Enigmes

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 #1 - 05-04-2010 01:16:31

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,025E+3

GGâteau 1

Un début de série sur les gâteaux que je le poursuivrais si certains y prennent goût smile

http://img24.imageshack.us/img24/8762/gteau1f.jpg

Un gâteau a une forme de triangle équilatéral . Comment le séparer en deux parts égales ( de même aire ) avec une coupe de longueur minimale ?

Amusez-vous bien big_smile

Vasimolo



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 #2 - 05-04-2010 01:47:50

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Gâtteau 1

l'aire d'un triangle équilatéral ABC de côté a est [latex]{\sqrt3\over2}a^2[/latex].
Pour qu'il y ait une coupe minimale il faut que le coup de couteau soit parallèle à un des côtés

On trace alors la hauteur [AA'] du triangle issue de A où A' est le pied de la hauteur c'est à dire le milieu du segment [BC]. On place M sur [AA'] tel que AM=x et on trace la parallèle au côté (BC) passant par M. Elle coupe les côtés [AB] et [AC] en P et Q. On a M milieu de [PQ] d'après le théorème de la droite des milieux.

Il faut donc trouver oùplacer le point M pour que les aires du triangle APQ et le trapèze PQCB soit les memes

D'après le théorème de thalès on a [latex]{AM\over AA'}={MP\over A'B}[/latex] c'est à dire [latex]{2x\over \sqrt3}={2MP\over a} [/latex] d'où [latex]MP={ax\over\sqrt3}[/latex] et donc l'aire du triangle APQ[latex]={{a\over {2\sqrt3}} x^2[/latex] et l'aire du trapèze PQCB=[latex]{\sqrt3\over2}a^2-{{a\over {2\sqrt3}} x^2[/latex] d'où en égalisant on arrive à [latex]x^2={3\over 2}a[/latex] d'où [latex]x=\sqrt{{3\over 2}a}[/latex] en excluant la valeur négative

 #3 - 05-04-2010 04:40:18

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gâteeau 1

Comme beaucoup, je ne réponds pas, ce qui n'empêche pas que je lis la solution avec grand intérêt.


http://enigmusique.blogspot.com/

 #4 - 05-04-2010 06:44:07

emmaenne
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 3072
Lieu: Au sud du Nord

Gâteeau 1

moi je coupe suivant la médiane,car c'est la coupe minimale en effort


Dans le cadre de la quinzaine du beau langage, ne disez pas disez, disez dites. (Julos Beaucarne)

 #5 - 05-04-2010 10:38:47

looozer
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 676
Lieu: Belgique

Gâteu 1

Je choisis 1 comme longueur du côté du triangle.

Je pars du principe que le plus petit périmètre pour une aire donnée est fourni par le cercle. Une coupe en arc de cercle semble donc être plus optimale qu'une coupe rectiligne (qui, parallèle à un des côté, mesurerait [latex]\frac{sqrt2}{2}[/latex])
La hauteur du triangle vaut [latex]\frac{sqrt3}{2}[/latex] et son aire [latex]\frac{sqrt3}{4}[/latex]
Je cherche un secteur circulaire d'angle [latex]\frac{\pi}{3}[/latex] dont l'aire vaut [latex]\frac{sqrt3}{8}[/latex].
[TeX]\frac{\pi r^2}{6}=\frac{sqrt3}{8}[/TeX]
donc [latex]r=sqrt{\frac{3sqrt3}{4\pi}}[/latex]
et une longueur de coupe de [latex]\frac{\pi}{3}sqrt{\frac{3sqrt3}{4\pi}}[/latex] soit environ 0,673387 (qui est effectivement plus court que [latex]\frac{sqrt2}{2}[/latex] qui vaut environ 0,707107)

Voilà ce que j'ai trouvé de mieux smile

 #6 - 05-04-2010 15:02:11

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Gâtteau 1

En traçant un arc de cercle centré sur un des sommets et de rayon: (a/2)*sqrt ((3*sqrt (3))/pi). cela me fait un arc de longueur  0,68862344485975824627615052990329* a,  si on appelle "a" le côté du triangle équilatéral. Ce qui est plus court que le segment de droite parallèle à un des côtés, et qui me donnerait: 0,70710678118654752440084436210485*a   
Si je ne me suis pas trompée dans mes calculs!!

