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 #1 - 04-07-2012 15:52:15

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Dés 55

Bonjour à tous smile

Dans l'énigme précédente je parlais d'un exercice qui m'avait inspiré Dés 4 .

Voilà le problème :

On construit un cube avec 27 petits cubes blancs et on le peint en rouge . On détruit le cube avant de le construire en réarrangeant les petits cubes .

Quelle est la probabilité pour que le cube soit maintenant entièrement blanc ?

http://img801.imageshack.us/img801/3039/65504726.jpg

Bon courage !!!

Vasimolo

PS : Le problème est plus simple si on suppose que le cube reconstitué reste rouge ( ça peut servir d'échauffement  ).
PPS : j'ai ajouté une case réponse sous le format *,**X10E-**



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 #2 - 04-07-2012 15:56:24

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,474E+3

fés 5

Pour le cas où on le reconstruit en rouge :


Dans ce cas, on prie d'abord pour que

le cube central se retrouve au centre

1/27   Avec une correction de 1/1 pour ses rotations possibles

Puis que les 8 coins soient dans les coins :

8/26 
7/25
6/24
5/23
4/22
3/21
2/20
1/19

chacun avec 1/8 chance de le mettre avec le bon sommet apparent

Idem avec les centres des faces

6/18
5/17
4/16
3/15
2/14
1/13

et des probabilités de 1/6 pour la face visible

restent les 12 arêtes

12/12
...
2/2
1/1

Et des probabilités de 1/12 pour l'arête visible.

Bon, si on multiplie tout ça, on tombe (sauf erreur) sur

1 chance sur  5 465 062 811 999 459 151 238 583 897 240 371 200

soit 1,8298.... 10^-35 % de chance que cela arrive.


Pour le reconstruire en blanc, euh ...???

En admettant que chaque pièce soit équiprobablement une des 27 mais là je suis loin d'être sûr de moi, je tente :

1 x (8/27)^8 x (18/27)^6 x (12/27)^12  =( 2/3) ^54

soit 30,979 10^-11%

 #3 - 04-07-2012 15:59:52

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

déd 5

Chapeau Gwen , ça c'est de la réponse rapide lol

Reste le problème du cube blanc smile

Vasimolo

 #4 - 05-07-2012 16:25:37

ThomasLRG
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 31

Dé s5

Bonjour,

Je trouve une probabilité pour que le cube soit tout blanc de 5820898959553312439787647/156144651771413118606816682778296320

Soit environ 3.73x10^-11

Je serais curieux de savoir si on trouve le même résultat, l'explication du calcul étant assez fastidieuse :p

Thomas

 #5 - 05-07-2012 17:59:37

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2955

DDés 5

M'a l'air coton, celui là....

 #6 - 05-07-2012 23:07:20

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Dsé 5

Une proposition de Gwen et une de Thomas pour le cube blanc , avec la mienne ça nous fait trois résultats lol

Je ne suis pas du tout convaincu d'avoir la bonne réponse , le calcul demandant une très grande méticulosité smile

Vasimolo

 #7 - 06-07-2012 11:06:24

ThomasLRG
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 41
Messages : 31

Dés

Voici mon calcul, l'écrire proprement permettra peut être d'y voir une erreur :

Quelques définitions
J'appelle cube de type C un cube placé au centre du gros cube (un cube de type C est donc tout blanc) et un emplacement de type C la place au centre du cube.
De même je défini les cubes et les emplacements de type M, A et S avec M pour milieu d'une face, A pour arête et S pour sommet.

Ainsi, un cube de type M a 1 face peinte, un cube de type A a 2 face adjacentes peintes et un cube de type S a 3 faces adjacentes peintes.
Il y a 1 cube de type C
        6 cubes de type M
        12 cubes de type A
        8 cubes de type S


La probabilité que le cube soit tout blanc dépend de la répartition du nombre de cube de chaque type parmi les emplacements de chaque type. (la probabilité qu'un cube apparaissent blanc sur une Arête par exemple ne dépend que de son type, si on connait le nombre de cube de type Sommet placé sur une Arête, on peut déterminer la proba que ces cubes là apparaissent blancs)
J'appelle "répartition" la donnée des 16 nombres correspondants (nombre de cubes de type C, M, A ou S parmi les emplacements de type C, M, A ou S)

Par informatique, je calcule 6858 répartitions possibles.


