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 #1 - 11-10-2010 17:23:34

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

La loterie Aglotienne

La loterie Anglotienne possède un système étrange.
On inscrit une mise jusqu'a 100 piècanciennes dans les deux cases.
On élève au carré le montant de la 1ere case.
On élève au cube le montant de la seconde case.
On multiplie les 2 produits entre eux si le bulletin est gagnant.
Quelle est la plus grande somme que l'on puisse éspèrer avoir?
Ex:
3pieceanciennes et 97pieceanciennes
9*912673=8214057 le gagnant aura cette somme.



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 #2 - 11-10-2010 17:42:49

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

lz loterie anglotienne

Je trouve 691 200 000 pour 40 et 60 pièces sur les premières et deuxièmes cases smile

Vasimolo

Edit : justification x nombre de pièces sur la deuxième case :

T(x)=2x^3(100-x)² , T'(x)=10x²(x-60)(x-100) donc T maximal quand x=60 .

 #3 - 11-10-2010 21:30:32

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

La ltoerie Anglotienne

On inscrit une mise jusqu'a 100 piècanciennes dans les deux cases.

[latex]x[/latex] dans la première case, [latex]100-x[/latex] dans la deuxième.

On élève au carré le montant de la 1ere case.

[latex]x^2[/latex]

On élève au cube le montant de la seconde case.

[latex](100-x)^3[/latex]

On multiplie les 2 produits entre eux si le bulletin est gagnant.

Gain dans ce cas : [latex]G(x) = x^2 (100-x)^3[/latex]

Quelle est la plus grande somme que l'on puisse éspèrer avoir?

Une condition nécessaire pour que [latex]G[/latex] soit maximal est [latex]G'(x) = 0[/latex] soit
[TeX]G = u v[/latex] avec [latex]u(x) = x^2[/latex] et [latex]v(x) = (100-x)^3[/TeX]
Alors [latex]u'(x) = 2 x[/latex] et [latex]v'(x) = -3 (100-x)^2[/latex]
[TeX]G' = u v' + v u'[/latex] soit
[latex]G'(x) = -3 x^2 (100-x)^2 + 2 x (100-x)^3 = x (100-x)^2 (-5x + 200)[/TeX]
On veut donc [latex]x(100-x)^2(-5x+200) = 0[/latex]. Comme [latex]x[/latex] est forcément non nul et différent de [latex]100[/latex] (sinon [latex]G(x) = 0[/latex]), il reste la possibilité [latex]x=40[/latex] qui donne un gain de 345 600 000 pièçanciennes. Si tu préfères parler de gain net, il faut juste retirer les 100 pièces qui ont été misées au départ, mais ce serait chipoter.




Un petit problème rafraîchissant, mais duquel on peut tirer une loi générale...

Soit maintenant une loterie dans laquelle on peut miser N pièces, une des deux parts étant élevée à la puissance a, l'autre à la puissance b, et les deux multipliées ensemble, en cas de gain. Donc [latex]G(x) = x^a (N-x)^b[/latex].
[TeX]G = u v[/latex] avec [latex]u(x) = x^a[/latex] et [latex]v(x) = (N-x)^b[/TeX]
Alors [latex]u'(x) = a x^{a-1}[/latex] et [latex]v'(x) = - b (N-x)^{b-1}[/latex]
[TeX]G' = u v' + v u'[/latex] soit
[latex]G'(x) = - b x^a (N-x)^{b-1} + a x^{a-1} (N-x)^b = x^{a-1} (N-x)^{b-1} (aN-(a+b)x)[/TeX]
Le maximum est donc obtenu avec [latex]x = \frac{a}{a+b} N[/latex], c'est-à-dire en distribuant la mise de départ proportionnellement aux exposants appliquées à chacune de ses parties. C'est ce que nous avons fait dans l'énigme de départ, avec les exposants 2 et 3 (leur somme est donc 5) : 2/5 pour la somme qu'on met au carré, 3/5 pour la somme mise au cube.

