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 #1 - 04-07-2012 00:08:29

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Dés

Inspiré d'un exercice qui m'avait pris quelques semaines ( je vous le donnerai à la fin pour vous pourrir les vacances lol ) .

On dispose de 27 dés identiques , pour chacun d'entre eux trois faces partageant le même sommet sont colorées , les autres sont laissées blanches .

http://img823.imageshack.us/img823/2913/51215623.jpg

Les trois faces cachées du petit cube sont blanches .

Quelle est la probabilité pour que l'assemblage de ces 27 cubes laisse apparaître un cube complètement coloré ?

Pas trop difficile à condition d'être attentif smile

Amusez-vous bien smile

Vasimolo

PS : J'ai ajouté une case réponse : A,BCX10^-DE smile
PPS : Pour l'exercice initial , je préfère ouvrir un nouveau fil : Dé 5 !



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 #2 - 04-07-2012 04:56:09

dhrm77
L'exilé
Enigmes résolues : 49
Messages : 2989
Lieu: Fanning Island-?-Lac Tele,Mali

Déés 4

(1÷8)^8×(1÷4)^12×(1÷2)^6
[TeX]\left(\frac{1}{8}\right)^8*\left(\frac{1}{4}\right)^{12}*\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{18014398509481984}[/TeX]


Great minds discuss ideas; Average minds discuss events; Small minds discuss people. -Eleanor Roosevelt

 #3 - 04-07-2012 05:11:32

gwen27
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 49
Messages : 5,469E+3

DDés 4

Tous les petits cubes étant identiques, on peut déjà oublier le cube central et les diverses permutations car cela ne changerait rien à la probabilité...

Là, ça devient plus simple :

Pour les dés au centre des faces : 3 faces apparentes sur les 6 conviennent
Pour les dés au centre des arêtes : 3 arêtes apparentes sur les 12 conviennent
Pour  les dés au coin : 1 sommet apparent sur les 8 convient

Je dirais donc (3/6)^6 (3/12)^12 (1/8)^8

Soit 1 chance sur 18 014 398 509 481 984  = 5,55....10^(-15) %

 #4 - 04-07-2012 08:20:32

dylasse
Professionnel de Prise2Tete
Enigmes résolues : 21
Messages : 374

Dsé 4

Pour y voir plus clair et dénombrer toutes les combinaisons possibles, on va repeindre les cubes avec les trois faces blanches qui deviennent blanc, gris et noir et les trois faces en couleurs qui deviennent jaune, bleu et rouge.

Orienter un petit cube dans le grand cube revient à choisir la couleur d'une face (1 choix sur 6) puis de choisir la couleur d'une face adjacente (1 choix sur 4) soit 24 combinaisons par cube.

Probabilité d'avoir un cube-sommet qui apparait en couleur
: il y a 3 choix possibles pour une face en couleur (jaune, bleu ou rouge) puis la rotation est imposée pour faire apparaitre les 2 autres faces colorés, donc 3 possibilités sur les 24 soit 1/8 chance par cube.
Il y a 8 cubes-sommet donc (1/8)^8 chance que les 8 cubes-sommet apparaissent tous colorés.

Probabilité d'avoir un cube-arête qui apparait en couleur : il y a 3 choix possibles pour une face en couleur, puis 2 choix pour la face adjacente, donc 6 possibilités sur les 24 soit 1/4 chance par cube.
Il y a 12 cubes-arête donc (1/4)^12 chance que les 12 cubes-arête apparaissent en couleur.

Probabilité d'avoir un cube-centre qui apparaît en couleur : il y a 3 choix pour la face visible puis 4 choix pour l'orientation, donc 12 possibilités sur les 24 soit 1/2 chance par cube.
Il y a 6 cubes-centre donc (1/2)^6 chance que les 6 cubes-centre apparaissent en couleur.

Le petit cube au cœur du gros n'a pas d'importance (on peut même ne pas le mettre que tu n'en saurais rien !).

Au final, la probabilité d'avoir le gros cube entièrement coloré est de (1/8)^8 x (1/4)^12 x (1/2)^6 = (1/2)^54

rem : on trouve donc une probabilité de (1/4)^27, qui correspond à une probabilité moyenne de 1/4 pour les 27 cubes de l'assemblage... Y avait-il un moyen "vasimolesque" d'arriver à ce résultat sans passer par le dénombrement pour chaque catégorie ?

