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 #1 - 08-09-2013 18:33:00

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 303
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de Grand-Pèr : N°5

Salut à tous,
Une feuille rectangulaire de longueur L et de largeur l est pliée suivant une de ses diagonales pour donner la figure ci-dessus.

http://www.prise2tete.fr/upload/kossi_tg-Rectangle.jpg

Quel est le périmètre p du pentagone ABCDE en fonction de L et l?

Application numérique: L=70 et l=45. Réponse à valider dans la case réponse avec 3 chiffres après la virgule. Utilisez le point comme séparateur décimal.

Merci pour votre participation.



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 #2 - 08-09-2013 19:17:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2813
Lieu: Luxembourg

Le vieux dossier de Grand-Père : °5

Par symétrie, on a: BC=CD, que l'on va appeler x.
Le triangle ABC est rectangle en B: on a donc:
(L-x)²=x²+l², ce qui donne x=L/2-l²/2L
Le périmètre vaut donc: P=V(L²+l²)+2l+L-l²/L
AN: L=70 et l=45 donnent P=214.288 env.
Merci pour ces petites énigmes sympathiques.

 #3 - 08-09-2013 21:00:02

nolina
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 25
Messages : 17

Le vieux doossier de Grand-Père : N°5

Désolée, je ne sais pas me servir d'un clavier... smile Toutes mes racines carrées seront donc écrites comme ceci : V(...) . Et mes carrés seront : {2}

Le périmètre de ce pentagone est égal à AB+BC+CD+DE+EA.
*DE = AB = l
*Le triangle ABE est rectangle. Donc d'après le théorème de Pythagore:
AE= V(L{2}+l{2})
* On sait que CD=BC Appelons cette longueur x.
dans le triangle CDE, rectangle en D
CE{2}=DE{2}+CD{2}
(L-x){2}=l{2}+x{2}
L{2} - 2xL + x{2} = l{2}+x{2}
2xL=L{2} - l{2}
x= (L{2} - l{2})/2

Donc P(ABCDE)= 2l + (L{2} - l{2}) + V(L{2}+l{2})

Avec l'exemple numérique P(ABCDE) = 214,288

 #4 - 08-09-2013 21:23:26

cogito
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 593

Le vieux dsosier de Grand-Père : N°5

Bonsoir smile

Le périmètre du pentagone ABCDE est AB + BC + CD + DE + EA.

Nous avons [latex]AB = DE = l[/latex]

Pythagore donne [latex]EA = \sqrt{L^2+l^2}[/latex].

Les triangles ABC et EDC sont isométriques (car ils ont leurs angles égaux et les côtés AB et ED de même longueur). Donc en particulier BC=CD.

Posons donc [latex]x=BC=CD[/latex].2*45 + 70 - {45^2\over70} +\sqrt{45^2 + 70^2}

Le périmètre de ABCDE est donc :
[TeX] l + x + x + l +  \sqrt{L^2+l^2} = 2(l+x) +\sqrt{L^2+l^2}[/TeX]
Pythagore dans ECD, par exemple donne :
[TeX]x^2+l^2 = (L-x)^2[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow x^2 + l^2 = L^2 -2Lx + x^2[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow l^2 = L^2 -2Lx[/TeX]
[TeX]\Leftrightarrow x = {L^2 - l^2\over 2L}[/TeX]
Ce qui fait que le périmètre de ABCDE est :
[TeX]2(l+{L^2 - l^2\over 2L}) +\sqrt{L^2+l^2} = 2l + L -{l^2\over L}+\sqrt{L^2+l^2}[/TeX]
Donc pour L=70 et l = 45 , le périmètre de ABCDE est :
[TeX]2*45 + 70 - {45^2\over70} +\sqrt{45^2 + 70^2} = 160 - {45 * 9\over 14} + \sqrt{2025 +4900}[/TeX][TeX]= 160 - {405\over 14} + 5\sqrt{277} \simeq 214,288[/TeX]
Voilà smile.


Il y a sûrement plus simple.

 #5 - 08-09-2013 21:49:33

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 303
Lieu: Montargis

Le vvieux dossier de Grand-Père : N°5

Que de bonnes réponses smile
BRAVO à tous!

 #6 - 09-09-2013 12:31:17

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 699

Le vieux dossiier de Grand-Père : N°5

La réponse est [latex]214.288[/latex]
Plus précisément le périmètre est donné par la fonction
[TeX]P(L,l)=2l+\frac{L^2-l^2}{L}+\sqrt{L^2+l^2}[/TeX]
Or [latex]P(70,45) = 214.288013456894...[/latex]
Voilà !

Preuve
On pose  [latex]\tan a=\frac{l}{L},\ \tan b=\frac{L}{l}\ \ [/latex]   donc [latex]a+b=\frac{\pi}{2}[/latex] .
Alors
[TeX]BC=l\,\tan(b-a)=l\,\frac{\tan b -\tan a}{1+\tan a\tan b}[/TeX][TeX]BC = l\,\frac{\frac{L}{l}-\frac{l}{L}}{1+\frac{l}{L}\frac{L}{l}} = \frac{L^2-l^2}{2L}[/TeX]
De plus par Pythagore [latex]AE=\sqrt{L^2+l^2}[/latex]
Donc
[TeX]P(L,l)=2\,AB+2\,BC+AE[/TeX]
[TeX]P(L,l)=2\,l+\frac{L^2-l^2}{L}+\sqrt{L^2+l^2}[/TeX]
[TeX]\square[/TeX]

 #7 - 09-09-2013 16:58:45

JulesV
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 15
Messages : 52

Le vieux dossier de GrandPère : N°5

Notons x la longueur BC.
Étant donné que la symétrie conserve les angles, ACB et ECD sont des triangles de même longueur (on peut le montrer juste en considérant l'angle droit et les deux angles du triangle rectangle), on a [latex]x=BC=CD[/latex].

On a aussi:

AB²+CD²=(AD-CD)²

soit
[TeX]l²+x²=(L-x)²[/TeX]
soit
[TeX]x= \frac{L²-l²}{2L}[/TeX]
Finalement, [latex]p=\sqrt{L²+l²}+2l+\frac{L²-l²}{L}[/latex]

Avec [latex]l=45[/latex]  et  [latex]L=70[/latex],
[TeX]p=5\sqrt{277}+\frac{1835}{28} \simeq 214.288[/TeX]
smile

 #8 - 09-09-2013 22:42:03

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 303
Lieu: Montargis

Le viieux dossier de Grand-Père : N°5

BRAVO à tous!

 #9 - 11-09-2013 11:36:13

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,641E+3

Le vieux dossier de Grand-Père : N5

AE=rac(L^2 +l^2)
AB=ED=l

BC=CD=x

(L-x)^2 = l^2 +x^2
L^2-2Lx+x^2=l^2+x^2
x=(L^2 - l^2)/2L

Périmètre : rac (l^2+L^2) +2l + (L^2-l^2)/L

L=70
l=45

P = 83,21658488+90+41,0714285714= 214,288

 #10 - 11-09-2013 19:06:36

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
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Messages : 303
Lieu: Montargis

Le vieux dossier de rand-Père : N°5

BRAVO à tous et MERCI pour votre participation

 

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