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 #1 - 24-02-2012 19:10:00

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

deôles d'équations :

Trouvé sur un site internet que je donnerai à la fin des 72h.

Résoudre [latex]x^{x^3}=3[/latex].
Que peut-on dire de(s) solutions des équations du type [latex]x^{x^{x^{.}^{{.}^3}}}=3[/latex] et peut-on généraliser pour tout exposant n avec n entier? (c'est à dire [latex]x^{x^n}=n[/latex] et [latex]x^{x^{x^{.}^{{.}^n}}}=n[/latex])

Bon amusement, et bon courage.

Shadock smile

EDIT : J'avais oublié la puissance dans la case réponse.



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Réponse :

"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline
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 #2 - 24-02-2012 23:35:14

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Drlôes d'équations :

Je sais pas exactement ce que tu attendais comme écriture dans la case réponse mais je pense dire juste.
Spoiler : [Afficher le message]
La solution de x^3=3 est x=3^(1/3) ou racine cubique de 3.
Or c'est aussi la solution de x^(x^3) car (3^(1/3))^((3^(1/3))^3)=(3^(1/3))^3=3
Il en va donc de même pour les x^x^x^x^x^x^x...^3.

On peut généraliser pour x^x^n=n.
En effet même raisonnement:

La solution de x^n=n est x=n^(1/n) ou racine nième de n.
Or c'est aussi la solution de x^(x^n) car (n^(1/n))^((n^(1/n))^n)=(n^(1/n))^n=n
Il en va donc de même pour les x^x^x^x^x^x^x...^n.



désolé je ne savais pas faire apparaitre en écriture puissance donc un x² je l'ai écris x^2 (je n'ai que la touche ² sur mon clavier)

 #3 - 25-02-2012 03:04:39

Azdod
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 763
Lieu: In this universe ... !!

Drôles d'équatios :

Il est évident que ; [latex]\sqrt[3]{3}[/latex] est une solution! reste à démontrer qu'elle est la seule


"Zero is where everything starts ! Nothing would ever be born if we didn't depart from there"

 #4 - 25-02-2012 10:27:32

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Drôles d'équatinos :

On voit tout de suite que les solutions de [latex]x^3=3[/latex] sont aussi solutions de [latex]x^{x^3}=3[/latex].

soit 1, j, j² fois [latex]\sqrt[3]3[/latex]     ([latex]j=\sqrt[3]1[/latex] complexe)

je n'ai pas touvé quoi mettre dans la case réponse.
WolframAlpha ne trouve pas d'autres racines.

Ça doit pouvoir être généralisé à n quelconque, on ne voit pas pourquoi non.

 #5 - 25-02-2012 11:55:45

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Drôles d'équtions :

Toutes ces équations admettent l'unique solution [latex]3^{1/3}[/latex]

En géneralisant, on a aussi l'unique solution [latex]n^{1/n}[/latex]

 #6 - 25-02-2012 13:26:24

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Drôlse d'équations :

Les réponses sont justes, mais le plus dur ce n'est pas de les trouver, mais la démonstration qui va avec.

Shadock wink


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #7 - 25-02-2012 19:06:40

DeepSpeedou2.5
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 28
Messages : 17
Lieu: Chez Les Bretons !

rôles d'équations :

Désolé d'avance pour la présentation de sagouin... cool

On s'met tranquilou sur R+* et on passe en forme exponentielle...

e( x^3 * ln(x) ) = 3
x^3 * ln(x) = ln(3)
1/3 * x^3 * ln(x^3) = ln(3)

On pose X=x^3 et on va montrer que X=3 ( enfin j'espère big_smile )

X/3 * ln(X) = ln(3)
ln(X^(X/3)) = ln(3)
X^(X/3) = 3
X^X=27

Et la je bloque... hmm
Peut-être une étude des fonctions, je cherche, je cherche...

