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 #1 - 22-06-2012 21:36:00

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Aire d'un trangle

Voici un énoncé que les chinois donnent à l'entrée de lycée.
Soit OAB un quart de cercle de centre O et de rayon OA=OB=2cm
Soit C un point de l'arc de cercle et D milieu du segment[AC] et E milieu du segment [BC]


1) On suppose que AC=1cm, combien vaut l'aire du triangle ODE
2) Généralisation: On pose AC=x, Exprimer l'aire du triangle ODE en fonction de x



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 #2 - 23-06-2012 00:46:50

gilles355
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 416

Aire d'nu triangle

http://www.prise2tete.fr/upload/gilles355-ARCCERCLE.jpg


Je vais utiliser pour ce problème :
La relation entre les 4 droites remarquables d'un triangle isocèle issues du sommet isocèle(4ème)
Le théorème des milieux (4ème)
Le théorème de Pythagore(3ème)
de la trigonométrie (3ème)
La formule cos(a-b) (1ère S)
La formule de Héron pour calculer l'aire d'un triangle quelconque connaissant les trois longueurs du triangle (1ère S)

D'après l'énoncé nous savons que OA=OB=2cm
Puisque C appartient au quart de cercle on en déduit OC=2cm
Puisque nous avons un quart de cercle, le triangle OAB est rectangle en O, d'après le théorème de Pythagore on a AB=2 racine de 2
D'après le Théorème des Milieux on en déduit aussi que DE=1/2AB, DE=racine de 2

1) Cas où AC=1cm

a)Calcul de OD

D milieux de [AC] donc AD=1/2
Le triangle OAC est isocèle en O, OD est une médiane mais est donc aussi une hauteur.
D'après Pythagore, dans le triangle OAD rectangle en D, on trouve  OD=(racine de 17)/2

b)Calcul de OE

*Calcul de l'angle COE

Le triangle OAC est isocèle en O, OD est une médiane mais est donc aussi une bissectrice donc on a :
l'angle AOD=l'angle DOC= Arcsin (1/4) car sin(angle AOD)=AD/AO=(1/2)/2=1/4

Le triangle OBC est isocèle en O, OE est une médiane mais est donc aussi une bissectrice donc on a :
l'angle COE=l'angle EOB, or l'angle AOD+l'angle DOC+l'angle COE+l'angle EOB = 90° donc l'angle AOD+l'angle COE = 45° d'où :
l'angle COE = 45°-Arcsin (1/4)

** Calcul de OE

Le triangle OEC est isocèle en O, OE est une médiane mais est donc aussi une hauteur.
Dans le triangle OEC rectangle en E on a donc :
cos (angle COE) = OE/2
OE = 2 cos(45°-Arcsin (1/4))
OE = 2 (cos45°xcos(Arcsin (1/4)) + sin45°xsin(Arcsin (1/4)))
OE = 2 ( (racine de 2)/2 x cos(Arcsin (1/4)) + (racine de 2)/2 x 1/4 )

or puisque cos²a + sin²a =1 alors cos²(Arcsin (1/4) = 1-(1/4)² = 15/16 d'où
cos(Arcsin (1/4) = (racine de 15)/4

On a donc OE = 2 ( (racine de 2)/2 x (racine de 15)/4) + (racine de 2)/2 x 1/4 )
OE = ( (racine de 30)+(racine de 2) )/4

c)Calcul de l'Aire du triangle ODE

Grâce à la formule de Héron puisque nous connaissons les 3 côtés du triangle ODE nous pouvons en déduire son aire.

Formule de Héron:( Aire ODE )² = s(s-OD)(s-OE)(s-DE) avec s=1/2(OD+OE+DE)

Je n'effectue pas le calcul qui n'a que pour intérêt mettre des nombres dans tous les sens et alourdir mon message.