On peut démontrer, je pense, qu'il en serait de même avec un partage de la somme en trois parts : c'est juste bien plus fastidieux car cela implique la maximisation d'une fonction à deux variables sur le triangle de coordonnées [latex](x,y)[/latex] telles que [latex]0 \leq x \leq N[/latex] et [latex]0 \leq y \leq N - x[/latex]. J'ai une flemme incroyable lol


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 #4 - 11-10-2010 22:45:20

luthin
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 36
Messages : 124

la loterie anglotuenne

On obtiendra la somme maximale avec la mise maximale, soit 100 piecanciennes!
Si [latex]x[/latex] est la mise dans la première case, alors il suffit d'étudier la fonction définie par:
[TeX]f(x)=x^2(100-x)^3[/TeX]
On trouve qu'elle passe par un maximum pour [latex]x=40[/latex].
Il faut donc miser 40 dans la première case et 60 dans la deuxième.

 #5 - 11-10-2010 22:56:30

franck9525
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1922
Lieu: UK

La loteire Anglotienne

soit a de 0 à 100
le nombre de pieces que l'on peut gagner est [latex]f(a)=a^2(100-a)^3[/latex]
qui admet un maximum en misant 40 pieces sur la premier case et 60 sur la seconde pour ainsi emporter 345 600 000

note:
40 est racine de [latex]f'(a)=a(-5a^3+1200a^2-9*100^2a+2*100^3)[/latex]


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 12-10-2010 16:00:21

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

La loteriie Anglotienne

Appelons x le nombre de pièces sur la 1ere case.
Le nombre de pièces que l'on gagne est: [latex]n(x)=x^2(100-x)^3[/latex]
Cherchons les extrema de cette fonction:
[TeX]n'(x)=2x(100-x)^3-3x^2(100-x)^2[/TeX]
[TeX]n'(x)=0 \Leftrightarrow x=0, x=100 \text{ ou } 2(100-x)=3x[/TeX]
Les extrema sont donc atteint en 0, 100 et 40. Les 2 premiers annulent n(x) et ne nous concernent donc pas. Le 3ème est celui qu'on cherche: 40 pièces sur la 1ère case et 60 sur la 2ème pour un gain de 345600000 pièces.

Merci pour cette "énigmette" smile
PS: Hourra: j'ai trouvé comment écrire du texte à peu près normal à l'intérieur d'une balise [latex]: \text{}

 #7 - 12-10-2010 16:33:07

Klimrod
Elite de Prise2Tete
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Messages : 3764
Lieu: hébesphénorotonde triangulaire

la loterie anglotiznne

Bonjour,

Appelons [latex]n[/latex] le nombre de jetons dans la 2ème case. Comme on ne va pas faire de petites économies, on va placer les [latex]100-n[/latex] jetons restants dans la 1ère case.

Si notre numéro est gagnant, on va donc gagner [latex]G = n^3*(100-n)^2[/latex].
Soit [latex]G=n^3*(n^2-200n+10000)=n^5-200n^4+10000n^3[/latex] (tout ça parce que j'ai la flemme de faire des dérivées composées roll.

Pour trouver les optimum, il faut dériver la fonction et chercher les points où la dérivée s'annule :
[TeX]5n^4 -800n^3+30000n^2 = 0[/TeX]
Ensuite on cherche les 4 racines (dont 2 sont égales à zéro), puis on prend les entiers les plus proches et on teste chaque gain. Si la fonction est croissante pour n=100, on teste aussi le gain pour n=100.
On ne retient que le gain le plus élevé (n=0, n=100 et n de chaque côté des deux racines de la dérivée), mais j'ai la flemme et je ne crois pas que ce soit une énigme.

CQFT (ce qu'il fallait trouver).
Klim.


J'ai tant besoin de temps pour buller qu'il n'en reste plus assez pour bosser. Qui vit sans folie n'est pas si sage qu'il croit.

 #8 - 12-10-2010 16:42:50

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

La loterrie Anglotienne

Je ne dois pas avoir compris l'astuce de l'énoncé hmm
Il me semble que le plus haut résultat est obtenu en mettant 100 piècanciennes dans chaque case...
Soit 10000000000...