Un truc comme f strictement croissante sur [1;+8[ de plus f(3)=27 [...]
Donc X=3 et x=3^(1/3)

Rholalala, que je ne suis pas propre dans mon raisonnement ! lol

J'abandonne pour le reste cool

 #8 - 27-02-2012 11:36:26

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Drôles d'équatinos :

Étonnant en effet comme propriété ! On trouve x = [latex]3^{1/3}[/latex]

Et c'est effectivement généralisable : si x = [latex]n^{1/n}[/latex], alors :    [latex]x^{x^{x^{^{...1/n}}}[/latex]  [latex]= n[/latex]
Quant à le démontrer, faut pas pousser trop loin le bouchon quand même lol !

 #9 - 27-02-2012 17:51:27

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

Drôles d'équatiosn :

Amusant aussi celle-ci.

x est forcément positif si on veut rester dans les réels (ce que je suppose).
Vu la forme de l'équation, je pose [latex]x=3^\alpha[/latex].

L'équation devient:
[latex]3^{\alpha.3^{3\alpha}}=3[/latex] soit [latex]\alpha.3^{3\alpha}=1[/latex].
Ici aussi [latex]\alpha[/latex] doit être positif et vu la forme, je pose:
[latex]\alpha=3^{\beta}[/latex].
L'équation devient:
[latex]3^{\beta+3^{\beta+1}}=1[/latex], d'où: [latex]\beta+3^{\beta+1}=0[/latex].

En étudiant [latex]f(x)=x+e^{(x+1)ln3}[/latex] on s'aperçoit qu'elle est est strictement croissante (dérivée strictement positive).
Il ne peut donc n'y avoir une valeur [latex]\beta[/latex] telle que [latex]f(\beta)=0[/latex].
Cette valeur est d'ailleurs strictement négative (car f(0)>0).

Or une solution (relativement) évidente est [latex]\beta=-1[/latex].

C'est donc la seule solution qui donne pour solution de l'équation initiale [latex]\sqrt[3]{3}[/latex] qui se vérifie aisement.

On généralise sans aucune difficulté le premier cas [latex]x^{x^n}=n[/latex] à [latex]\sqrt[n]{n}[/latex].
Le deuxième semble plus délicat.

Merci pour cette énigme.

 #10 - 27-02-2012 19:30:52

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

Drôle d'équations :

On peut même généraliser à C :

Les solutions sont les
[TeX]e^{\frac{2ik\pi}n}.n^{\frac1n}[/TeX]
k variant entre 0 et n-1.

Pour n pair, on a 2 solutions réelles :
[TeX]-n^{\frac1n},n^{\frac1n}[/TeX]

 #11 - 27-02-2012 20:18:24

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1374
Lieu: Coutiches

drôlrs d'équations :

Hmmm, pas simple !

alors x^(x^3)=3
(x^3).ln(x)=ln3
(x^3).ln(x^3)=3.ln3

on pose X=x^3

X.lnX=3.ln3

On voit effectivement de suite que X=3 est solution, d'où x=3^(1/3).

Ensuite on pose f(X)=X.lnX définie sur R+*

f'(X)=lnX+1
f'<0 sur ]0;1/e[,
f'=0 en 1/e
f'>0 sur ]1/e;+oo[

lim (X->0;f(X))=0
Comme f est décroissante sur ]0;1/e[, f(X)=3.ln3 n'a donc pas de solution sur ]0;1/e[

f est monotone sur ]1/e;+oo[, donc X=3 est bien seule solution à f(X)=3.ln3

De même g(x)=x^3 est strictement croissante sur R, donc x=3^(1/3) est la seule solution.

 #12 - 27-02-2012 21:22:04

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3313

Drôles d'éqquations :

Bon vous pourrez y remarquer que mes lectures sont en anglais big_smile

A family of equations

La solution proposée un peu plus bas sur la page est un peu tirée par les cheveux mais à le mérite d'être assez claire.

Bien sur Bravo à tous ceux qui on trouvé et merci à L00ping007 pour sont extension qui me donne envie d'aller danser wink

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #13 - 27-02-2012 22:00:21

L00ping007
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1986
Lieu: Paris

drôles d'équatiins :

lol

http://www.discountpresse.com/images/collections/FP60602.jpg

 

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