2) Cas où AC=x cm

a)Calcul de OD

D milieux de [AC] donc AD=(1/2)x
Le triangle OAC est isocèle en O, OD est une médiane mais est donc aussi une hauteur.
D'après Pythagore, dans le triangle OAD rectangle en D, on trouve  OD=(racine de (16+x²))/2

b)Calcul de OE

*Calcul de l'angle COE

Le triangle OAC est isocèle en O, OD est une médiane mais est donc aussi une bissectrice donc on a :
l'angle AOD=l'angle DOC= Arcsin ((1/4)x) car sin(angle AOD)=AD/AO=((1/2)x)/2=(1/4)x

Le triangle OBC est isocèle en O, OE est une médiane mais est donc aussi une bissectrice donc on a :
l'angle COE=l'angle EOB, or l'angle AOD+l'angle DOC+l'angle COE+l'angle EOB = 90° donc l'angle AOD+l'angle COE = 45° d'où :
l'angle COE = 45°-Arcsin ((1/4)x)

** Calcul de OE

Le triangle OEC est isocèle en O, OE est une médiane mais est donc aussi une hauteur.
Dans le triangle OEC rectangle en E on a donc :
cos (angle COE) = OE/2
OE = 2 cos(45°-Arcsin ((1/4)x))
OE = 2 (cos45°cos(Arcsin ((1/4)x)) + sin45°sin(Arcsin ((1/4)x)))
OE = 2 ( (racine de 2)/2  cos(Arcsin ((1/4)x)) + (racine de 2)/2  (1/4)x )

or puisque cos²a + sin²a =1 alors cos²(Arcsin ((1/4)x) = 1-((1/4)x)² =          (16-x²)/16 d'où
cos(Arcsin (1/4) = (racine de (16-x²))/4

On a donc OE = 2 ( (racine de 2)/2 (racine de (16-x²))/4 + (racine de 2)/2 (1/4)x )
OE = ( (racine de 2) (racine de (16-x²) + x) ) / 4

c)Calcul de l'Aire du triangle ODE

Grâce à la formule de Héron puisque nous connaissons les 3 côtés du triangle ODE nous pouvons en déduire son aire.

Je ne suis pas maso au point de me retrouver avec des calculs interminables et des x dans tous les sens.

 #3 - 23-06-2012 07:29:13

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Aire d'n triangle

Bonjour,

Coordonnées respectives des points O, A et B:
x0 = 0 et y0 = 0; xA = 2 et yA = 0; xB = 0 et yB = 2.
On a les relations: (xC-xA)² + (yC-yA)² = x² et xC² + yC² = 4.
D'où: yC² = x² - (xC-2)² = 4 - xC², ce qui nous donne:
xC = 2 - x²/4 et yC = x.V(1-x²/16).
Coordonnées respectives des points D et E:
xD = 2 - x²/8 et yD = x.V(1-x²/16)/2; xE = 1 - x²/8 et yE = 1 + x.V(1-x²/16)/2.
La droite (DE) a pour équation: Y = - X + 2 - x²/8 + x.V(1-x²/16)/2.
La perpendiculaire à (DE) a pour équation: Y = X.
Coordonnées de leur point d’intersection F:
xF = yF = 1 - x²/16 + x.V(1-x²/16)/4.
Par ailleurs, la distance de D à E est constante: d(D;E) = V2.
La surface du triangle ODE est donc de: S(x) = xF.V2.d(D;E) / 2, soit:
S(x) = 1 - x²/16 + x.V(1-x²/16)/4

Edit: j'ai presque oublié de répondre à la première question:
AN: x = 1cm donne S(1) = 1,1796cm² env.

Remarques:
Si C est en A, alors x = 0 et S(0) = 1.
Si C est en B, alors x = 2V2 et S(2V2) = 1.
S(x) est maximale quand C est sur la diagonale à 45°, donc
pour x = V(8-4V2) = 1,5307 env. et Smax = 1,2071 env.

Pour ceux que ça intéresse, j'ai réalisé une petite animation avec Geogebra.
Mais j'avoue qu'ils sont vraiment costauds les chinois du niveau collège !!!
Bonne journée.

 #4 - 23-06-2012 11:03:10

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Aire d'unn triangle

Bonjour smile

http://img36.imageshack.us/img36/1407/trianglet.jpg

On note [BH] la hauteur issue de B du triangle ABC . Un petit coup d’œil aux angles nous indique que BCH est rectangle-isocèle et on peut calculer BH avec le théorème de Pythagore : [latex]BH=\frac{\sqrt{16-x^2}-x}{2}[/latex] . On en déduit l'aire du triangle ABC : [latex]A(ABC)=\frac{x\sqrt{16-x^2}-x^2}{4}[/latex] .D'autre part [latex]A(ODE)=1+0,25.A(ABC)[/latex] et alors [latex]A(ODE)= 1+\frac{x\sqrt{16-x^2}-x^2}{16}[/latex] .

