Voici mon calcul, l'écrire proprement permettra peut être d'y voir une erreur :
Quelques définitions
J'appelle cube de type C un cube placé au centre du gros cube (un cube de type C est donc tout blanc) et un emplacement de type C la place au centre du cube.
De même je défini les cubes et les emplacements de type M, A et S avec M pour milieu d'une face, A pour arête et S pour sommet.
Ainsi, un cube de type M a 1 face peinte, un cube de type A a 2 face adjacentes peintes et un cube de type S a 3 faces adjacentes peintes.
Il y a 1 cube de type C
6 cubes de type M
12 cubes de type A
8 cubes de type S
La probabilité que le cube soit tout blanc dépend de la répartition du nombre de cube de chaque type parmi les emplacements de chaque type. (la probabilité qu'un cube apparaissent blanc sur une Arête par exemple ne dépend que de son type, si on connait le nombre de cube de type Sommet placé sur une Arête, on peut déterminer la proba que ces cubes là apparaissent blancs)
J'appelle "répartition" la donnée des 16 nombres correspondants (nombre de cubes de type C, M, A ou S parmi les emplacements de type C, M, A ou S)
Par informatique, je calcule 6858 répartitions possibles.
Principe général du calcul
On peut tracer un arbre de probabilités, les premières branches correspondants à chacune des 6858 répartitions possibles, les branches suivantes correspondants aux évenements "le cube est tout blanc" et "le cube n'est pas tout blanc".
Ainsi d'après cet arbre, si on détermine pour chaque répartition sa fréquence d'apparition et la probabilité que le cube soit blanc sachant cette répartition, on obtient la proba voulue (la somme des produits de ces 2 nombres)
Fréquence d'appartition d'une répartition
La fréquence d'apparition est le nombre de fois qu'elle apparait divisée par 27! le nombre de possibilités de placer chacun des 27 cubes (sans tenir compte de leurs 24 possibilités de rotations qui se simplifient car ne dépendent pas du type d'emplacement choisi)
Sur un exemple (une répartition = 16 nombres) :
"[C,M,A,S]"
Emplacements C [0,1,0,0] : il y a 1 cube de type M
Emplacements M [1,2,3,0] : il y a 1 cube C, 2 cubes M et 3 cubes A sur un Milieu
Emplacements A [0,2,8,2] : 2 cubes M, 8 cubes A, 2 cubes S placés sur une Arête
Emplacements S [0,1,1,6] : 1 cube M, 1 cube A et 6 cubes S placés sur un Sommet
(A constater sur cet exemple que la somme de chaque ligne correspond bien au nombre d'emplacement de chaque type : 1, 6, 12 et 8. Mais aussi que la somme en colonne correspond au nombre de cubes de chaque type 1,6,12 et 8)
Pour calculer le nombres de répartitions qui correspondent à celle ci :
On choisi 1 cube de type M parmi les 6 à placer sur la premiere ligne multiplié par toutes les possibilités d'arrangement de ce cube : C(6,1) x 1!
On choisi alors 1 cube de type C parmi 1, 2 cubes de type M parmi 5 (6 - celui choisi à la premiere ligne), 3 cubes de types A parmi 12 multiplié par le nombre de façon de les placer : C(1,1)xC(2,5)xC(3,12)x6!
On choisi ensuite 2 cubes M parmi les 3 restants, 8 cubes A parmi les 9 restants, 2 cubes S parmi 8 et on arrange : C(2,3)xC(8,9)xC(2,8)x12!
Les derniers cubes sont nécessairement pour la derniere ligne, qu'il faut arranger : 8!
Finalement le nombre de possibilités est de C(6,1) x 1!xC(1,1)xC(2,5)xC(3,12)x6!xC(2,3)xC(8,9)xC(2,8)x12!x8!
On peut donc calculer de la même façon la fréquence d'apparition de chaque répartition.
Probabilité que le cube soit blanc sachant la répartition
Etant donné une répartition, la probabilité que le cube soit blanc est le produit des probabilité que chaque petit cube apparaisse blanc. Détaillons par emplacements :
Pour les emplacements de type C (centre du cube) la probabilité est 1
Pour les emplacements de type M :
pour un cube de type M la probabilité est 5/6
pour un cube de type A la probabilité est 4/6
pour un cube de type S la probabilité est 3/6
Pour les emplacements de type A :
pour un cube de type M la probabilité est 4/6
pour un cube de type A la probabilité est 10/24
pour un cube de type S la probabilité est 6/24
Pour les emplacements de type S :
pour un cube de type M la probabilité est 3/6
pour un cube de type A la probabilité est 6/24
pour un cube de type S la probabilité est 3/24
Par exemple la probabilité que le cube soit blanc pour la répartition donnée en exemple précédemment est
(5/6)^2 x (2/6)^3
x (4/6)^2 x (10/24)^8 x (6/24)^2
x (3/6)^1 x (6/24)^1 x (3/24)^6
Conclusion
Reste a parcourir les 6858 répartitions puis pour chacune calculer la fréquence et la probabilité qu'elle forme un cube blanc. Un petit coup de Maple (pas si simple en fait...) et je trouve 3.727888784e-11
Thomas
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