 #7 - 05-04-2010 23:05:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,025E+3

Gââteau 1

Un petit indice visuel pour ceux qui cherchent encore ( deux bonnes réponses malgré une valeur approchée un peu douteuse de la part de yogolo smile )

http://img717.imageshack.us/img717/8628/triangleendeux.jpg

Vasimolo

 #8 - 06-04-2010 02:24:03

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 3004
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Gâteauu 1

J'aurais dis qu'il fallais couper d'un trait droit parallele a un bord a une distance de 0.707 (sqrt(2)/2) fois h (la hauteur du triangle) a partir du sommet opposé.

Mais vu l'indice, il semblerait qu'il faille faire un arc de cercle dont je calculerais le rayon si j'ai le temps....


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #9 - 06-04-2010 02:34:17

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Gâtteau 1

Grâce à ta figure, le tilt, l'ampoule qui s'allume dans ma tête (et le désormais classique "mon Dieu, c'était tout bête !" qui me vient à l'esprit chaque fois que je comprends une de tes énigmes, c'est-à-dire, presque toujours, une fois que j'en lu-is une solution complète lol).

On ramène le problème, en collant six fois la même part de gâteau comme tu l'as fait pour former un hexagone régulier, à cette question-ci (grosso modo) : trouver une surface d'aire donnée (la moitié de l'aire de l'hexagone) et de périmètre minimal. Ce problème-ci a la même solution qu'un problème qu'on se pose depuis bien plus longtemps : trouver une surface de périmètre donné et d'aire maximal (si cette surface S est de périmètre P et d'aire A, toutes les autres surfaces de périmètre P auront une aire A inférieure ; cela est en particulier vrai si S a comme aire celle que l'on cherche, et donc d'autres surfaces d'aire A auront un périmètre supérieur à P, et voilà, bonne nuit les petits, ou alors c'est que ma logique est vraiment nulle, ce que je n'espère pas). En un mot comme en cent : il faut tailler un disque.

...instinctivement, en ne voyant que la part de gâteau, j'eus coupé tout droit et parallèle au côté opposé. Comme quoi, l'instinct ne marche que si on l'a entraîné (mais n'aurions-nous pas déjà eu une discussion à ce sujet, d'ailleurs ? smile)

Le calcul du rayon de coupe ne doit pas être très dur... Soit [latex]R[/latex] la longueur de chaque côté du triangle équilatéral. Six d'entre eux collés les uns aux autres donnent une aire de [latex]6 \times ( R^2 \sqrt{3} / 4 ) = 3 \sqrt{3} R^2 / 2[/latex]. On veut donc un cercle de rayon [latex]r[/latex] et d'aire [latex]A = 3 \sqrt{3} R^2 / 4 = \pi r^2[/latex] donc
[TeX]r = \sqrt{\frac{3 \sqrt{3}}{4 \pi}} R \simeq 0,643 R[/TeX]
Instinctivement, ça me paraît beaucoup (...quand même trois quarts de la hauteur du triangle...) mais le calcul a l'air bon. Je reviendrai demain, plus frais que maintenant, pour me relire lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #10 - 06-04-2010 14:37:46

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

gâyeau 1

En assemblant les 6 parts de gateaux comme dans l'indice, on doit definir une surface fermée de taille connue (1/2 de la surface des 6 parts).
L'inégalité iso-périmétrique dit aussi qu'a surface constante la ligne la plus courte englobant une telle surface est circulaire. Et cette surface doit etre partagée entre les 6 parts donc centree sur le centre de l'hexagone.
Soit R le rayon du cercle circonscrit a l'hexagone defini par les 6 triangles. C'est aussi le cote du triangle equilateral.
La surface du triangle est V3.R^2/4.
La surface de l'hexagone: 3V3.R^2/2.
La surface du disque qui fournit la moitié de chaque part de gateau: 3V3.R^2/4 mais c'est aussi PI.R'^2 (ou R' est le rayon de ce disque).
D'ou R'^2=R^2.3V3/(4.PI).
D'ou R' ~ 0.64R

Pour couper une part en deux parts egales avec une coupe la plus petite possible, il faut tracer un arc de cercle de rayon R' comme defini ci-dessus.

 #11 - 06-04-2010 19:39:13

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

gâreau 1

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes!tongue et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur. Je ne pense pas que la coupe soit minimale mais je n'est pas envie de faire des maths pour couper un gâteau du moins je n'en n'est jamais eu l'utilité. smile Je pense en revanche que ton topic cache quelque chose qui peut-être excellent et je ne te cache pas que si tu continues je viendrai avec plaisir y répondre wink .


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #12 - 08-04-2010 16:22:19

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

gâteay 1

shadock a écrit:

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes! et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur.