 #5 - 04-07-2012 08:37:31

franck9525
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1922
Lieu: UK

Dés 44

L'assemblage est composé de 12 dés ayant une face visible 3/6
de 6 dés ayant une arête visible 3/12
ainsi que le cube de coin. 1/12
L'assemblage peut etre observé selon 4 angles differents
P = 4 1/2 1/4 1/12 = 1/24


The proof of the pudding is in the eating.

 #6 - 04-07-2012 12:23:22

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

sés 4

Chaque cubes élémentaires à 24 orientations possibles différentes. Il y a 6 possiblités pour la face vers le bas et pour chacune de ses possibilités, 4 choix rotations possibles autour de l'axe vertical.

Pour chacun des 8 cubes de coin, 3 de ces 24 orientations permettent de voir 3 faces colorées.
Pour chacun des 12 cubes au centre d'une arête, 6 de ces 24 orientations permettent de voir 2 faces colorées (3 possibilités pour la première face visible * 2 possibilités pour la seconde).
Pour chacun de 6 cubes au centre d'une face, 12 ces 24 orientations permettent de voir 1 face colorée (3 possibilités pour la face visible * 4 rotations).

A ne pas oublier: pour le cube central: les 24 orientations permettent d'obtenir le résulat attendu, on peut donc soit le prendre en compte, soit l'ignorer.

On considère donc un assemblage réalisé. La probabilité que le cube soit entièrement coloré est de:
[TeX]\dfrac{3^8.6^{12}.12^6}{24^{26}}[/TeX]
La facteur 3 apparait à chaque fois au numérateur et au dénominateur à la même puissance (3/24, 6/24, 12/24) ou peut donc simplifier.
Il reste:
[latex]p=\dfrac{2^{12}.4^6}{8^{26}}=\dfrac1{2^{54}} \approx 5,6.10^{-17}[/latex].

C'est à dire pas grand chose. smile

Il me reste un doute sur mon calcul. Je vais y repenser. Pourquoi ne pas avoir mis de case réponse?

Merci pour cette énigme.

 #7 - 04-07-2012 12:42:30

nextobilly
Amateur de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 9

Dés

4 types de positionnements de cubes différents:

- les cubes aux sommets du grand cube: 8
- les cubes au centre des faces du grand cube: 6
- les cubes ayant 2 faces visibles: 12
- le cube au centre du grand cube

La formule serait donc:
(1/8)^8
x (1/2)^6
x (1/4)^12
x 1

Soit (1/2)^24
x (1/2)^6
x (1/2)^24

= (1/2)^54

 #8 - 04-07-2012 12:44:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Ds 4

J'ai ajouté une case réponse pour ceux qui veulent vérifier leurs calculs avant de poster smile

Vasimolo

 #9 - 04-07-2012 14:11:42

rivas
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 48
Messages : 1105
Lieu: Jacou

fés 4

Merci pour la case réponse. Du coup je n'ai plus de doute sur mon calcul que j'ai vérifié après avoir posté smile.

Je vais réfléchir à la question bonus maintenant.
Il est évident que chaque type de cube doit retourner à une position équivalente à celle de départ: un cube de centre de face au centre d'une face ...

 #10 - 04-07-2012 16:47:08

MthS-MlndN
Hors d'u-Sage
Enigmes résolues : 49
Messages : 12,414E+3
Lieu: Rouen

Dé s4

Pour commencer quelque part, je dirais qu'il y a 24 façons de disposer chaque dé, qu'on peut dénombrer en considérant laquelle des six faces est vers le haut (ou n'importe où ailleurs, c'est juste un choix de dénombrement) et quelle est l'orientation des quatre faces qui l'entourent. (Faites l'essai avec un dé à jouer pour voir le délire : vous pouvez mettre le 1 en haut et une des quatre autres faces 2, 3, 4 ou 5 face à vous, ou le 2 en haut et 1, 3, 4 ou 6 en face de vous, etc.)

