Enigmes

Forum dédié aux énigmes et à toutes formes de jeux de logique.

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 #1 - 05-04-2010 01:16:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4937

hâteau 1

Un début de série sur les gâteaux que je le poursuivrais si certains y prennent goût smile

http://img24.imageshack.us/img24/8762/gteau1f.jpg

Un gâteau a une forme de triangle équilatéral . Comment le séparer en deux parts égales ( de même aire ) avec une coupe de longueur minimale ?

Amusez-vous bien big_smile

Vasimolo



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 #2 - 05-04-2010 01:47:50

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

âGteau 1

l'aire d'un triangle équilatéral ABC de côté a est [latex]{\sqrt3\over2}a^2[/latex].
Pour qu'il y ait une coupe minimale il faut que le coup de couteau soit parallèle à un des côtés

On trace alors la hauteur [AA'] du triangle issue de A où A' est le pied de la hauteur c'est à dire le milieu du segment [BC]. On place M sur [AA'] tel que AM=x et on trace la parallèle au côté (BC) passant par M. Elle coupe les côtés [AB] et [AC] en P et Q. On a M milieu de [PQ] d'après le théorème de la droite des milieux.

Il faut donc trouver oùplacer le point M pour que les aires du triangle APQ et le trapèze PQCB soit les memes

D'après le théorème de thalès on a [latex]{AM\over AA'}={MP\over A'B}[/latex] c'est à dire [latex]{2x\over \sqrt3}={2MP\over a} [/latex] d'où [latex]MP={ax\over\sqrt3}[/latex] et donc l'aire du triangle APQ[latex]={{a\over {2\sqrt3}} x^2[/latex] et l'aire du trapèze PQCB=[latex]{\sqrt3\over2}a^2-{{a\over {2\sqrt3}} x^2[/latex] d'où en égalisant on arrive à [latex]x^2={3\over 2}a[/latex] d'où [latex]x=\sqrt{{3\over 2}a}[/latex] en excluant la valeur négative

 #3 - 05-04-2010 04:40:18

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gâteu 1

Comme beaucoup, je ne réponds pas, ce qui n'empêche pas que je lis la solution avec grand intérêt.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #4 - 05-04-2010 06:44:07

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3071
Lieu: Au sud du Nord

gâtzau 1

moi je coupe suivant la médiane,car c'est la coupe minimale en effort


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #5 - 05-04-2010 10:38:47

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 675
Lieu: Belgique

âteau 1

Je choisis 1 comme longueur du côté du triangle.

Je pars du principe que le plus petit périmètre pour une aire donnée est fourni par le cercle. Une coupe en arc de cercle semble donc être plus optimale qu'une coupe rectiligne (qui, parallèle à un des côté, mesurerait [latex]\frac{sqrt2}{2}[/latex])
La hauteur du triangle vaut [latex]\frac{sqrt3}{2}[/latex] et son aire [latex]\frac{sqrt3}{4}[/latex]
Je cherche un secteur circulaire d'angle [latex]\frac{\pi}{3}[/latex] dont l'aire vaut [latex]\frac{sqrt3}{8}[/latex].
[TeX]\frac{\pi r^2}{6}=\frac{sqrt3}{8}[/TeX]
donc [latex]r=sqrt{\frac{3sqrt3}{4\pi}}[/latex]
et une longueur de coupe de [latex]\frac{\pi}{3}sqrt{\frac{3sqrt3}{4\pi}}[/latex] soit environ 0,673387 (qui est effectivement plus court que [latex]\frac{sqrt2}{2}[/latex] qui vaut environ 0,707107)

Voilà ce que j'ai trouvé de mieux smile

 #6 - 05-04-2010 15:02:11

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Gâteua 1

En traçant un arc de cercle centré sur un des sommets et de rayon: (a/2)*sqrt ((3*sqrt (3))/pi). cela me fait un arc de longueur  0,68862344485975824627615052990329* a,  si on appelle "a" le côté du triangle équilatéral. Ce qui est plus court que le segment de droite parallèle à un des côtés, et qui me donnerait: 0,70710678118654752440084436210485*a   
Si je ne me suis pas trompée dans mes calculs!!

