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 #1 - 03-09-2012 19:05:28

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Echecs 144

Le problème précédent m'en a rappelé un autre avec deux compteurs cette fois-ci mad

Un robot est posé sur un nœud de l'échiquier avec ses deux compteurs à 0 :

http://img442.imageshack.us/img442/9822/robot1.jpg

Il se déplace sur les lignes bordant les cases en s'arrêtant à chaque nœud . Selon la direction du déplacement qu'il vient d'effectuer ses compteurs vont se modifier de la façon suivante :

Déplacement vers le nord , A est incrémenté de +1 : A:=A+1
Déplacement vers le  sud  , A est incrémenté de  -1 : A:=A-1
Déplacement vers   l' est   , B est incrémenté de +A : B:=B+A
Déplacement vers  l'ouest  , B est incrémenté de -A  : B:=B-A

Il se déplace comme il l'entend à condition de finir son parcours sur la case de départ et de ne jamais repasser sur un autre nœud qu'il a déjà rencontré . On remarquera que s'il tombe dans un cul de sac , il peut faire machine arrière sans problème , ses compteurs seront rétablis comme si rien ne s'était passé .

http://img411.imageshack.us/img411/3772/robot2k.jpg

Mais que mesurent ces deux compteurs ?

Bon amusement smile

Vasimolo

PS : Comme souvent j'ai appuyé sur "envoyer" au lieu de "prévisualisation" , désolé pour les victimes de mon charabia hmm

PPS : le robot ne tourne pas , il ne fait que des translations .

Indice : Spoiler : [Afficher le message] Qu'affichent les compteurs si le robot fait le tour d'un rectangle de côtés a et b ?



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 #2 - 03-09-2012 19:49:41

Christian91
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 89
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evhecs 14

J'avais commencé à répondre :

A rien sinon poser des problèmes ?
D'ailleurs il peut se mettre dans une situation qui lui empêche de retrouver son point de départ.

avant que la marche arrière soit ajoutée à l'énoncé. Avec celle-ci le robot peut osciller indéfiniment entre 2 points (un cul de sac et le précédent).
Les compteurs représentent la résultante de ses déplacements, si tous les 2 sont à zéro alors il est à son point de départ, et il a fermé sa trajectoire. Oui et alors ? On a la réponse (plus exactement un moyen de raisonnement) et il faut lui trouver la question ?

Autre question, quand on a fait un pas en arrière (seulement autorisé en cas de cul de sac), peut-on en faire un autre même si on n'est plus dans un cul de sac ?

 #3 - 03-09-2012 19:54:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Echces 14

@Christian : Spoiler : [Afficher le message] le problème du cul de sac est anecdotique , la question est de savoir ce qu'indiquent les compteurs à la fin du parcours smile.

Vasimolo

 #4 - 03-09-2012 20:35:53

Christian91
Passionné de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 89
Lieu: 91

echexs 14

Ben alors j'ai répondu.
Je croyais que la question était :

Mais à quoi peut bien servir ce robot ?

 #5 - 03-09-2012 20:36:20

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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zchecs 14

Ca me rappelle l'histoire d'un gars qui habitait....

Il marche 1km vers le sud, 1km vers l'est, 2km vers le sud, 3 km vers l'ouest, 1 au nord, 4 à l'ouest, 1 au nord, 1 à l'est et 1 au nord et il revient à son point de départ...

De quelle couleur est l'ours ?  Bizarrement il a marché 5 km de plus vers l'ouest que vers l'est...

 #6 - 03-09-2012 20:55:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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echevs 14

Disons , que mesurent les compteurs du robot smile

Vasimolo

 #7 - 03-09-2012 21:00:31

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
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Ecehcs 14

La moitié des allers retours inutiles s'il était allé tout droit ? lol

 #8 - 03-09-2012 23:02:55

franck9525
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Lieu: UK

rchecs 14

En fin de parcours, le b indique la surface contenue dans la boucle parcourue, le signe depend de l'orientation de la boucle.

Le robot ne doit pas couper son chemin.


The proof of the pudding is in the eating.

 #9 - 03-09-2012 23:30:17

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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exhecs 14

En effet Franck ( j'ai précisé que le robot ne repassait pas par un nœud déjà visité ) , tu saurais le prouver ?

Vasimolo

 #10 - 04-09-2012 00:00:13

franck9525
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EEchecs 14

Lors de chaque déplacement latéral, est ou ouest, une mesure de la hauteur de la colonne est ajoutée ou soustraite au compteur B. Le compteur A est cette hauteur.
Prenons la boucle inverse aux aiguilles, avec une position initiale au point le plus sud comme sur la figure. Le premier déplacement latéral vers la droite indique une aire de 1 sous la colonne, le second déplacement latéral vers la gauche  de (3;1) à (3,-2) donne une colonne de -3 ce qui donne une aire de 2 si le boucle se refermait.

Une démonstration par récurrence pourrait être plus rigoureuse qu'une explication.


The proof of the pudding is in the eating.