Seules trois de ces façons conviennent pour chacun des huit dés qui sont aux coins du grand cube (quelle que soit la face colorée qui apparait face à vous, par exemple, sur le dé qui est à l'avant, en bas et à gauche, une et une seule des quatre rotations possibles permettent de faire apparaître les deux autres faces colorées). Donc, trois possibilités sur 24, soit une chance sur 8, pour chacun des 8 dés d'angles.

Pour les 12 qui sont "entre deux coins", donc qui montrent deux faces colorées, il y a 6 façons sur 24 de faire apparaître ces deux faces colorées (trois possibilités pour une des deux faces colorées, et pour chacune d'elles, deux rotations qui font apparaitre une des deux autres au bon endroit). Donc une chance sur 4 pour chacun des 12 dés de côtés.

Pour les 6 dés centraux, une chance sur deux, tout simplement, parce qu'une face sur deux est colorée sur chaque dé.

Et celui du milieu, bah on s'en cogne lol

Donc une proba finale de (1/8)^8*(1/4)^12*(1/2)^6, soit 5,55*10^(-17) que la case réponse me valide smile


Podcasts Modern Zeuhl : http://radio-r2r.fr/?p=298

 #11 - 04-07-2012 18:53:04

nodgim
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Enigmes résolues : 0
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Déés 4

Je dirais (1/2)^54 qui se décompose ainsi:
-(1/8)^8 pour les dés d'angles.
-(1/2)^6 pour les dés de milieu de face.
-(1/4)^12 pour les dés d'arêtes.

 #12 - 04-07-2012 23:21:38

Jackv
Elite de Prise2Tete
Enigmes résolues : 34
Messages : 1998
Lieu: 94110

Dé s4

Très rapidement, et sauf erreur très possible de ma part (en général, je ne suis pas très attentif sad ) :

1/8 * (1/4) ^ 6 * (1/2) ^ 12 = (1/2) ^ 27 = 1/134217728

Je ne vois pas l'intérêt de faire la division neutral ?

 #13 - 05-07-2012 10:04:12

Nombrilist
Expert de Prise2Tete
Enigmes résolues : 10
Messages : 562

DDés 4

Bon, j'avais écrit une réponse détaillée, mais n'étant pas inscrit, ça a buggué. Bref, le calcul donne donc p = (1/8)^8*(1/4)^12*(1/2)^6 = 5.55.10^-17

 #14 - 05-07-2012 12:31:24

Franky1103
Elite de Prise2Tete
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Messages : 2710
Lieu: Luxembourg

DDés 4

Bonjour,
Pour chaque dé, j'ai 6 x 4 = 24 positionnements possibles, donc pour l'ensemble des 27 dés du cube, cela donne 24^27.
J'ai trois types de dés (avec leur nombre respectif de positionnements possibles entre parenthèses): 8 sommets (avec 3), 12 arêtes (avec 6) et 6 centres (avec 12), donc en tout cela donne 3^8 x 6^12 x 12^6 possibilités.
Je n'oublie pas de multiplier le tout par 6 x 4 = 24 pour tenir compte des identités par rotations du cube.
La probabilité recherchée est de: P = 1 / 2^54 = 5,55 x 10^(-17) env. qui est validée par la case réponse.
Bonne journée.

 #15 - 07-07-2012 11:52:22

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

és 4

Pas si facile apparemment smile

Je vous renvoie aux réponses ci-dessus en vous remerciant pour la participation .

Vasimolo

 #16 - 07-07-2012 15:38:45

Jackv
Elite de Prise2Tete
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Lieu: 94110

Dés

Vasimolo a écrit :
Quelle est la probabilité pour que l'assemblage de ces 27 cubes laisse apparaître un cube complètement coloré ?

J'avais sous entendu "selon la vue ci- dessus.", c'est à dire sur les 3 faces visibles !

Évidemment, si on veut que se soit sur toutes les faces, y compris sur la face d'appui qui reste invisible quand on tourne autour, ce n'est plus (1/2)^27, mais son carré soit
                                               (1/2)^54          smile

 #17 - 09-07-2012 19:09:14

Vasimolo
Le pâtissier
Enigmes résolues : 49
Messages : 4733

Dés

Il y avait en effet un piège involontaire dans la formulation de la question smile

Vasimolo

 

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