 #7 - 05-04-2010 23:05:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4937

gâteay 1

Un petit indice visuel pour ceux qui cherchent encore ( deux bonnes réponses malgré une valeur approchée un peu douteuse de la part de yogolo smile )

http://img717.imageshack.us/img717/8628/triangleendeux.jpg

Vasimolo

 #8 - 06-04-2010 02:24:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Gteau 1

J'aurais dis qu'il fallais couper d'un trait droit parallele a un bord a une distance de 0.707 (sqrt(2)/2) fois h (la hauteur du triangle) a partir du sommet opposé.

Mais vu l'indice, il semblerait qu'il faille faire un arc de cercle dont je calculerais le rayon si j'ai le temps....


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 06-04-2010 02:34:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâteauu 1

Grâce à ta figure, le tilt, l'ampoule qui s'allume dans ma tête (et le désormais classique "mon Dieu, c'était tout bête !" qui me vient à l'esprit chaque fois que je comprends une de tes énigmes, c'est-à-dire, presque toujours, une fois que j'en lu-is une solution complète lol).

On ramène le problème, en collant six fois la même part de gâteau comme tu l'as fait pour former un hexagone régulier, à cette question-ci (grosso modo) : trouver une surface d'aire donnée (la moitié de l'aire de l'hexagone) et de périmètre minimal. Ce problème-ci a la même solution qu'un problème qu'on se pose depuis bien plus longtemps : trouver une surface de périmètre donné et d'aire maximal (si cette surface S est de périmètre P et d'aire A, toutes les autres surfaces de périmètre P auront une aire A inférieure ; cela est en particulier vrai si S a comme aire celle que l'on cherche, et donc d'autres surfaces d'aire A auront un périmètre supérieur à P, et voilà, bonne nuit les petits, ou alors c'est que ma logique est vraiment nulle, ce que je n'espère pas). En un mot comme en cent : il faut tailler un disque.

...instinctivement, en ne voyant que la part de gâteau, j'eus coupé tout droit et parallèle au côté opposé. Comme quoi, l'instinct ne marche que si on l'a entraîné (mais n'aurions-nous pas déjà eu une discussion à ce sujet, d'ailleurs ? smile)

Le calcul du rayon de coupe ne doit pas être très dur... Soit [latex]R[/latex] la longueur de chaque côté du triangle équilatéral. Six d'entre eux collés les uns aux autres donnent une aire de [latex]6 \times ( R^2 \sqrt{3} / 4 ) = 3 \sqrt{3} R^2 / 2[/latex]. On veut donc un cercle de rayon [latex]r[/latex] et d'aire [latex]A = 3 \sqrt{3} R^2 / 4 = \pi r^2[/latex] donc
[TeX]r = \sqrt{\frac{3 \sqrt{3}}{4 \pi}} R \simeq 0,643 R[/TeX]
Instinctivement, ça me paraît beaucoup (...quand même trois quarts de la hauteur du triangle...) mais le calcul a l'air bon. Je reviendrai demain, plus frais que maintenant, pour me relire lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 06-04-2010 14:37:46

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Gâetau 1

En assemblant les 6 parts de gateaux comme dans l'indice, on doit definir une surface fermée de taille connue (1/2 de la surface des 6 parts).
L'inégalité iso-périmétrique dit aussi qu'a surface constante la ligne la plus courte englobant une telle surface est circulaire. Et cette surface doit etre partagée entre les 6 parts donc centree sur le centre de l'hexagone.
Soit R le rayon du cercle circonscrit a l'hexagone defini par les 6 triangles. C'est aussi le cote du triangle equilateral.
La surface du triangle est V3.R^2/4.
La surface de l'hexagone: 3V3.R^2/2.
La surface du disque qui fournit la moitié de chaque part de gateau: 3V3.R^2/4 mais c'est aussi PI.R'^2 (ou R' est le rayon de ce disque).
D'ou R'^2=R^2.3V3/(4.PI).
D'ou R' ~ 0.64R

Pour couper une part en deux parts egales avec une coupe la plus petite possible, il faut tracer un arc de cercle de rayon R' comme defini ci-dessus.

 #11 - 06-04-2010 19:39:13

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

âteau 1

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes!tongue et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur. Je ne pense pas que la coupe soit minimale mais je n'est pas envie de faire des maths pour couper un gâteau du moins je n'en n'est jamais eu l'utilité. smile Je pense en revanche que ton topic cache quelque chose qui peut-être excellent et je ne te cache pas que si tu continues je viendrai avec plaisir y répondre wink .


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 08-04-2010 16:22:19

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

âGteau 1

shadock a écrit:

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes! et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur.