C'est sûr que couper une tarte selon l'épaisseur, cela donne 2 parts égales !


http://enigmusique.blogspot.com/

 #13 - 08-04-2010 17:31:26

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

âteau 1

lol


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #14 - 08-04-2010 17:39:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,025E+3

Gâetau 1

Bonnes réponses de looozer , yogolo , dan , Mathias et rivas smile

L'explication est dans l'indice en utilisant l'inégalité isopérimétrique : à périmètre fixé la plus grande surface est donnée par le disque . Ca marche aussi avec un triangle quelconque mais c'est bien moins drôle smile

Bravo à ceux qui ont trouvé  !!!

Vasimolo

 #15 - 09-04-2010 09:51:07

kosmogol
Banni
Enigmes résolues : 49
Messages : 11,928E+3

Gâtteau 1

kosmogol a écrit:

shadock a écrit:

J'aime pas les gâteaux je préfère les tartes! et sinon pour le couper en deux parts égales je le coupe en deux dans l'épaisseur.

C'est sûr que couper une tarte selon l'épaisseur, cela donne 2 parts égales !

Cela me fait penser à ce classique :
Le volume d'une pizza de rayon z et d'épaisseur a est : Spoiler : [Afficher le message] Pi.z.z.a


http://enigmusique.blogspot.com/

 #16 - 10-04-2010 13:41:42

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3332

Gâtea 1

Et kosmo tant a d'autre des comme ça! roll


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #17 - 11-04-2010 17:28:08

yogolo
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 79

Gâteua 1

Me semblait bien que j'avais cafouillé dans mes calculs.   roll

 