Qu'est-ce que je n'ai pas compris ?


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #9 - 12-10-2010 17:00:11

Promath-
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

la moterie anglotienne

lesinge malicieux, la somme des deux nombre est 100


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 #10 - 13-10-2010 03:37:31

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

la loteroe anglotienne

Bonjour
En misant 40 sur la première case et 60 sur la deuxième, le montant gagné en cas de tirage du bulletin est maximal et se monte à 345600000.

Démonstration :

soit x le montant misé sur la première case, (100-x) sur la deuxième
On veut maximiser G(x) = x² * (100-x)^3 sur l'intervalle [1,99]

Cherchons les valeurs de x pour lesquelles la dérivée G' de G s'annule sur l'intervalle [1,99]

G'(x) = (100-x)² * x * (200-5x)

200-5x = 0 -> x = 40

Ce point d'inflexion est un maximum de G.
(détail de la démonstration contre 12 timbres)

Bonne journée,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #11 - 13-10-2010 03:50:34

LeSingeMalicieux
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1298
Lieu: Haute-Marne

La loterie Anglotiene

Merci Promath-, j'étais passé à côté de cette condition.

Le meilleur résultat sera obtenu en plaçant 40 piècanciennes sur la première case et 60 sur la seconde (fait avec tableur).

J'imagine que c'est trouvable en dérivant et étudiant la fonction f(x) pour trouver son maximum sur [0;100]
f(x)  =  x^3 * (100-x)²
=  x^3 * (100² - 200x + x²)
=  x^5 - 200 x^4 + 100² x^3


Avoir quatre mains, c'est plus pratique pour taper sur un clavier.

 #12 - 13-10-2010 05:34:25

Lagaway
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 23
Messages : 34
Lieu: Colombie

la loterie anglitienne

Bonjour à tous,

si je devais parier à cette loterie, je placerai ma mise de la façon suivante :

40 pièces dans le premier pot et 60 pièces dans le second

Pourquoi ?

Soit la fonction f qui décrit le montant de la loterie en fonction de x (le nombre de jetons joués dans le premier pot) :

f(x) = x^2 * (100-x)^3 , pour x entier appartenant à l'intervalle [0;100]

Soit f'(x) la dérivée de f(x) sur le même intervalle. f'(x) admet 2 racines triviales x=0 et x=100 et également une troisième racine pour x=40 qui correspond au maximum de la fonction f.

Pour gagner gros, il faut donc répartir ses pièces 40/60, on peut alors espérer gagner 345,600,000 !!! (c'est mieux que l'euromilion lol)

 #13 - 13-10-2010 12:07:21

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

La loteri eAnglotienne

si on prend la fonction f(x)=[latex]x^2(100-x)^3[/latex] on a f'(x)=[latex]2x(100-x)^3-3x^2(100-x)^2=x(100-x)^2(200-5x)[/latex] et donc prendra ses min et son max quand la derivée s'annule c'est à dire pour x=0 ou x=100 ou x=40

si x=0ou x=100 f(x)=0
si x=40 alors f(40)=[latex]40^2 \times 60^3=1600\times216000=345600000[/latex]

cas général
si on prend la fonction f(x)=[latex]x^2(a-x)^3[/latex] on a f'(x)=[latex]2x(a-x)^3-3x^2(a-x)^2=x(a-x)^2(a-5x)[/latex] et donc prendra ses min et son max quand la derivée s'annule c'est à dire pour x=0 ou x=a ou x=[latex]a\over 5[/latex]

donc il faudra prendre la partie entiere de [latex]a\over 5[/latex] ou de [latex]{a\over 5}+1[/latex] pour trouver le max

 #14 - 13-10-2010 16:51:29

Nicouj
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 27
Messages : 330

la loteeie anglotienne

n = le nombre de pièces sur la seconde case.
gain = (n-100)^2*n^3

dérivée toussa => max pour n = 60

Donc 40 pièces dans la première case et 60 dans la deuxième et gain max = 345600000

 #15 - 13-10-2010 18:05:00

Promath-
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 1416
Lieu: Au fond de l'univers

la lotrrie anglotienne

bon, et pour 200 piecesanciennes


Un promath- actif dans un forum actif

 #16 - 13-10-2010 19:06:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

La loterie Angloienne

Le meilleur joueur du forum (en toute modestie) a écrit:

Le maximum est donc obtenu avec [latex]x = \frac{a}{a+b} N[/latex], c'est-à-dire en distribuant la mise de départ proportionnellement aux exposants appliquées à chacune de ses parties.