C'est sûr que couper une tarte selon l'épaisseur, cela donne 2 parts égales !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 08-04-2010 17:31:26

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâetau 1

lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 08-04-2010 17:39:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4937

Gâteu 1

Bonnes réponses de looozer , yogolo , dan , Mathias et rivas smile

L'explication est dans l'indice en utilisant l'inégalité isopérimétrique : à périmètre fixé la plus grande surface est donnée par le disque . Ca marche aussi avec un triangle quelconque mais c'est bien moins drôle smile

Bravo à ceux qui ont trouvé  !!!

Vasimolo

 #15 - 09-04-2010 09:51:07

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gtâeau 1

kosmogol a écrit:

shadock a écrit:

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes! et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur.

C'est sûr que couper une tarte selon l'épaisseur, cela donne 2 parts égales !

Cela me fait penser à ce classique :
Le volume d'une pizza de rayon z et d'épaisseur a est : Spoiler : [Afficher le message] Pi.z.z.a


http://enigmusique.blogspot.com/

 #16 - 10-04-2010 13:41:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

gâyeau 1

Et kosmo tant a d'autre des comme ça! roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 11-04-2010 17:28:08

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Gâtau 1

Me semblait bien que j'avais cafouillé dans mes calculs.   roll

 

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(1) — Enigme- visuelle (1) — Couper un gateau en 10 parts (1) — Enigme du gateau (1) — Quelle est la surface dont il faut le rayon pour trouver le volume (1) — Enigme hexagone coupee en 8 (1) — Formule surface part de gateau (1) — Partage d un cercle en 7 parts (1) — Comment obtenir 7 parts egales d un cercle (1) — Comment diviser en 8 parts egales un triangle equilateral (1) — Comment couper une pizza en 3 part (1) — Enigme dans cette surface si tu a le rayon tu trouve le volume (1) — Enigme a 5cordes en 4 parties egales (1) — Solution jeu forgeron cercle carre triangle (1) — Solutions d enigme de tarte (1) — 3 traits 8 parts enigme pizza (1) — Comment calcul des parts d un gateau (1) — Volume d une part de gateau (1) — Surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume ?? (1) — Triangle equilateral colles les uns aux autres (1) — Je suis une surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Couper un gateau en trois disques (1) — D?uper cercle en 4 (1) — Quel est la surface ou ont cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Enigme 1 gateau 1 couteau (1) — Quel diametre pour gateau de12 (1) — Pizza 3 coup 8 parts (1) — Un patissier veut couper une tranche de pizza de forme secteur circulaire l air soit maximale (1) — Comment couper un cake en 8 morceaux en 3 coups de couteau (1) — Pour couper un gateau en hauteur (1) — Devinette les parts (1) — Cadre pour tarte triangle (1) — Jeux comment couper un cake en 8 parts avec 3 lingne (1) — Enigme part egale (1) — Partager 1disque en 8 parties egales (1) — Calcul de 1/8 part dans un cercle (1) — Perimetre dune part de gateau (1) — Calculer la surface d une part d une tarte (1) — Comment partager une tarte circulaire en trois parts egales avec seulement deux coups de couteaux paralleles entre eux ? (1) — Quelle est la surface ou l on cherche le rayon pr trouver le volume (1) — Comment couper un gateau en triangles (1) — Decouper un cercle en triangle (1) — Decouper un carre en 4 parties de meme forme avec 5 cordes (1) — Gateau triangle you tube (1) — Decoupage en 12 d un gateau (1) — Quelle et la surface dont on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Couper un gateau en 10 en 6 fois (1) — 8 parts de pizza avec 3 traits (1) — Qui peut etre coupe (1) — Disque decoupe en 12 parts egales (1) — Quelle est la surface ou cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Couper une pizza en 6 avec 2 coup de couteau (1) — Astucecouper un gateau dans l epaisseur (1) — Separer pizza en 6 enigme (1) — Quelle est la surface ou ont cherche le rayon pour trouver le volume ????? (1) — Comment couper une pizza en 5 (1) — Couper