Quand même un peu compliqué pour un élève de seconde big_smile

Vasimolo

PS : problèmes avec Latex sur le site .

BH=(Rac(16-x²)-x)/2
A(ABC)=(xRac(16-x²)-x²)/4
A(ODE)=1+(xRac(16-x²)-x²)/16

 #5 - 23-06-2012 16:24:36

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 682

Air d'un triangle

Si l'on note \theta l'angle (OA,OC), l'aire A du triangle ODE est égale à
A = \frac{1}{2} (1+\cos\theta + \sin\theta )
d'où l'on déduit
A = \frac{1}{16} (16-x^2+x\sqrt{16-x^2})

 #6 - 24-06-2012 11:06:59

halloduda
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 24
Messages : 479
Lieu: Ardèche

Aire d''un triangle

1. On trouve aire(ODE)=[latex]\frac{15+sqr{15}}{16} [/latex]
(15+racine(15))/16
soit environ 1.17956 cm

http://www.prise2tete.fr/upload/halloduda-chine.png

2. Aire(ODE)=1/2 aire(OAB)+1/2 aire(ABC)-1/4 aire(ABC)

=[latex]\frac{2+x+\sqr{4-x²}}4[/latex]
LATEX ne marche plus chez moi, quid chez vous ?
(2+x+racine(4-x²))/4

EDIT la formule ci-dessus est basée sur x=abscisse de C et non longueur de AC
à reprendre...

 #7 - 24-06-2012 15:30:05

NickoGecko
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1745

AAire d'un triangle

Bonjour

Une solution analytique ....
avec R rayon du cercle, et l'application numérique à droite pour x = 1cm et R = 2 cm.
Je trouve une surface du triangle (ODE) égale à 1,1765 cm² soit 2,7 fois moins que l'aire du quart de cercle (OAB), ce qui parait cohérent avec la figure ...(zoomable)





Si j'ai le temps, je développerai les coordonnées trouvées pour les exprimer toutes en fonction de x.
(et en LaTex ...)

Bon dimanche,


*** EDIT  NOCTURNE ***

Une erreur dès le départ (tangente au lieu de sinus !) corrigée et je retrouve le bon résultat numérique !
(pas en fonction directe de (x) certes !)


http://www.prise2tete.fr/upload/NickoGecko-Airetriangle2.jpg


smile


Il aurait pu pleuvoir, con comme il est ! (Coluche)

 #8 - 25-06-2012 22:42:24

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Aire d'un ttriangle

Apparemment j'ai le même résultat que Masab ( avec une approche différente ) .

Gabriel n'aura pas été gros producteur d'indices ou d'avis sur ce coup smile

Plus sérieusement , quelqu'un sait ce qui se passe avec Latex ???

Vasimolo

 #9 - 26-06-2012 20:28:59

gabrielduflot
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 609

Aire du'n triangle

bonne reponse pour ceux qui ont trouve 1 + (x rac(16 -x²) - x² )/16 j'ai fait une faute de frappe

 #10 - 26-06-2012 21:41:47

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2714
Lieu: Luxembourg

Aire du'n triangle

@gilles355

gilles355 a écrit:

Je ne suis pas maso au point de me retrouver avec des calculs interminables et des x dans tous les sens.

Fainéant lollollol

 #11 - 27-06-2012 18:53:25

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4734

Aire d'un rtiangle

Je me permets de reposer la question : pourquoi Latex ne fonctionne plus ?

J'ai envoyé un message au Ch'Ef , sans réponse sad

Un matheux sans Latex c'est comme un cryptonneux sans digicode , il ne sait plus où il habite lollol

Vasimolo

 #12 - 28-06-2012 09:44:03

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
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Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

aire s'un triangle

Un cryptonneux, c'est un cryptologue boutonneux ?


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #13 - 29-06-2012 15:16:48

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3318

aire d'un rriangle

Mais non Mathias, on dit un Matheux et c'est pas pour autant que c'est un mathématicien boutonneux. smile

Donc un Cryptonneux c'est un mec qui adore et qui est fort en Cryptographie smile
Spoiler : [Afficher le message] Ou pas...lol

Shadock


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #14 - 29-06-2012 17:14:23

rivas
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Messages : 1105
Lieu: Jacou

AAire d'un triangle

Ou quelqu'un qui ne craint rien de la part de Superman...

 

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