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 #1 - 01-02-2012 21:41:57

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Jeu e main ...

... pas forcément jeu de vilains smile

J'espère que ce jeu n'a jamais été proposé, j'ai un peu cherché mais sans grande efficacité à mon avis ...

Un collègue l'autre jour m'a proposé ce petit jeu, qui se jouer à 2 : il vous suffit d'avoir une main (5 doigts), et votre cerveau (ou pas lol)

A la manière du Shifumi, les 2 joueurs montrent avec leurs doigts un chiffre compris en 1 et 5 :

- si les 2 chiffres ont une différence égale à 1, celui qui a donné le plus petit chiffre marque la somme des deux chiffres.
- si les 2 chiffres ont une différence supérieure strictement à 1, celui qui a donné le plus grand marque la différence des deux chiffres
- si les 2 chiffres sont les mêmes, personne ne marque.

Je me suis donc posé la question : quelle stratégie adopter !

Quelques idées pour répondre à la question:

- c'est un jeu à somme nulle (facile à montrer)
- la stratégie optimale à adopter doit donc respecter ce principe : il faut empêcher l'adversaire d'avoir une espérance de gain positive (l'autre fera pareil, par symétrie).
- introduire du hasard dans le choix des chiffres (donc probabilités), de manière à trouver la stratégie optimale

J'ai refait les calculs 2 fois, donc je pense qu'ils sont bons, mais on ne sait jamais !
La case réponse valide la fréquence à laquelle il vaut mieux jouer le chiffre 5.

J'ai trouvé les résultats étonnants ! Je n'avais pas forcément cette intuition, peut-être aurez-vous plus de nez que moi big_smile

(si l'énoncé n'est pas assez clair, je suis tout ouïe !)



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 #2 - 01-02-2012 23:59:50

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

jeu fe main ...

Je trouve qu'il faut jouer le 5 à une fréquence de 1/66.

 #3 - 02-02-2012 00:22:56

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

jei de main ...

Comme moi smile
Et les autres chiffres ?

 #4 - 02-02-2012 00:53:41

titoufred
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 20
Messages : 1746

Jeu e main ...

Voici les fréquences que je trouve pour avoir un jeu inexploitable :

fréquence de 1 : 10/66
fréquence de 2 : 26/66
fréquence de 3 : 13/66
fréquence de 4 : 16/66
fréquence de 5 : 1/66

Le problème, c'est que lorsque l'on est inexploitable, notre adversaire ne peut pas mal jouer car notre espérance de gain est de 0, quoi qu'il fasse.
C'est comme à chifoumi, où il faut jouer 1/3 de chaque, mais la tactique n'est jamais gagnante non plus.

 #5 - 02-02-2012 01:25:44

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

Jeu de main ..

Merci pour la précision : on parle ici de stratégie inexploitable, car si elle ne nous fait pas perdre d'argent, elle ne nous en fait pas gagner non plus.
J'ai les mêmes valeurs, et celle du chiffre 2 m'étonne, je ne l'aurais pas intuitée.

 #6 - 02-02-2012 07:18:02

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
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Lieu: UK

Jeu dee main ...

Il est possible que je ne sois pas encore bien reveillé mais je ne trouve pas que le jeu soit à somme nulle. Je suppose que les mains sont equiprobables et cela donne les gains suivants

Code:

jeu       score
J1   J2   J1   J2
5    1    0    4
5    2    0    3
5    3    0    2
5    4    9    0
5    5    0    0
4    1    0    3
4    2    0    2
4    3    7    0
4    4    0    0
4    5    9    0
3    1    0    2
3    2    5    0
3    3    0    0
3    4    7    0
3    5    0    2
2    1    3    0
2    2    0    0
2    3    5    0
2    4    0    2
2    5    0    3
1    1    0    0
1    2    3    0
1    3    0    2
1    4    0    3
1    5    0    4
        48    32

Le gain du joueur 1 (J1) est de 48 points alors que celui de J2 est seulement de 32 lorsque toutes les mains sont jouées. Du coup la stratégie gagnante est d’être le plus petit. big_smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #7 - 02-02-2012 08:04:49

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Jeu de main ..

Tu ne mets pas le score dans la bonne colonne, de temps en temps big_smile Allez, cafés !!!

 #8 - 02-02-2012 08:52:39

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Jeu de main ....

Cafés bus! Bien mon tableau est un peu plus clair avec des entêtes mais je ne vois pas d'erreur... pourrais-tu préciser quelle ligne est fausse?


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 02-02-2012 09:23:54

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 479
Lieu: Ardèche

Jeu de mani ...

Si la stratégie est appliquée par les deux joueurs, ce qu'il faut supposer, on a :

E(gain)=p1(-3p2+2p3+3p4+4p5)+p2(3p1-5p3+2p4+3p5) + etc...