un gateau en 2 (1) — Quelle est la surface dont cherche rayon volume (1) — Devinette quelle est la surface ou l?on cherche le rayon pour trouver le volume ? (1) — Jeu de mots - surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume? (1) — Calculer les parts dans une tarte (1) — Gateau triangle (1) — Couper un gateau en 3 part egale en 3 coups de couteau (1) — Calculer les dimensions de parts de gateaux (1) — Comment decouper un hexagone en 6 parties (1) — Abc est un triangle iocele de sommet principale a. h est le milieu de [bc]. m est un point dde la dro (1) — *tu es dans une surface tu cherches un rayon pour trouver un volume. (1) — Couper gateau 7 (1) — Comment couper un hexagone (1) — Enigme triangle de thales (1) — Faire des parts dans un cercle (1) — Diametre d un gateau de 12 personnes (1) — Couper un gateaux en 10 (1) — Astuce pour couper un gateau en trois disques (1) — Comment couper une tarte en 7 part egale? (1) — Formule de l air pour une part de gateau (1) — Diametre d un gateau de 12 parts (1) — Enigme pizza 3 coupes rectilignes (1) — Couper un pentagone a la scie circulaire (1) — Comment faire 8 part avec 3 trait (1) — Gateau rond coupe en triangle (1) — Enigme pizza (1) — Solution devinette gateau triangle (1) — Decouper cercle dans carre (1) — Enigme devinette (1) — Comment partager un disque en parts egales (1) — Comment couper en part egales un triangles quelconque (1) — Comment partager une tarte en 11 parts en 4 coups de couteau (1) — Couper carre en 10 en 6 fois (1) — Comment calculer la circonference d un gateau (1) — Separer un disque en 7 parties (1) — Calculer la surface en forme de pointe de tarte (1) — Partageun trapeze en deux pieces (1) — Formule pour trouver le perimetre d un gateau a etage (1) — Gateaux en huit par et trois traits (1) — Comment couper un gateau en 10 parts egales (1) — Partager un triangle equilateral en 3 part egale (1) — Enigme de couper une tarte en 8 (1) — Devinette drole sur les gateaux (1) — Devinette c est une surface dont on cherche le rayon pour trouver le volume qui suis-je? (1) — Quel diametre pour un gateau de 12 personnes (1) — Quelle surface cherche rayon volume trouver (1) — Partager en 6 parts egales une pizza en 2 coups de couteau (1) — Enigme le gateau triangle solution (1) — Comment separer un gateau en deux disques (1) — Comment couper un gateau en 8 avec 3 coups de couteau (1) — Comment couper 8part de pizza egales en 3 coup de couteau (1) — Enigme une tarte circulaire on veut la partager en uel est le nombre de coups de couteau pour avoir 8?? (1) — Exercice quelle est l epaisseur d une tranche de gateau (1) — Surface cercle coupe en part (1) — Couper un gateau carre en trois (1) — Comment calculer l epaisseur d un gateau (1) — Formule surface disque coupe (1) — Calculer volume morceau de gateau rond (1) — Volume part de gateau (1) — Diametre gateau 12 personnes (1) — 8 part egale (1) — Gateau triangle equilateral comment couper (1) — Decouper un disque en 7 parties egales (1) — Ou faut il couper un triangle equilateral par une parallele a un cote pour que les deux morceaux aient le meme perimetre (1) — Calcul : j ai un gateau je le coupe en deux (1) — Couper demi cercle en dix enigme (1) — Pizza 8 parts en trois traits (1) — Partage de gateau de miel en math (1) — Calculer l air d un part de tarte (1) — Je suis la surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume. (1) — Enigme du gateau en triangle (1) — Gateau l exile (1) — Youtube video scie pour couper gateau (1) — Couper gateau 14 par en 4 (1) — Quel est la surface oul on cherche le rayon pour trouverle volume? (1) — Calculer 1/3 d un gateau (1) — Faire 12 part egale dans un disque (1) — Couper gateau 14 part en 4 solution (1) — Je coupe d un coup la pizza deux parts egale quelle est la longueur de cette coupe? (1) — Couper une pizza en 8 avec trois trait (1) — Reponse pour le gateau separe en 11 parts (1) — Calcul d aire part de gateau (1) — Youtube couper les gateaux en part egale (1) — Commentdetertminer une valeur approchee dun trait (1) — Quelle est la surface dont on cherche le rayon pour trouver le volume? (1) — Gateau en forme de 6 (1) — Calcul decoupe gateau (1) — Comment partage