Avec N=200 (et toujours a=2 et b=3), même partage : 80 pièces d'un côté, 120 de l'autre, et un gain maximal à 80^2 120^3 pièçanciennes soit un peu plus de 11 milliards... soit un rapport entre la mise et le gain maximal possible qui est, à la louche, dans les 10 fois celui d'un Super-Loto (où le gain est de l'ordre de la dizaine de millions d'euros pour une grille à deux euros). Pas mal...


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 #17 - 13-10-2010 19:13:00

FRiZMOUT
Verbicruciste binairien
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Messages : 2209

La loteie Anglotienne

Pour 100 : 345600000 avec 40 et 60.
Pour 200 : 11059200000 avec 80 et 120.

 #18 - 13-10-2010 19:29:35

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

La lotrie Anglotienne

Et pour 300 , 400 , 500 , ...

Et si tu nous laissais d'abord voir les réponses apportées au premier problème smile

Vasimolo

 #19 - 13-10-2010 20:03:26

scrablor
Expert de Prise2Tete
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Messages : 931

a loterie Anglotienne

Selon http://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2%28100-x%29^3 , max{x^2 (100-x)^3} = 345600000  at  x = 40


Celui qui fuit les casse-tête ne vaut pas un clou.

 #20 - 14-10-2010 07:21:01

McFlambi
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 144

la lotetie anglotienne

on a donc
[TeX]S(x)=x^3(x-100)^2=x^3(x^2-200x+10000)=x^5-200x^4+10000x^3[/latex],

que je derive en
[latex]5x^4-800x^3+30000x^2=x^2(5x^2-800x+30000)[/latex],

qui s'annule en
[latex]\frac{800\pm200}{10}=80\pm20=60 ou 100[/TeX]
comme x=0 ou x=100 donne 0, cest que la strategie optimale est entre les deux, et donc en 60.

et on gagne 60^3*40^2 = 345'600'000
http://www.prise2tete.fr/upload/McFlambi-save.pdf

 #21 - 14-10-2010 07:52:04

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
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Messages : 1745

La loterie Angllotienne

Pour 200 cases / pièces

x= montant misé sur la première case

G(x) = x² * (200-x)^3 sur l'intervalle [1,199]

G'(x) = (200-x)² * x * (400-5x)

On trouve 80 / 120 pour un gain maximal de 11059200000

A bientôt,


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #22 - 15-10-2010 07:00:07

franck9525
Elite de Prise2Tete
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La loteire Anglotienne

scrablor a écrit:

Selon http://www.wolframalpha.com/

superbe site, j'adore smile merci


The proof of the pudding is in the eating.

 #23 - 15-10-2010 07:03:50

franck9525
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la moterie anglotienne

Le meilleur joueur du forum (en toute modestie) a écrit:

qu'il aille se faire pendre par la langue et qu'on lui coupe le bout des doigts pour lui apprendre une certaine humilité mad

La crevette, c'est un peu comme le ver de terre, ça repousse non?


The proof of the pudding is in the eating.

 #24 - 15-10-2010 09:23:14

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Lieu: Rouen

aL loterie Anglotienne

franck9525 a écrit:

qu'il aille se faire pendre par la langue et qu'on lui coupe le bout des doigts pour lui apprendre une certaine humilité

Le message est clair lol
Mais non, hélas, je ne repousse pas de partout. Par exemple, si on m'arrache, euh... non, pas d'exemple, en fait, ça va être dégueulasse.

PS : si un joueur curieux commence par ce topic pour voir à quoi ressemble le forum, je crois qu'il n'ira pas plus loin lol


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