A priori oui Ebichu , en décroisant on réduit la longueur mais on risque quand même de perdre le caractère de boucle , c'est pour cette raison que j'ai ajouté cette hypothèse .

La boucle la plus courte passant par tous les points est-elle toujours simple ?

C'est peut-être vrai , je n'ai pas de contre-exemple ni de démonstration en tête

Vasimolo

Ha non, pardon, on peut mieux faire ; je vais retenter ma chance.

Nous avons le même résultat

Il n'y a en fait que deux positions en conflit , il faut choisir entre la diagonale et la médiatrice . La multiplicité des parcours se réduit assez vite à deux positions clés en considérant des permutations de longueurs .

Pour la pire des dispositions , il est amusant de remarquer que c'est celle qui égalise les couleurs du triangle :



Vasimolo

PS : Oui pour les boucles , inutile de préciser qu'elles doivent être propres .

Une solution sans démo et sans calcul

On hésite entre les deux configurations suivantes : quatre points sur les sommets du carré , les deux autres sur une même médiatrice ou une même diagonale et symétriques par rapport au centre du carré .



Dans les deux cas on a le choix entre deux trajectoires une bleue et une rouge , les segments noirs représentant les parties communes . La trajectoire rouge croît et la bleue décroît quand les points libres s'approchent du centre , il y a donc un seul point assurant l'équilibre . La disposition décrite dans le deuxième carré donne le meilleur résultat et ceci quand le point libre est environ à 11,3 cm du coin , la longueur totale du coulis est alors de 91,43 cm .

On peut trouver les valeurs exactes mais les expressions avec radicaux ne sont pas franchement agréables .

Merci à Ebichu pour sa participation

Il n’intéressent vraiment pas grand monde ces problèmes

Je vais tout de même en proposer un dernier dans le même style avec un peu plus de temps et en évitant de donner trop d'indices .

J'avais proposé ce même problème ( le prochain ) à un autre site sous une forme légèrement différente ( sans succès encore une fois ) .

Vasimolo