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 #1 - 26-12-2011 17:05:46

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

encore un peu plus compliqué, lzs dés

Combien de fois en moyenne faut-il lancer un dé pour obtenir 3 chiffres distincts de même parité ?

(En moyenne, donc le résultat n'est pas forcément entier)



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 #2 - 27-12-2011 10:10:58

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

encore un peu pmus compliqué, les dés

En moyenne il faut lancer un dé 7,3 fois pour obtenir 3 chiffres distincts de la même parité.

 #3 - 31-12-2011 11:03:42

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Encore un ppeu plus compliqué, les dés

170 tests sur EXCEL avec la fonction "ent(6*alea())+1" donnent une moyenne de 7,00......
Il semblerait donc que 7,3 soit un peu fort, mais...

 #4 - 31-12-2011 18:19:57

Franky1103
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 2706
Lieu: Luxembourg

Encore un peu plus compliuqé, les dés

Bonjour,
Est-il possible de trouver la solution par une démonstration rigoureuse ?
Personnellement, je me suis perdu dans les lois des probabilités.
Bonne soirée.
Frank

 #5 - 31-12-2011 18:34:17

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

encorz un peu plus compliqué, les dés

Connaissant maintenant un peu Scarta, je suis certain qu'il a une solution rigoureuse.

 #6 - 01-01-2012 00:09:13

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

encore un peu olus compliqué, les dés

On note les probabilités P10(n), P11(n), P20(n), P21(n), P22(n), P30(n), P31(n), P32(n).
Pij(n) est la probabilité d'avoir en n coups i nombres d'une certaine parité et j nombres de l'autre.

P10(n) = (1/6)^(n-1)
P11(n) = 1/2 * P10(n-1) + 1/3 * P11(n-1)
P20(n) = 1/3 * P10(n-1) + 1/3 * P20(n-1)
P21(n) = 2/3 * P11(n-1) + 1/2 * P20(n-1) + 1/2 * P21(n-1)
P22(n) = 1/3 * P21(n-1) + 2/3 * P22(n-1)
P30(n) = 1/6 * P20(n-1)
P31(n) = 1/6 * P21(n-1)
P32(n) = 1/3 * P22(n-1)

La probabilité d'avoir 3 nombres de même parité au n-ième coup est donc P(n) = P30(n)+P31(n)+P32(n)
En effet, tous ces événements sont disjoints. Ensuite, on identifie les différentes probabilités et on calcule E=somme n*P(n)

Au risque de décevoir nodgim, j'avais la flemme et donc je ne l'ai pas fait à la main (mais c'est faisable), j'ai juste rentré dans un tableur les différentes formules et ça m'a sorti 7.3

 #7 - 01-01-2012 10:27:47

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Encoe un peu plus compliqué, les dés

J'ai bien compris la démarche sauf le final:
E=somme des n*P(n).

 #8 - 01-01-2012 12:15:27

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Encore un peu plus compliqué, les déés

J'ai calculé en utilisant les formules de scarta sum(n=1,10000,n*P(n)), en travaillant avec 200 décimales. J'ai obtenu
7.2999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
999999999999999999999999999999999999999999998

On peut penser que la réponse est exactement 7.3 , mais il faudrait le prouver rigoureusement...

 #9 - 01-01-2012 12:41:53

nodgim
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 0
Messages : 2953

Encore un peu plus copmliqué, les dés

D'accord je comprends mieux maintenant, on a calculé la proba pour chaque n, en allant aussi loin que possible, et ensuite on a fait une moyenne. Je croyais qu'il existait quelque chose de plus direct.....Du coup, oui c'est un peu décevant.

 #10 - 01-01-2012 23:01:34

scarta
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 1430

encore un peu plus compmiqué, les dés

nodgim a écrit:

J'ai bien compris la démarche sauf le final:
E=somme des n*P(n).

C'est la définition même de l'espérance.

Bien sûr la solution du tableur n'est pas très rigoureuse. Cependant, j'avais la flemme de résoudre les équations des 8 probabilités; mais comme je le disais plus haut, c'est faisable. On trouve alors des formules pour tous les Pij(n), puis pour P(n) et on calcule le résultat exact par E=somme n*P(n).

Comme c'est assez long et bourrin de calculer ces différentes formules et surtout de calculer la somme infinie ensuite, on triche tous un peu smile
Que celui qui n'a jamais essayé de voir si une suite diverge avant de le démontrer, en demandant le millionième terme à sa calculatrice, me jette la première pierre...

 #11 - 02-01-2012 12:42:25

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

encore un peu plus compliqié, les dés

On a [latex]P(0)=P(1)=0[/latex] et pour [latex]n\geq 2[/latex] on a
[TeX]P(n)=\frac{9}{2}\left(\frac{2}{3}\right)^n-\frac{18}{2^n}+\frac{30}{3^n}-\frac{5}{6^{n-1}}[/TeX]
ce qui permet de calculer rigoureusement la probabilité cherchée...
Bien sûr, le plus dur est de prouver la formule !

 #12 - 03-01-2012 15:08:18

masab
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 44
Messages : 679

Encore un peu plus compliqué ,les dés

J'ai rédigé une solution détaillée à cette énigme.
Ma méthode est différente de celle indiquée par scarta.

 

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