Principe général du calcul
On peut tracer un arbre de probabilités, les premières branches correspondants à chacune des 6858 répartitions possibles, les branches suivantes correspondants aux évenements "le cube est tout blanc" et "le cube n'est pas tout blanc".

Ainsi d'après cet arbre, si on détermine pour chaque répartition sa fréquence d'apparition et la probabilité que le cube soit blanc sachant cette répartition, on obtient la proba voulue (la somme des produits de ces 2 nombres)


Fréquence d'appartition d'une répartition
La fréquence d'apparition est le nombre de fois qu'elle apparait divisée par 27! le nombre de possibilités de placer chacun des 27 cubes (sans tenir compte de leurs 24 possibilités de rotations qui se simplifient car ne dépendent pas du type d'emplacement choisi)

Sur un exemple (une répartition = 16 nombres) :

                        "[C,M,A,S]"
Emplacements C [0,1,0,0]  : il y a 1 cube de type M
Emplacements M [1,2,3,0] : il y a 1 cube C, 2 cubes M et 3 cubes A sur un Milieu
Emplacements A [0,2,8,2] : 2 cubes M, 8 cubes A, 2 cubes S placés sur une Arête
Emplacements S [0,1,1,6] : 1 cube M, 1 cube A et 6 cubes S placés sur un Sommet

(A constater sur cet exemple que la somme de chaque ligne correspond bien au nombre d'emplacement de chaque type : 1, 6, 12 et 8. Mais aussi que la somme en colonne correspond au nombre de cubes de chaque type 1,6,12 et 8)

Pour calculer le nombres de répartitions qui correspondent à celle ci :
On choisi 1 cube de type M parmi les 6 à placer sur la premiere ligne multiplié par toutes les possibilités d'arrangement de ce cube : C(6,1) x 1!
On choisi alors 1 cube de type C parmi 1, 2 cubes de type M parmi 5 (6 - celui choisi à la premiere ligne), 3 cubes de types A parmi 12 multiplié par le nombre de façon de les placer : C(1,1)xC(2,5)xC(3,12)x6!
On choisi ensuite 2 cubes M parmi les 3 restants, 8 cubes A parmi les 9 restants, 2 cubes S parmi 8 et on arrange : C(2,3)xC(8,9)xC(2,8)x12!
Les derniers cubes sont nécessairement pour la derniere ligne, qu'il faut arranger : 8!
Finalement le nombre de possibilités est de C(6,1) x 1!xC(1,1)xC(2,5)xC(3,12)x6!xC(2,3)xC(8,9)xC(2,8)x12!x8!

On peut donc calculer de la même façon la fréquence d'apparition de chaque répartition.

Probabilité que le cube soit blanc sachant la répartition
Etant donné une répartition, la probabilité que le cube soit blanc est le produit des probabilité que chaque petit cube apparaisse blanc. Détaillons par emplacements :
Pour les emplacements de type C (centre du cube) la probabilité est 1
Pour les emplacements de type M :
      pour un cube de type M la probabilité est 5/6
      pour un cube de type A la probabilité est 4/6
      pour un cube de type S la probabilité est 3/6
Pour les emplacements de type A :
      pour un cube de type M la probabilité est 4/6
      pour un cube de type A la probabilité est 10/24
      pour un cube de type S la probabilité est 6/24
Pour les emplacements de type S :
      pour un cube de type M la probabilité est 3/6
      pour un cube de type A la probabilité est 6/24
      pour un cube de type S la probabilité est 3/24

Par exemple la probabilité que le cube soit blanc pour la répartition donnée en exemple précédemment est
   (5/6)^2 x (2/6)^3
x (4/6)^2 x (10/24)^8 x (6/24)^2
x (3/6)^1 x (6/24)^1 x (3/24)^6

Conclusion
Reste a parcourir les 6858 répartitions puis pour chacune calculer la fréquence et la probabilité qu'elle forme un cube blanc. Un petit coup de Maple (pas si simple en fait...) et je trouve 3.727888784e-11

Thomas

 #8 - 06-07-2012 17:07:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Dés

@Thomas

A quelques détails près nos approches sont les mêmes . Comme j'ai fait les calculs à la main je fais plutôt confiance à ton résultat smile

Je vais quand même essayer de reprendre mes calculs pour débusquer la faute yikes

Vasimolo

 #9 - 06-07-2012 17:34:49

Franky1103
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Dé 5

Je trouve une probabilité supérieure à 1: ça doit être faux big_smilebig_smile

 #10 - 07-07-2012 10:06:59

nodgim
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Déés 5

J'avance le chiffre de 2,66*10^-11. C'est rigoureusement non garanti.

