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 #1 - 06-07-2015 20:40:37

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

mathélatiques pour les nuls 24 (géométrie du triangle)

Dans un triangle quelconque ABC, on place un point D n'importe où à l'intérieur. Montrer que la somme des longueurs AD, BD et CD est plus petite que le périmètre et est plus grande que la moitié du périmètre.

Bon cette fois c'est facile, pas besoin de produit scalaire même si il existe une démonstration avec... lol

Et pour vous prouver ma bonne foi, une fois l'énigme terminé je vous posterai la réponse d'un de mes arrière-arrière-grand-pères (et j'ai aucunes idées où qu'il faut mettre les "s"..)

Bon courage à tous, mais vu ce que Vasimolo nous fait subir depuis le temps vous devriez être des As en géométrie du triangle big_smile

Shadock



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 #2 - 06-07-2015 23:05:15

kossi_tg
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 18
Messages : 301
Lieu: Montargis

Mathématiques pour les nuls 24 (Géométrie du triiangle)

Soient s=AD+BD+CD et p=AB+BC+AC

Inégalité triangulaire:
AC<AD+DC
AB<AD+DB
BC<BD+DC
somme membre à membre donne: p<2*s donc p/2<s (1)

Par ailleurs:
AB+AC>DB+DC
BA+BC>DA+DC
CA+CB>DA+DB
somme membre à membre donne: 2*p>2*s donc p>s (2)

(1) et (2) ==> p/2<s<p
CQFD

 #3 - 06-07-2015 23:18:57

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Mathématiques pour les nuls 24 (Géométrie du trianle)

Et de un ! Parfait big_smile


"L'expérience est une lanterne qui n'éclaire que celui qui la porte." L-F. Céline

 #4 - 07-07-2015 07:14:46

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4756

Mathématiques pour lse nuls 24 (Géométrie du triangle)

C'est vrai que ce n'est pas trop difficile smile

L'inégalité triangulaire nous donne :

DA + DB > AA , DA + DC > AC et DB + DC > BC .

En sommant on obtient : DA + DB + DC > P/2 .

En remarquant que D est à l'intérieur de l’ellipse de foyers B et C passant par A :

DB + DC <AB + AC .

De même : DA + DB < CA + CB et DA + DC < BA + BC .

En sommant DA + DB + DC < P .

Vasimolo

 #5 - 07-07-2015 08:12:50

golgot59
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1381
Lieu: Coutiches

Mahtématiques pour les nuls 24 (Géométrie du triangle)

Salut !

Alors on a :
AD+DC<AB+BC car Périmètre(ADC)<Périmètre(ABC) : AD+DC+AC<AB+BC+AC
AD+DB<AC+CB
BD+DC<BA+AC
on somme :
2(AD+BD+CD)<2(AB+BC+AC)
Donc la somme des longueurs AD, BD et CD est plus petite que le périmètre de ABC.

Puis grâce à l'inégalité triangulaire :
AB<AD+DB
AC<AD+DC
BC<BD+DC
on somme :
AB+AC+BC<2(AD+BD+CD)
Donc la somme des longueurs AD, BD et CD est plus grande que la moitié du périmètre de ABC.

 #6 - 07-07-2015 09:59:48

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2777
Lieu: Luxembourg

Mathématiques pour les nuls 24 (Géométrie ud triangle)

On considère les triangles DAB, DBC et DCA, avec P=AB+BC+CA.
D’une part on aura: DA<AB, DB<BC et DC<CA, d’où: DA+DB+DC<P
D’autre part on aura: DA+DB>AB, DB+DC>BC et DC+DA>CA, d’où: DA+DB+DC>P/2
Donc: P/2<DA+DB+DC<P

 #7 - 07-07-2015 10:04:36

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,535E+3

Mathématiques pour les nuls 24 (Géométrie d triangle)

Dans les triangles ABD BCD et ACD, on somme les trois inégalités triangulaires :
AB + BC + AC < 2 ( AD + BD + CD )

De plus, le point étant interieur au triangle : AD + DB < AC + CB
En sommant sur les trois sommets :
2 ( AD + BD + CD ) < 2 ( AB + BC + AC )

 #8 - 07-07-2015 13:38:18

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

mzthématiques pour les nuls 24 (géométrie du triangle)

Tout le monde a juste ! big_smile


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 #9 - 09-07-2015 15:52:55

Corycos
Habitué de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 25

mathématiques pour les nuls 24 (géométrie su triangle)

Bonjour à tous!

www.prise2tete.fr/upload/Corycos-triangle.png


On construit des droites perpendiculaires en D à AD,BD et CD.
Les points d'intersection des perpendiculaires et des cotés du triangle
soient F1 sur AC, F2 sur BC et F3 sur AB.
Le triangle ADF1 étant rectangle alors AF1>AD par conséquent AC>AD.
Pour le triangle CDF2 c'est la meme chose CF2>CD donc BC>CD.
Pour le triangle BDF3 c'est pareil BF3>BD et AB>BD.
Puisque
AC>AD
BC>CD
AB>BD donc AC+BC+AB(Le périmètre) > AD+CD+BD

Maintenant prenons en mains les triangles ADB,ADC et BDC.
AD + BD > AB
AD + CD > AC
BD + CD > BC
--------------
2(AD+BD+CD) > AB+AC+BC (Le périmètre) (S soit AD+BD+CD et P soit AB+AC+BC)
2S > P  divisons par 2
S > P/2

 #10 - 14-07-2015 03:39:17

shadock
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 39
Messages : 3324

Mathématiques pour les nuls 4 (Géométrie du triangle)

Bravo, à tous, il faut que je scanne le vieux brouillon de mon a-a-g-p ! big_smile


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