Et de un ! Parfait

Salut !

Alors on a :
AD+DC<AB+BC car Périmètre(ADC)<Périmètre(ABC) : AD+DC+AC<AB+BC+AC
AD+DB<AC+CB
BD+DC<BA+AC
on somme :
2(AD+BD+CD)<2(AB+BC+AC)
Donc la somme des longueurs AD, BD et CD est plus petite que le périmètre de ABC.

Puis grâce à l'inégalité triangulaire :
AB<AD+DB
AC<AD+DC
BC<BD+DC
on somme :
AB+AC+BC<2(AD+BD+CD)
Donc la somme des longueurs AD, BD et CD est plus grande que la moitié du périmètre de ABC.

Dans les triangles ABD BCD et ACD, on somme les trois inégalités triangulaires :
AB + BC + AC < 2 ( AD + BD + CD )

De plus, le point étant interieur au triangle : AD + DB < AC + CB
En sommant sur les trois sommets :
2 ( AD + BD + CD ) < 2 ( AB + BC + AC )

Bonjour à tous!

www.prise2tete.fr/upload/Corycos-triangle.png


On construit des droites perpendiculaires en D à AD,BD et CD.
Les points d'intersection des perpendiculaires et des cotés du triangle
soient F1 sur AC, F2 sur BC et F3 sur AB.
Le triangle ADF1 étant rectangle alors AF1>AD par conséquent AC>AD.
Pour le triangle CDF2 c'est la meme chose CF2>CD donc BC>CD.
Pour le triangle BDF3 c'est pareil BF3>BD et AB>BD.
Puisque
AC>AD
BC>CD
AB>BD donc AC+BC+AB(Le périmètre) > AD+CD+BD

Maintenant prenons en mains les triangles ADB,ADC et BDC.
AD + BD > AB
AD + CD > AC
BD + CD > BC
--------------
2(AD+BD+CD) > AB+AC+BC (Le périmètre) (S soit AD+BD+CD et P soit AB+AC+BC)
2S > P  divisons par 2
S > P/2