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 #1 - 23-05-2017 22:53:05

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,117E+3

Gâteu 132

Une variante du précédent toujours dans l'esprit du parcours du maire .

Comment placer au pire six mures sur un gâteau carré de 20 cm de côté de façon à ce que la plus courte des boucles de coulis passant par ces points soit maximale ?

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau132.png

Une autre façon de voir : il faut placer les mures pour que le pâtissier procédant au mieux dépense un maximum de coulis .

La boucle doit-être simple ( sans croisement ou point double ) .

Amusez-vous bien smile

Vasimolo



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 #2 - 24-05-2017 16:12:50

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 691

Gâteau 13

Dis-moi si je me trompe, mais tu n'as pas besoin de l'hypothèse que la boucle est simple : une boucle avec croisement ou point double est toujours plus longue qu'une autre qui n'en a pas (grâce à l'inégalité triangulaire).

 #3 - 24-05-2017 17:50:55

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,117E+3

Gâteauu 132

A priori oui Ebichu , en décroisant on réduit la longueur mais on risque quand même de perdre le caractère de boucle , c'est pour cette raison que j'ai ajouté cette hypothèse .

La boucle la plus courte passant par tous les points est-elle toujours simple ?

C'est peut-être vrai , je n'ai pas de contre-exemple ni de démonstration en tête sad

Vasimolo

 #4 - 24-05-2017 18:15:51

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 691

Gâtaeu 132

Tu as deux façons de décroiser : si tu vois un X entre 4 sommets, soit tu le remplaces par =, soit par ||. Dans les deux cas, c'est plus court, et l'une des deux façons (et l'une uniquement) donne une boucle.

Mais revenons à nos moutons. Sur un gâteau de côté 1, je placerais 4 mûres aux coins du gâteau, une au centre, et la dernière sur une ligne parallèle à un côté du gâteau et passant par le centre, à une distance [latex]\frac{2\sqrt{2}-1}{7}[/latex] du centre.

Ce qui est magique, c'est qu'il y a alors 4 façons différentes (il y en a plus en comptant les symétries) de tracer une boucle minimale ! Une telle boucle mesure [latex]\frac{4\sqrt{2}+26}{7}[/latex], soit près de 90,45 cm.

À supposer que c'est la meilleure façon de procéder, reste encore à le démontrer.

 #5 - 24-05-2017 18:25:02

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 691

Gâteau 1132

Ha non, pardon, on peut mieux faire ; je vais retenter ma chance.

 #6 - 24-05-2017 19:10:56

Ebichu
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 691

Gâteau 13

Sur un gâteau de côté 1, je placerais 4 mûres aux coins du gâteau, et deux sur la même diagonale, chacune à une distance [latex]d=\frac{5\sqrt{2}+6-\sqrt{22-4\sqrt{2}}}{7}[/latex] d'un coin.

Ce qui est magique, c'est qu'il y a alors 3 façons différentes (il y en a plus en comptant les symétries) de tracer une boucle minimale ! Une telle boucle mesure [latex]4+2\sqrt{2}-4d[/latex], soit près de 91,43 cm.

À supposer que c'est la meilleure façon de procéder, reste encore à le démontrer.

 #7 - 25-05-2017 11:19:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Gâteau 1322

Nous avons le même résultat smile

Il n'y a en fait que deux positions en conflit , il faut choisir entre la diagonale et la médiatrice . La multiplicité des parcours se réduit assez vite à deux positions clés en considérant des permutations de longueurs .

Pour la pire des dispositions , il est amusant de remarquer que c'est celle qui égalise les couleurs du triangle :

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau132triangle.png

Vasimolo

PS : Oui pour les boucles , inutile de préciser qu'elles doivent être propres .

 #8 - 25-05-2017 12:02:07

Ebichu
Expert de Prise2Tete
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Messages : 691

Gâteaau 132

Attention, tu es en train de spoiler pour les autres joueurs smile

 #9 - 26-05-2017 23:16:58

Vasimolo
Le pâtissier
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Messages : 5,117E+3

Gâtea 132

Une solution sans démo et sans calcul smile

On hésite entre les deux configurations suivantes : quatre points sur les sommets du carré , les deux autres sur une même médiatrice ou une même diagonale et symétriques par rapport au centre du carré .

http://www.prise2tete.fr/upload/Vasimolo-gateau132solution.png

Dans les deux cas on a le choix entre deux trajectoires une bleue et une rouge , les segments noirs représentant les parties communes . La trajectoire rouge croît et la bleue décroît quand les points libres s'approchent du centre , il y a donc un seul point assurant l'équilibre . La disposition décrite dans le deuxième carré donne le meilleur résultat et ceci quand le point libre est environ à 11,3 cm du coin , la longueur totale du coulis est alors de 91,43 cm .

On peut trouver les valeurs exactes mais les expressions avec radicaux ne sont pas franchement agréables .

Merci à Ebichu pour sa participation wink

Il n’intéressent vraiment pas grand monde ces problèmes sad

Je vais tout de même en proposer un dernier dans le même style avec un peu plus de temps et en évitant de donner trop d'indices .

J'avais proposé ce même problème ( le prochain ) à un autre site sous une forme légèrement différente ( sans succès encore une fois lollollollollol) .

Vasimolo

 

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