E()=espérance mathématique
p1=probabilité de jouer 1
p2=probabilité de jouer 2
.....

En diagonalisant la matrice, on trouve le seul vecteur propre réel qui, une fois normalisé à p1+p2+p3+p4+p6=1, donne

p1=10/66
p2=26/66
p3=13/66
p4=16/66
p5=1/66           validé par la case réponse

NB pour diagonaliser la matrice, j'ai utilisé Wolfram Alpha
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ei … %2C0%7D%7D

 #10 - 03-02-2012 20:28:44

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Lieu: Paris

Je ude main ...

Oui halloduda, j'ai pareil smile

franck je te réponds en MP

 #11 - 03-02-2012 20:53:22

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

jei de main ...

Je crois avoir compris smile

Quand tu dis le plus petit des deux, tu ne parles pas de la taille des joueurs mais du moindre nombre de doigts ... C'est pas un problème de café mais de français big_smile


The proof of the pudding is in the eating.

 #12 - 03-02-2012 20:56:28

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

jeu de maun ...

Aaaaaah ok !!!!!
Je précise l'énoncé au cas où wink

 #13 - 04-02-2012 10:18:10

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

jeu de mzin ...

Jouer 1 peut faire gagner 3 ou perdre 2, 3, 4 -> perte totale : -6 en 5 parties
Jouer 2 peut faire gagner 5 ou perdre 3, 2, 3 -> perte totale : -3 en 5 parties
Jouer 3 peut faire gagner 2 ou 7 et perdre 5, 2 -> gain total : +2 en 5 parties
Jouer 4 peut faire gagner 3, 2 ou 9 et perdre 7 -> gain total : +7 en 5 parties
Jouer 5 peut faire gagner 4, 3, ou 2 et perdre 9 -> total nul : 0 en 5 parties

Il faut maintenant donner un poids à chaque chiffre. Je propose de donner la somme des gains potentiels moins la moyenne des pertes des autres cas (je ne sais pas encore trop pourquoi, j'affinerai plus tard):
1 : 3-3=0
2 : 5-8/3=7/3
3 : 9-7/2=11/2
4 : 14-7=7
5 : 9-9=0

Pour obtenir des nombres entiers, je multiplie par 6 donc :
1:0
2:14
3:33
4:42
5:0

Soit un total de 89.

Finalement, en pourcentage :

1: 0%
2: 115.7%
3: 37.1%
4: 47.2%
5: 0%

 #14 - 04-02-2012 13:19:56

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2991
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Jeu dee main ...

1ere etape:
on joue tous les 2 au hasard. Je m'apercois que
- si je joue 1, je perd en moyenne 1.5 point
- si je joue 1, je perd en moyenne 0.75 point
- si je joue 1, je gagne en moyenne 0.5 point
- si je joue 1, je gagne en moyenne 1.75 point
- si je joue 1, je gagne en moyenne 0 point
2eme etape:
  je vais commencer a jouer le 4 pour gagner.
  mon adversaire s'en apercoit rapidement, et il va jouer le 3 pour contrer.
3eme etape
  si il joue le 3, je vais jouer le 2.
4eme etape,
  si je joue le 2, il va jouer le 1 ou le 5.
5eme etape:
  si il joue le 1 je joue le 5 pour gagner 4
  si il joue le 5 je joue le4 pour gagner 9
  comme pour lui jouer le 5 est plus risqué, il va probablement jouer le 1. mais dans tous les cas jouer le 4 est plus benefique et moins risqué en moyenne que jouer le 5.

Etape 6:
je fini donc par alterner entre jouer le 2 et le 4.
quand mon adversaire s'en apercoit il peut:
- soit adopter une strategie de jouer pareil 2 et 4, mais en jouant le 4 plus frequement
- soit jouer le 1 et 3, mais en alternant irregulierement et en jouant le 3 plus frequement.

je pense qu'il n'y a pas de strategie unique ca depent beaucoup de ce que l'on imagine notre adversaire va jouer et de combien de niveaux d'enticipation on suppose que chacun utilise.

je pense aussi que le 5 n'a aucun interet, sauf si notre adversaire joue le 4 moins de 25% du temps.

en résumé, tout depend de


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #15 - 04-02-2012 16:01:30

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1988
Lieu: Paris

jru de main ...

De bonnes idées pour golgot et dhrm, proches des valeurs théoriques.

Ces dernières peuvent être obtenues en introduisant des probabilités de jouer chacun des 5 chiffres, a priori différentes pour les 2 joueurs. En calculant l'espérance de gain d'un des 2 joueurs, il suffit ensuite de la minimiser ou de la maximiser, selon le point de vue.

 

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