un cercle en 20 parties (1) — 3traits 8 parts (1) — Enigme pizza equalateral (1) — Calculer le volume gateau (1) — Enigme d une pizza triangle (1) — Outil pour couper un gateau en epaisseur (1) — Surface total d une part de gateau (1) — Comment faire 4 parts egales dans un triangle isocele (1) — Comment calculer une part de tarte (1) — Volume d un disque rayon epaisseur (1) — Couper un gateaux en triangle (1) — 8 part de pizza en 3 trais (1) — Decoupe un gateau carre en 8 parts egales avec 3 coups de couteau (1) — Theoreme des six cercles (1) — Partager un cercle en 8 en 3 traits (1) — Volume d une pizza de rayon z (1) — Jeu de mots surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Comment diviser uen tarte en 8 parts en 3 (1) — Gateau en coupe thales diametre (1) — Disque de partage d une pizza en trois (1) — Aire d un disque decoupe en parts (1) — G?au 8 (1) — Pizza en forme de triangle couper en 2 part egale (1) — Triangle gateau (1) — Calcul de 3 parts de tarte (1) — Enigmes avec un gateau (1) — On veut couper un part de tarte abc (1) — Couper une pizza en 8 avec 3 traits (1) — Pizza 2 parts egales triangle (1) — Mon gateau a la forme d un triangle equilateral serais tu couper les deux (1) — Commentdeterminer les parts d un gateau (1) — Quelle est la surface dont il faut connaitre le rayon pour trouver le volume ? (1) — Enigme maths gateau triangulaire (1) — Coment decouper un gateau en 12 parts (1) — Surface ou l4on cheche le rayon pour trouver le volume (1) — Astuce pour couper une tarte en 8 parts egales (1) — Comment partager un hexagone en 6 triangles (1) — Quel est le prix d une part de gateau (1) — Couper gateau en sept (1) — Partage du gateau de miel en math (1) — Peux-tu partager une pizza ronde en 8 pointes egales et en 3 coups de couteau? (1) — Calcul de l aire d une pizza (1) — Enigme pizza qui a une forme de triangle equilateral (1) — Couper un gateaux triangle equilateral en 4 morceaux pour en faire un carre (1) — Partager un disque en huit parties ?les en tracant un cercle et deux droites (1) — Gateau triangle deux coups couteau (1) — Comment couper une pizza en 8 en fesant que 3 traits (1) — Inegalite isoperimetrique (1) — Dimension d un cercle a gateau pour 10 personnes (1) — Omment couper 11 parts en 4 coup de couteaus (1) — Partager une tarte en 5 parts egales (1) — Calcul part gateau rond (1) — Je suis une surface ou l on cherche le rayon (1) — Calcul pour four a pizza (1) — Mathematique decoupe d un gateau (1) — Calcul superficie gateau par personne (1) — Separer un disque en 8 parts en trois coupes (1) — Couper un disque en 7 en 6 coups (1) — Astuce decoupe gateau en 2 disques (1) — Devinette quelle est la surface dont on chercher le rayon pour trouver le volume (1) — Calcul des part de gateau (1) — Aire triangle equilateral pizza (1) — Couper un gateau en 12 (1) — Enigme comment partager un gateau en 12 parts egales 3 coups de couteau (1) — Perimetre d une pizza de rayon z (1) — Quelle est la surface ou on cherche le rayon pour trtouver le volume (1) — Le volume d un gateaux (1) — Une tarte ronde est partagee par des traits de couteau bien droits. (1) — Couper un gateau en sept (1) — Quel est la surface ou on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Longueur de coupe minimum entre 2 cotes est un arc de cercle (1) — Pizza 8 part 3 traits (1) — Pizza 8 parts acec 3 traits (1) — Decouper pizza parts egales (1) — Comment couper un gateau rond en 8 parts egales avec 3 coups de couteau (1) — Quelle est la surface dont il faut trouver le rayon pour trouver le volume (1) — Je coupe une pizza qui a la forme d un traingle equilateral (1) — Enigme de gateau et des gout de couteau (1) — Gateau coupe en 8 part egale (1) — Gateau carre partage en 9 parts egales carre rectangle triangle (1) — Decouper une tarte en 11parts en 4 coups (1) — Diviser un disque en 7 parties egales (1) — Jeu de mot avec gateau (1) — Jeux pizza couper une pizza en 7 part avec 3 coup de couteau (1) — Enigme gateau en 11 parts en 4 coups de couteau (1) — Enigme: thales aire triangle equilateral et aire trapeze (1) — Tailler un hexagone dans un carre a la scie circulaire (1) —

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