Soient [latex]k_1;k_2;......;k_n[/latex] les n étiquettes

Supposons que les [latex]k_{n-1}[/latex] nombres soient alignés
alors [latex]\sum_{i=1}^{i=n-1}k_i=0[/latex] et pour tout i entre 1 et n-1 [latex]k_i+k_n=0[/latex] ce qui implique que pour tout i entre 1 et n-1 [latex]k_i=-k_n[/latex] d'où [latex]\sum_{i=1}^{i=n-1}k_i=\sum_{i=1}^{i=n-1}-k_n=nk_n[/latex] poisque n est fini alors cela implique [latex]k_n=0[/latex] et donc pour tout i entre 1 et n-1 [latex]k_i=-k_n=-0=0[/latex]

Supposons qu'il y en ait au moins 2 [latex]k_i[/latex] qui ne soient pas alignésalors on peut trouver au minimum n+1 équations du type à [latex]k_{i_1}+...+k_{i_j}=0[/latex] à n inconnues ce qui implique forcemant que la seule solution est le couple (0;0;.....;0)

Donc forcément dans tous cas les[latex]k_i=0[/latex]

je crois que oui,
on note que le plus petits nombres tel que les points ne sont pas tous aligné est 3 points.

procédons par recurence :
-pour 3 points
il y a 3 droites : AB AC BC, en resolvant le system
a+b=0
b+c=0
a+c=0
on trouve facilement a=b=c=0.


-lorsque l'on rajoute un nouveau point 2 cas s'offre a nous :
#1 il n'est sur aucune droite pre existante, pour calculer sa valeur on peut se résumer à 2 autres points+le nouveau, et tout comme le cas initial on a une unique solution : tous nul.
#2 si il est sur une droite pre existantes, prenons un point exterieur a cette droite.
on a alors
|somme de points sur la droite = 0
|et pour chaque point de la droite:
|valeur du point sur la droite + le point exterieur = 0.
en résolvant ce system on obtient que tous les points sont égale a zéro.

par récurrence, on a donc que c'est égale a 0 pour tout nombre de points.

Pour Harfang:
Je suis d'accord avec toi s'il n'y a que deux (et seulement deux) points.  Cependant l'énoncé du problème "sonne" plus général.
Quant à moi, je pense que toutes les étiquettes doivent être nécéssairement nulles.
J'attends avec impatience la réponse de Vasimolo.
.

Je finis l'explication .

On note [latex]S[/latex] la somme de toutes les étiquettes et [latex]e[/latex] l'étiquette d'un point [latex]E[/latex] quelconque de l'ensemble . Il y a [latex]n>1[/latex] droites passant par [latex]E[/latex] et au moins un autre point étiqueté et si on ajoute les étiquettes sur ces droites on obtient [latex]S+(n-1)e=0[/latex] donc [latex]S=e(1-n)[/latex] . La formule est valable quelque soit le point [latex]E[/latex] , [latex]n[/latex] dépend de [latex]E[/latex] mais [latex]1-n[/latex] est toujours strictement négatif ce qui entraîne que [latex]S[/latex] et [latex]e[/latex] sont toujours de signes contaires ce qui est impossible sauf si [latex]S[/latex] et [latex]e[/latex] sont nuls .

Vasimolo