 #11 - 04-09-2012 10:31:05

Christian91
Passionné de Prise2Tete
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Lieu: 91

Echecs 144

Incroyable comme j'ai mal lu l'énoncé ! tongue... (peut être seulement à la relecture de sa 2e version). Bon je me reboote CTR ALT DEL.
C'est plus intéressant smile

 #12 - 04-09-2012 13:18:34

halloduda
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rchecs 14

A l'arrivée, le compteur A est à zéro, le compteur B indique l'aire de la zone délimitée par le chemin emprunté, positive si décrit dans le sens horaire, négative sinon.

 #13 - 04-09-2012 18:11:10

Vasimolo
Le pâtissier
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cEhecs 14

Oui Halloduda smile Pourquoi ?

Vasimolo

 #14 - 05-09-2012 18:18:39

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
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Echecs 4

J'ai ajouté un indice dans le message initial smile

Plusieurs ont trouvé ce qu'affichent les compteurs , mais pourquoi ?

Je n'ai pas vu de justification complète pour le moment .

Bon amusement smile

Vasimolo

 #15 - 05-09-2012 19:02:25

nodgim
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echrcs 14

Sans doute faut il prouver que:
1)le nombre de cases prisonnières à l'intérieur de la boucle est de n-1 pour un carré comprenant 2n*2n noeuds.
2) que le compteur compte justement ce nombre de boucles.

ça se prouve mais je soupçonne qu'il y a une belle astuce qui résout ça en moins de 2....

 #16 - 05-09-2012 19:08:49

Franky1103
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Lieu: Luxembourg

Echcs 14

Bon ok, si le robot fait le tour d'un rectangle de côtés a et b, les compteurs vont afficher ( 0 ; a x b = surface du rectangle ). Hhhmmm, je reviendrai plus tard.

 #17 - 05-09-2012 19:18:07

Vasimolo
Le pâtissier
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rchecs 14

@ Nodgim : cherche quelque chose de plus simple .
@ Franky : tu as le doigt dessus .

Vasimolo

 #18 - 05-09-2012 19:25:30

nodgim
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Ecehcs 14

Eh, Vasimolo, de plus simple que quoi ? Je n'ai rien dit ou presque...
Tu veux dire que le compteur a un autre usage ?

 #19 - 05-09-2012 19:29:51

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 144

Oui , les compteurs affichent quelque chose qu'on peut définir d'un mot ( pratiquement ) . Le plus difficile est de le prouver smile

Vasimolo

 #20 - 06-09-2012 19:51:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 1

Maintenant que tout le monde sait que le compteur A affiche 0 ( ça ne surprend personne ) et que le compteur B affiche l'aire du encerclée par le robot . Comment justifier l'affichage ce deuxième compteur autrement que par :"ça marche pour un rectangle donc ça doit marcher pour tout le monde" smile

Vasimolo

 #21 - 06-09-2012 21:15:59

gwen27
Elite de Prise2Tete
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Messages : 5,474E+3

Echecs 144

Avec le pôle nord ?  en ramenant le probleme à une cible, on a des déplacements unitaires et on compte juste des carreaux, non ?

 #22 - 06-09-2012 22:55:00

Vasimolo
Le pâtissier
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Ecehcs 14

Pourquoi pas ! Mais il faudrait expliquer comment fonctionne ta cible ou tes déplacements autour du pôle .

Pour le moment c'est un peu P2T smile

Vasimolo

 #23 - 07-09-2012 18:53:51

nodgim
Elite de Prise2Tete
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exhecs 14

J'avais bien deviné aussi la solution, Vasi, pourquoi m'avoir dit le contraire ?
J'ai indiqué en plus le nombre de cases insérées dans la boucle.
Car il faut que le nombre de noeuds soit pair, n'est ce pas, pour faire une boucle sans en oublié un seul ?
On démontre assez facilement que la boucle enserre un couloir d'une case de large, avec, selon le dessin, des ramifications possibles.
On peut prouver le comptage, mais je soupçonne, comme je l'ai dit au début, qu'il y a une courte astuce qui le démontre...

 #24 - 07-09-2012 19:16:42

Vasimolo
Le pâtissier
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Echecs 114

nodgim a écrit:

Sans doute faut il prouver que:
1)le nombre de cases prisonnières à l'intérieur de la boucle est de n-1 pour un carré comprenant 2n*2n noeuds.
2) que le compteur compte justement ce nombre de boucles.

Désolé je n'avais pas compris . Pourquoi ne pas dire simplement que le 2ème compteur donne l'aire délimitée par la trajectoire du robot .

Je n'ai procédé comme ça et je ne fais pas de différence entre les cas pairs et impairs . Mon idée est assez simple à comprendre mais elle n'est pas très propre . Je préfère ne pas la donner tout de suite , pour ne pas tuer dans l'oeuf de meilleures approches .

Vasimolo

 #25 - 07-09-2012 19:20:39

nodgim
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Echces 14

Euh...je ne comprends pas bien comment finir une boucle avec un nombre impair de noeuds.

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