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(1) — Mediane separe triangle en 6 triangles de meme air (1) — Quel est la surface dont le rayon volume (1) — Couper la tartes en deux part egales en maths (1) — Coupe carre en 10 parts (1) — Enigme avec des gateaux (1) — Ligne minimale qui coupe un triangle equilaterale (1) — Coment trancher une tarte en huit avec trois ligne (1) — Faire 8 parts dans un gateau avec 3 traits (1) — Quelle est la surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume??? (1) — Devinette gateau (1) — Partage ce drole de gateau en 3 parts egale et de meme forme(solution) (1) — Comment couper un cercle en 8 avec 3 coups de couteau (1) — Coupe piza avec deux disques (1) — Couper le gateau en trois parts de meme forme et de meme aire (1) — Gateau separer en part egale (1) — 9 part de pizza en 3 trait (1) — Couper cercle 8 parties 3 traits solution (1) — Sommet et indice triangle (1) — Partage ce drole de gateau (1) — Enigme rayon et volume (1) — Pizza 8 parts avec 3 trais (1) — Comment couper un gateau en 12 parts? (1) — Quelle est la surface ou l?on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Comment couper un hexagone en 4 coup de couteau (1) — Comment faire 6 parties egaux arc de cercle (1) — Calculer la surface d une part de gateau (1) — Mouton enigme liasse prix du couteau (1) — : surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Gateau avec trois coup de couteau et sept part (1) — Chercher rayon pour trouver le volume (1) — Couper un cercle en 4 (1) — Partage ce drole de gateau en 3 part egale ayant la meme forme solution (1) — Separer en 6 triangle un triangle equilateral (1) — Comment calculer la surface d une par de gateau (1) — Gateau a faire dans un cercle (1) — Calcul volume part gateau (1) — Calcul d une part de gateau circulaire (1) — Calculer la surface d un gateau de 15 personnes (1) — Comment couper une part de pizza en 6 parts egales avec deux coups de couteau (1) — Enigme 5 cordes 4 aires egales (1) — Enigmes triangle (1) — Le diametre d un gateau 12 personnes (1) — Solution enigme gateau triangle (1) — Partage ce drole de gateau en 3 parts egales (1) — Comment partage une tarte de 5 part pour 6 personnes? (1) — Triangle decoupe en 6 part egal (1) — Gateau triangulaure enigme (1) — Carre decoupe cercle en 4 cordes de longueurs egales a la moitie du cote du carre (1) — Quelle est la surface o? l on cherche le rayon pour trouver le volume ??? (1) — Gateau 11 parts en 4 traits (1) — Comment calculer le volume d un cercle a gateau (1) — Decoupe rectiligne de triangles (1) — Demi cercle trois traits enigme (1) — Le volume d?une pizza de rayon z et d?epaisseur a est : (1) — Deux segments se coupent en un point a en dehors du cadre (1) — Comment couper un cercle en 4 (1) — Volume de la solution egale (1) — On cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Comment calculer le cercle depuis l hexagone (1) — Partage ce drole de gateau en 3 parts egale et de meme forme (1) — Quel diametre pour un gateau 12parts (1) — Decouper disque parts egales (1) — Triangle equilateral coupe en 2 parts egales et parallelea 1 cote (1) — Enigme surface ou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Astuce couper le gateau en 2 disque (1) — Couper une tarte en 12 (1) — Couper un disque en deux parties egales avec un arc de cerlce (1) — Couper gateau thales (1) — Formules de math part d un gateau (1) — Quelle est la surface ou on cherhe le rayon pour trouver le volume (1) — Comment couper un gateau en 12 parts (1) — Comment decouper demi cercle en 3 (1) — Comment partage un demi cercle en 10 parts (1) — Comment couper une tarte en 6 parts (1) — Jeu de mots surface ou l on cherche le rayon por trouver volume (1) — Partager un gateaux pour 5 parts calcul (1) — Reponse enigme pizza forme triangle equilateral (1) — Disque coup?n 8 parts ?les (1) — Comment couper un gateau en deux part egales (1) — Aire d une part de cercle (1) — Volume d un cake (1) — Pizza coupe en 7 3 coup de couteau (1) — Partager ce drole de gateau (1) — Enigme avec des cercles de 10m de rayon (1) — Comment couper gateau en triangle (1) — 8 parts egales (1) — Quelle est la surface ou l?on cherche le rayon pour trouver le volume.? (1) — Comment couper un demi cercle en 7 part (1) — Couper gateau en 10 parts egales en 6 fois (1) — Diviser en 4 parts egale une part de gateau isocele en 2 cout (1) — Disque coupe gateau (1) — Conseil pour couper gateau dans l epaisseur (1) — Comment decouper un disque en 6 parts egales (1) — E volumle d une pizza de rayon z et d epaisseur a est : pi.z.z.a (1) — Cercle coupe en 8 en 3 lignes (1) — Comment couper un gateau en 8 part egale en 3 gouts de couteau (1) — Couper 8 parts de gateaux avec le moins de coup possible (1) — Calcul d un cercle pour former un hexagone (1) — Enigme gateau en 7 parts (1) — Solution enigme partage ce drole dde gateau (1) — Trouversurface rond (1) — Surfaceou l on cherche le rayon pour trouver le volume (1) — Comment determiner 1/3 d un disque (1) — Calcul de volume d un gateau (1) — Quelle est la surface dont il faut chercher le rayon pour trouver un volume ? (1) — Partage ce drole de gateau en 3 (1) — Comment separer en 8 morceau un rond avec 3 lignes (1) — Enigmes partager ce drole de gateau en trois part egales (1) — Comment separer un nenuphar en deux (1) — Gateau en 2 part rectangle 1 coup de couteau (1) — Couper un gateau en 8 en 3 coups (1) — Comment couoper un gateau en 12 (1) — Partager ce drole de gateau en trois parties egales et ayant la meme forme (1) — Couper une tarte en 6 (1) — Surface pour chercher le rayon pour trouver le volume (1) — Comment mesurer le volume d un gateau (1) — Un gateau diviser en sept demi (1) — Couper 1 gateau triangulaire en 3 (1) — Comment couper en dix (1) — Comment couper un gateau en 10 parts (1) — Partager une pizza en quatre en trois coup de couteau (1) — Partager un carre en 5parts egales (1) — Faire un gateau en triangle (1) — Calcul couper gateau rond (1) — Calcul surface segement de disque tranche de gateau (1) — Comment couper une galette en 12 parts et en 4 coups de couteau (1) — Determiner x de sort que le perimetre du parallelogramme soit egal a la moitie de celui de triangle forum (1) — Devinette avec gateau (1) — Pizza coupe en 7 avec 3 coup de couteau (1) — Couper cercle 8 (1) — Cest une surface dont on cherche le rayon pour trouver le volume. qui suis-je? (1) — Comment faire des parts egales d un gateau (1) — Comment calculer le volume d un gateau (1) — Partager en huit parts en trois coups (1) — Enigme 2 petites pizza pour le meme prix qu une grand (1) — Comment tracer un carre qui decoupe un cercle selon 4 cordes de longueurs egales a la moitie du cote du carre (1) — Surface cherche le rayon trouver volume (1) — Calculs part gateau (1) — Dessiner une pizza avec volume (1) — Calcul air cercle gateau (1) — Cercle coupe en 24 triangle (1) — Solution enigme partage ce drole de gateau (1) — Quelle est la surface dont on cherche le rayon pour trouver un volume ? (1) — Le rayon du cercle circonscrit est-il inferieur a la longueur de chaque cote du triangle (1) — Quels doivent etre les deux rayons de coupe pour obtenir trois parts egales ? 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