1) — Comment determiner 1/3 d un disque (1) — Calcul de volume d un gateau (1) — Quelle est la surface dont il faut chercher le rayon pour trouver un volume ? (1) — Enigme gateau en 7 parts (1) — Solution enigme partage ce drole dde gateau (1) — Partager ce drole de gateau en trois parties egales et ayant la meme forme (1) — Comment separer un nenuphar en deux (1) — Gateau en 2 part rectangle 1 coup de couteau (1) — Couper une tarte en 6 (1) — Un gateau diviser en sept demi (1) — Comment separer en 8 morceau un rond avec 3 lignes (1) — Enigmes partager ce drole de gateau en trois part egales (1) — Surface pour chercher le rayon pour trouver le volume (1) — Comment mesurer le volume d un gateau (1) — Comment couper en dix (1) — Enigme 2 petites pizza pour le meme prix qu une grand (1) — Calcul couper gateau rond (1) — Comment couper un gateau en 10 parts (1) — Partager une pizza en quatre en trois coup de couteau (1) — Partager un carre en 5parts egales (1) — Calcul surface segement de disque tranche de gateau (1) — Pizza coupe en 7 avec 3 coup de couteau (1) — Decouper un disque en 7 parts egales (1) — Comment couper une galette en 12 parts et en 4 coups de couteau (1) — Determiner x de sort que le perimetre du parallelogramme soit egal a la moitie de celui de triangle forum (1) — Devinette avec gateau (1) — Faire un gateau en triangle (1) — Couper cercle 8 (1) — Comment faire des parts egales d un gateau (1) — Comment calculer le volume d un gateau (1) — Partager en huit parts en trois coups (1) — Comment tracer un carre qui decoupe un cercle selon 4 cordes de longueurs egales a la moitie du cote du carre (1) — Surface cherche le rayon trouver volume (1) — Cest une surface dont on cherche le rayon pour trouver le volume. qui suis-je? (1) — Calculs part gateau (1) — Dessiner une pizza avec volume (1) — Calcul air cercle gateau (1) — Couper un gateau en 8 en 3 coups (1) — Comment couoper un gateau en 12 (1) — Perimetre minimal avec corde pour cercle et triangle (1) — Quelle est la surface dont on cherche le rayon pour trouver un volume ? (1) — Le rayon du cercle circonscrit est-il inferieur a la longueur de chaque cote du triangle (1) — Comment calculer le prix d un gateau (1) — Partager un disque en 7 parties egales (1) — 2 traits 4 carres 4 triangle (1) — Coupr une pizza en 6 avec 2 coups de couteau (1) — Dessiner une pizza qui a 8 parts avec 3 traits (1) — Separer 1 coup 2 formes enigme (1) — Quels doivent etre les deux rayons de coupe pour obtenir trois parts egales ? (1) — Couper une pizza en 8 part egale en 3 coup de couteau (1) — Separer un gateau en huit parts (1) — Couper une pizza en 12 parts (1) — Comment couper un disque en 10 part egales (1) — Couper une galette en 8 part en trois trait (1) — Partager un hexagone en 6 parts (1) — Couper un triangle equilateral (1) — Faire un triangle avec 4 traits (1) — Comment avec trois traits faire 8 part de gateaux (1) — Squ elle est la surface ou on cherche le volume devinette (1) — Comment couper un gateux en triangle (1) — Commen couper un gateau en largeur (1) — Comment couper un gateau en trois disques (1) — Comment calcule t-on 10/3 de pizza (1) — Articles sur l iso perimetrie de l hexagone (1) — Couper un gateau en 10 parts egale (1) — Comment faire quatre parts egales en deux coups de couteau dans un gateau en forme de triangle isocele (1) — Volume disque avec epaisseur (1) — Cercle coupe en 24 triangle (1) — Solution enigme partage ce drole de gateau (1) — Calcul du prix d un gateaux (1) — Quelle circonference pour gateau 8 personnes (1) — Pizza rayon epaisseur volume (1) — Comment calculer 1/2 de 1/3 de gateau (1) — Mathematique enigme partage gateau en 6 quart de cercles (1) — Enigmes visuelles avec solution (1) — Disque pour couper les gateau (1) — Comment calculer aire d une tarte (1) — Comment separer un disque en 7 parties egales (1) — Decouper un hexagone (1) — Solution probleme math pizza 4 coup de couteau (1) — Diametre pour un gateau de 12 parts (1) — Taille gateau 10 parts (1) — Comment couper un gateau en 8 part egale en 3 gouts de couteau (1) — Solution partager en 4 surface egal (1) — Partager un disque en huit parties egales (1) — Enigme partage ce drole de gateau en trois parts (1) — Moitie d une part de gateau (1) — Pizza 8 parts 3 trais (1) — Probleme partage ce drole de gateau en 3 part egales et ayant la meme forme (1) — Surface ou l on trouve le rayon pour trouver le volume (1) — Faire un cercle gateau (1) — Mathematique couper tarte en 7 parts egales (1) — Cercle 3 droites 8 parts (1) — Enigme drole de gateau 3 pars egal (1) — Calcul de l epaisseur e d un disque (1) — Enigme drole de gateau 3 parts egale 17 petit (1) — Comment couper une pizza en 3 coup rectiligne (1) — Tailler un gateaux (1) — Une pizza d un rayon z et de hauteur a (1) — Comment couper un gateau en 2 disques (1) — Probleme de math avec la superficie d un gateau (1) — Probleme 9 le gateau partage ce drole de gateau en trois parts egale et ayant meme forme solution (1) — Quel est la surface ou on cherche le rayon pour trouver le volume ? 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