Méthode: les dés peints sur une seule face se trouvent 8/27 de fois sur des emplacements d'angles, 6/27 sur des milieux de faces, etc..Avec pour chaque type d'emplacement une proba particulière. Idem pour les dés peints sur 2 et 3 faces. Ne reste plus ensuite qu'à multiplier toutes ces probas.

 #11 - 08-07-2012 08:06:36

nodgim
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déd 5

Comme pour Dé6, j'avais négligé le dé central dans mon calcul. En le remettant, ça augmente un peu et surtout ça donne un résultat rond:
(2/3)^54
A comparer avec le (1/2)^54 du problème précédent....

 #12 - 08-07-2012 11:11:20

Vasimolo
Le pâtissier
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Dés

@Nodgim

Il me semble que tu calcules la probabilité pour que le cube reste rouge ce qui est beaucoup plus simple que de le rendre blanc smile

Vasimolo

PS : j'ai commencé à reprendre mes calculs , si mes résultats sont en accord avec ceux de Thomas j'ouvre une case réponse et j'ajoute un peu de temps .

 #13 - 08-07-2012 11:21:55

nodgim
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déq 5

Non, non, j'ai bien calculé pour avoir un cube blanc !

 #14 - 08-07-2012 11:41:32

nodgim
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Déés 5

Détail du calcul:
Tableau de proba de présenter du blanc pour un dé peint sur 1,2 ou 3 faces et placé sur un sommet S, un milieu d'arête A ou un milieu de face F:
        F       A      S 
D1  5/6    2/3    1/2
D2  2/3    5/12   1/4
D3  1/2    1/4     1/8

un dé est placé en moyenne 6/27 fois en F, 12/27 fois en A, 8/27 fois en S et 1/27 fois au centre C.

Proba moyenne de ne présenter que des faces blanches visibles pour un dé:
D0=1
D1= (6/27)(5/6)+(12/27)(2/3)+(8/27)(1/2)+(1/27)=2/3
D2= (6/27)(2/3)+(12/27)(5/12)+(8/27)(1/4)+(1/27)=(2/3)²
D3= (6/27)(1/2)+(12/27)(1/4)+(8/27)(1/8)+(1/27)=(2/3)^3
Proba générale:
(2/3)^6*((2/3)²)^12*((2/3)^3)^8=(2/3)^54

 #15 - 09-07-2012 20:31:43

Vasimolo
Le pâtissier
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Ds 5

J'ai retrouvé mon erreur et je confirme le résultat de Thomas que j'ai ajouté en case réponse smile

Gwen et Nodgim , vous avez le même calcul qui fournit une estimation du résultat mais toutes les probabilités que vous combinez sont loin d'être indépendantes !!!

Un grand bravo à Thomas qui ne s'est pas perdu dans un calcul plutôt malin wink

Vasimolo

 #16 - 10-07-2012 18:12:14

nodgim
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Dés

J'ai bien compris cela dès le départ. Je suis impatient de connaitre l'écart entre l'estimation et le réel. Il ne devrait pas être très important...

 #17 - 12-07-2012 23:02:48

Vasimolo
Le pâtissier
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Dé s5

Ce dé n'était pas un cadeau yikes

Je vous renvoie à la solution de Thomas qui rejoint la mienne ( après correction ) .

Il faut aimer compter les epsilons pour prendre plaisir à l'énigme mais je sais qu'il y en a qui adorent ( ça m'arrive aussi , ... , parfois smile )

Les estimations "à la louche" sont plutôt "moyennes" lol 

Merci pour la participation !

Vasimolo

 #18 - 13-07-2012 18:05:12

nodgim
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Dés 55

Estimation Gwen/Nodgim=3,1 *10^-10
Calcul détaillé= 3,7 *10^-11.

ça fait tout de même un gros écart. Un rapport de 1 à 8.

Le plus drôle est que j'ai utilisé les mêmes raccourcis de Thomas pour désigner les emplacements (dans le problème voisin): CMSA.

 

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